初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式教案配套ppt课件
展开明明订购了一个 6 寸的大披萨,不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了,问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗?
大披萨的面积:S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和:S = π·22 + π·12 = 5π .
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
(1) ( p + 1 )2 = = .
探究 1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(2) ( m + 2 )2 = = .
p2 + p + p + 12
m2 + 2m + 2m + 22
p2 + 2p + 12
m2 + 4m + 22
规律:两个数的和的平方,等于这两个数平方的和,加上它们的积的2倍.
验证:对于任意数字,探究上述结果是否仍成立?
∵(a+b)2 = (a+b)(a+b)
= a2+2ab+b2.
= a2 + ab + ab + b2
你能几何的形式证明公式成立吗?
问题1:你有几种方法求边长为 (a + b) 的正方形的面积?
整体求:总面积 = (a + b)2.
部分求:面积和 = a2 + ab + ab + b2.
(3) ( p-1 )2 = ( p-1 )( p-1 ) = .
(4) ( m-2 )2 = ( m-2 )( m-2 ) = .
探究 2:结合探究1 填空,你能总结出规律并验证吗?
规律:两个数的差的平方,等于这两个数平方的和,减去它们的积的 2 倍.
∵(a-b)2 = (a-b)(a-b)
= a2-2ab-b2.
= a2 - ab - ab - b2
你能类比上述几何方法验证
(a-b)2 = a2-2ab-b2 成立吗?
问题2:你有几种方法求边长为 (a − b) 的正方形的面积?
整体求:总面积 = (a − b)2.
部分求:面积差 = a2 − ab − b(a−b)
= a2 − ab − ab + b2.
两个数的_________的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的_____.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
这两个公式叫做 (乘法的) 完全平方公式.
例1 运用完全平方公式计算:
解:(4m + n)2 =
(1) (4m + n)2;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
+ 2×(4m) · n
1.利用完全平方公式计算:(1) (5-a)2; (2) (-3m-4n)2; (3) (-3a+b)2.
(3) (-3a+b)2=9a2-6ab+b2.
解:(1) (5-a)2=25-10a+a2.
(2) (-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2.
= (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= (100 – 1)2
= 10000 - 200 + 1
例2 运用完全平方公式计算:
问题:观察这两个公式,回答下列问题.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a,b 可以表示数,单项式还可以表示多项式吗?
a + (b + c) =_________; a – (b + c) = __________.
a + b + c = a + (b + c);a – b – c = a – (b + c).
把上面两个等式的左右两边反过来,就得到添括号法则:
添括号时,如果括号前面是_____,括到括号里的各项都_________;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都_____符号.
例3 运用乘法公式计算:(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3);
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
解:原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
解:原式 = [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2.
(2) (a + b + c)(a + b + c).
如果括号前面是_____,括到括号里的各项都_________;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都_____符号.
两个数的_________的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的_____.
字母表示:(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2. 下列计算结果为 2ab - a2 - b2 的是 ( ) A.(a - b)2 B.( - a - b)2 C. - (a + b)2 D. - (a - b)2
1. 运用乘法公式计算 (a - 2)2 的结果是( ) A.a2 - 4a + 4 B.a2 - 2a + 4 C.a2 - 4 D.a2 - 4a - 4
3. 计算:(1) (3a + b - 2)(3a - b + 2); (2) (x - y - m + n)(x - y + m - n).
(2) 原式=[(x - y) - (m - n)][(x - y) + (m - n)]
解:(1) 原式=[3a + (b - 2)][3a - (b - 2)]
=(3a)2 - (b - 2)2
=9a2 - b2 + 4b - 4.
=(x - y)2 - (m - n)2
=x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2.
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