2023-2024学年河北省邯郸市永年实验中学九年级（上）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年河北省邯郸市永年实验中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某校八年级名学生参加了体质健康测试，为了解这名学生的测试成绩，该校从中抽取名学生的测试成绩进行统计分析，则其中的是(    )

A. 样本容量 B. 总体 C. 总体的一个样本 D. 个体

2.  若关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为和，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，橡皮盖住的点的坐标可能是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  用配方法解方程，可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是某商店红富士苹果的出售总价元与质量千克的函数图象，观察图象可知，该苹果的销售单价为(    )

A. 元千克 B. 元千克 C. 元千克 D. 元千克

6.  若点和都在一次函数为常数的图象上，且，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  某大学生的平时成绩分，期中成绩分，期末成绩分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时成绩：期中成绩：期末成绩：：，则该学生的学期总评成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

9.  小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量，称得六盒纯牛奶的含量分别为：，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 平均数为 B. 中位数为 C. 众数为 D. 方差为

10.  已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

11.  甲、乙、丙、丁四名学生进行体育训练，近期次测试的立定跳远成绩的平均数和方差如下表：

则成绩既好又稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

12.  如图，矩形中，对角线，相交于点，点，，分别是，，的中点，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  观察图中尺规作菱形的作图痕迹，下面说法正确的是(    )

A. 弧与弧的半径长相等 B. 弧与弧的半径长不相等
C. 弧的半径长为任意长度 D. 弧与弧的半径长不相等

14.  如图，矩形中，，，点为边上一点，连接，若线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

15.  关于的一次函数的图象可能是(    )

 

A.  B.  C.  D.

16.  一节数学课上，老师展示了如下问题：如图，两个完全相同的直角三角尺和，其中，，，都在直线上，固定三角尺，将三角尺从图示位置开始沿射线移动，甲、乙、丙、丁四位同学分别给出了关于四边形的说法：
甲：一定是平行四边形；
乙：不可能是矩形；
丙：可能是菱形；
丁：可能是正方形；
则说法不正确的是(    )

A. 甲和丙 B. 乙和丙 C. 只有丁 D. 乙和丁

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

17.  一个边形的每一个外角都为，则的值为______ ．

18.  菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，则的最小值为______ ．

19.  在弹性限度内，某弹簧挂上重物后的总长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系，且点，均在其图象上，则与之间的函数关系式是______ 不必写出的取值范围

20.  如图，正方形中，点，都在点的右侧，以点为坐标原点建立坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为______ ．

21.  甲、乙两车往返城与港口之间运送货物某一天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城的距离千米与所用时间时的关系图象，则甲到达港口所用的时间为______ 小时．

三、解答题（本大题共5小题，共37.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
过山车图是一个有趣而刺激的娱乐项目，如图所示的是佳佳乘坐过山车在一分钟之内的高度米与时间秒之间的关系图象．
当秒时，过山车的高度是______ 米；
请直接写出在这一分钟内过山车有几次高度达到米；
求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差．

 

23.  本小题分
如图，直线经过点，并与直线：交于点．
求直线的函数表达式；
求的值；
已知点在直线上且在点的右侧，若，直接写出点的坐标．

24.  本小题分
为助力中国女排征战国际赛场，某商家计划购进甲、乙两款球鞋共双，并全部售出两种型号球鞋的进价和售价如下表：

设购进甲款球鞋双，已知甲款球鞋的数量不大于乙款球鞋的数量的倍，且不少于双．
求的取值范围；
求该商家销售这批商品的利润元与双之间的函数关系式；
在销售过程中，商家决定每售出一双甲款球鞋，就从一双甲款球鞋的利润中抽取元捐赠给残疾儿童，求该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润用含的式子表示．

25.  本小题分
已知关于的方程．
若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；
试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．

26.  本小题分
中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．
【探究】如图，连接，若点在线段上，且．
证明：；
当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由．
【拓展】如图，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当线满足什么条件时，四边形是正方形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该校从中抽取名学生的测试成绩进行统计分析，则其中的是样本容量．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
根据方程的解析式结合根与系数的关系找出、，利用完全平方公式将变形成，代入数据即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出的值，经验证符合题意，再将变形成，代入数据即可得出结论．
【解答】
解：、为方程的两个不相等的实数根，
，，
，
．
当时，，
符合题意．
．
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：手的位置是在第二象限，
手盖住的点的横坐标小于，纵坐标大于，
结合选项这个点是．
故选：．
根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答．
本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，该苹果的销售单价为：元千克．
故选：．
由题意可知，购买千克苹果所需费用为元，据此可得答案．
本题考查了函数的图象，解答本题明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】 

【解析】解：点和都在一次函数为常数的图象上，且，
随的增大而减小，
，
的值可能是．
故选：．
由点，的横坐标及，可得出随的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，再对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随都增大而减小”是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：解方程，
去分母得：，即，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，
则四个步骤中出现错误的是．
故选：．
观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
分，
即该学生的学期总评成绩是分，
故选：．
根据题意和题目中的数据，利用加权平均数的计算方法可以计算出该学生的学期总评成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的方法解答．

9.【答案】 

【解析】解：、这组数据平均数为：，故此选项错误；
B、数据重新排列为：，，，，，，其中位数是，故此选项错误；
C、这组数据出现次数最多的是，则众数为，故此选项错误；
D、这组数据的平均数，则其方差为：，故此选项正确；
故选：．
中位数是一组数据按大小顺序排列，中间一个数或两个数的平均数，即为中位数；出现次数最多的数即为众数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．

10.【答案】 

【解析】解：当，即时，方程化为，解得；
当时，，解得且．
综上所述，的取值范围为．
故选：．
讨论：当，即，方程为一元一次方程，有一个解；当时，利用判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

11.【答案】 

【解析】解：因为，，，．
所以，
所以成绩既好又稳定的是乙．
故选：．
根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定即可得出答案．
本题考查方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

12.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
．
点，分别是，的中点，
．
同理，．
．
故选：．
根据矩形的性质，可得，根据中位线定理，可得和，进而可求得与的数量关系．
本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是牢记矩形的性质和三角形中位线定理．

13.【答案】 

【解析】解：由作图可知，弧与弧的半径长相等．
故选：．
根据菱形的判定和作图痕迹判断即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
，
由矩形得，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
故选：．
利用旋转的性质得到≌，从而得到，，再结合已知条件和矩形的基本性质可得答案．
此题考查的是旋转的性质、矩形的性质，证得≌是解决此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
直线过点，
故不符合题意；
，
当时，，函数图象经过一、三、四象限，符合题意；
当时，，函数图象经过一、二、四象限，符合题意；
故选：．
将化为后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数中，当，时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：画出三角尺从图示位置开始沿射线移动的某一时刻的图象：
由题意可知：，
故四边形一定是平行四边形，故甲说法正确；
当时，四边形是矩形，故乙说法错误；
当时，四边形是菱形，故丙说法正确；
与不能同时满足，故四边形不可能是正方形，故丁说法错误．
故选：．
根据四边形及特殊四边形的判定定理即可求解．
本题考查四边形及特殊四边形的判定定理，掌握相关定理是解决此题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：边形的每一个外角都是，
，
故答案为：．
先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和等于是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

点的对称点是点，
，
即为最短，
四边形是菱形，顶点，，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
故答案为：．
点的对称点是点，连接，交于点，再得出即为最短，解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．

19.【答案】 

【解析】解：设与之间的函数关系式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
与之间的函数关系式是，
故答案为：．
设与之间的函数关系式为，把，代入解析式，解得即可．
本题考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用，求出一次函数关系式的解析式是解决本题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：如图所示：
点为坐标原点，点的坐标为，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质得出，，进而根据平面直角坐标系的特点和正方形的性质得出的坐标即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出，解答．

21.【答案】 

【解析】解：由图象可得，小时，
乙车行驶千米用了小时，
乙车的速度为千米时，
城市到港口的距离是千米，
甲车的速度为千米时，
甲到达港口所用的时间为小时，
故答案为：．
首先求出乙车的速度，然后结合乙从城市到港口所用的时间即可求出城市到港口的距离；首先求出甲车的速度，然后结合城市到港口的距离即可求出甲到达港口所用的时间．
本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．

22.【答案】 

【解析】解：由题意得，当秒时，过山车的高度是米．
故答案为：；
，
过山车的运动介于之间时存在的情况，看图象可得，这一分钟内过山车有两次；
最大高度为米，最低高度为米，
米．
在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为米．
结合图象，仔细观察即可得出答案；
结合图象，仔细观察即可得出答案；
结合图象的最高点和最低点的纵坐标解答即可．
本题考查函数图象，属于基础题，理解横、纵坐标的实际意义，仔细观察图象是解题的关键．

23.【答案】解：设直线的表达式为．
将，代入表达式，
得，
解得：，
；
过点作轴于点，则．
，
；
过点作
设点的坐标为，则，
，
，
点的坐标为．
 

【解析】则直线的表达式为，将，代入表达式求解即可；
过点作垂直轴于点，则，利用三角形面积公式计算即可；
过点作垂直，则点的坐标为，则，利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查一次函数与三角形面积问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及结合图形，灵活运用三角形面积公式计算，求解是解题的关键．

24.【答案】解：设购进甲款球鞋双，则购进乙款球鞋双，根据题意得，
，
解得；
由题意得，，
；
设该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的利润是元，根据题意得，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，，
答：该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润是元． 

【解析】根据题意列出关于的不等式组，求解即可；
根据利润售价进价销售量，列出利润表达式并化简即可，注意标注自变量的取值范围；
设该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润是元，根据题意列出其关于的表达式，然后化简整理，并根据一次函数的性质判断最值即可．
本题考查了不等式组及一次函数的应用，理解题意，并找准数量关系建立相应的不等式和函数表达式，熟练运用一次函数的性质是解题关键．

25.【答案】解：把代入方程有：
，
解得．
故方程为，
设方程的另一个根是，则：
，
解得．
故，方程的另一根为；

证明：关于的方程中，
，
无论取什么实数值，此方程总有实数根． 

【解析】先把方程的根代入方程，可以求出字母系数值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根；
证明一元二次方程根的判别式恒大于等于，即可解答．
本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系，及根与系数的关系．

26.【答案】【探究】
证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
又由知，
，
，
▱是矩形；
【拓展】
解：中，且时，四边形是正方形．
理由如下：
是的中点，
，
，
，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是正方形． 

【解析】【探究】
由是的中点，，易证和全等，得出结合，得出；
当时，四边形是矩形．先证四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，从而问题得证；
【拓展】
中，且时，四边形是正方形．先证四边形是平行四边形，结合条件得出四边形是矩形，再结合，，得出，从而得出四边形是正方形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．