高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动精练

3.带电粒子在匀强磁场中的运动

1.带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，初速度的方向和洛伦兹力的方向都与磁场方向垂直，所以粒子在与磁场垂直的平面内运动。

(2)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以，沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。

2．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期

(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径

①假设一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，那么带电粒子所受的洛伦兹力为F＝qvB，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，由此可解得圆周运动的半径r＝。

②粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。

(2)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期

①匀速圆周运动的周期T＝，将r＝代入，可得T＝。

②带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。

典型考点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律

1．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的(　　)

A．轨道半径减小，角速度增大

B．轨道半径减小，角速度减小

C．轨道半径增大，角速度增大

D．轨道半径增大，角速度减小

答案　D

解析　带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v大小不变，磁感应强度B减小，由公式r＝可知，轨道半径增大。由公式T＝可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据ω＝知角速度减小，D正确。

2. (2019·浙江省高二期中)(多选)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，则下列表述正确的是(　　)

A．M带负电，N带正电

B．M的速率小于N的速率

C．M的速率大于N的速率

D．M的运行时间大于N的运行时间

答案　AC

解析　由左手定则判断出N带正电，M带负电，故A正确；粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，解得半径为r＝，在质量与电荷量都相同的情况下，半径大说明速率大，即M的速率大于N的速率，故B错误，C正确；粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，周期为T＝，M、N的质量和电荷量都相等，可知M的运行时间等于N的运行时间，故D错误。

3．(2019·江苏高二月考)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹，如图甲所示为洛伦兹力演示仪的实物图，如图乙所示为洛伦兹力演示仪的结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直于纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场，下列关于实验现象和分析正确的是(　　)

A．仅增大励磁线圈中的电流，电子运动径迹的半径变大

B．仅增大电子枪中加速电场的电压，电子做圆周运动的周期不变

C．仅增大电子枪中加速电场的电压，电子运动径迹的半径变小

D．要使电子形成图乙所示的运动径迹，励磁线圈中应通以逆时针方向的电流

答案　B

解析　电子在加速电场中加速，由动能定理有：eU＝mv，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有：ev0B＝m，解得：r＝＝ ，仅增大励磁线圈中的电流，即B增大，则电子束形成圆周的半径减小；仅增大电子枪加速电场的电压，则电子束形成圆周的半径增大，故A、C错误；电子在磁场中运动的周期T＝，与电子的速度无关，则与加速电场的电压大小无关，故仅增大电子枪加速电场的电压，电子做圆周运动的周期不变，故B正确；若励磁线圈通以逆时针方向的电流，由安培定则知，线圈在其内部产生的磁场向外，根据左手定则判断知，电子进入磁场时所受的洛伦兹力向下，电子的运动轨迹不可能是图中所示，同理，可得励磁线圈通以顺时针方向的电流，则能形成结构示意图中的电子运动径迹，故D错误。

4．质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各运动量间的关系正确的是(　　)

A．速度之比为2∶1   B．周期之比为1∶2

C．半径之比为1∶2   D．角速度之比为1∶1

答案　B

解析　由qU＝mv2和qvB＝＝mω2r得v＝ ，ω＝，r＝ ，而mα＝4mH，qα＝2qH，故vH∶vα＝∶1，ωH∶ωα＝2∶1，rH∶rα＝1∶，又T＝，故TH∶Tα＝1∶2，B正确，A、C、D错误。

典型考点二　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动

5．如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30°夹角，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？

答案　　

解析　电子在磁场中运动，只受洛伦兹力的作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因洛伦兹力总是与速度方向垂直，故电子做圆周运动的圆心在电子射入和穿出磁场时受到的洛伦兹力作用线的交点上，即过轨迹上两点作速度的垂线可找到圆心O点，如图所示。

由几何关系可知，弧AC所对的圆心角θ＝30°，OC为半径，则r＝＝2d

由eBv＝m得r＝，所以m＝

又因为周期T＝，联立可得T＝。

因为弧AC所对的圆心角是30°，故电子穿过磁场的时间为t＝T＝·＝＝。

6. 如图所示，一电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，在直线边界上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上另一点P，求：

(1)粒子做圆周运动的周期；

(2)磁感应强度B的大小；

(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大？

答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T

(3)3.49×105 m/s

解析　(1)作出粒子轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，

则＝，

周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。

(2)由于粒子做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，

得qvB＝，且T＝，

解得T＝，所以B＝≈0.314 T。

(3)由几何知识可知，半径r＝0.1 m，

故粒子的速度v＝≈3.49×105 m/s。

7. 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。

(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；

(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此时粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

答案　(1)负电荷　　(2)B　

解析　(1)由粒子的运动轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。如图所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，

又qvB＝m

则粒子的比荷＝。

(2)如图所示，粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R′＝rcot30°＝r

又R′＝

所以B′＝B

粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝。

1．(多选)一带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，则受磁场影响的物理量是(　　)

A．速度  B．加速度  C．位移  D．动能

答案　ABC

解析　洛伦兹力方向总是与带电粒子的运动方向垂直，对带电粒子总不做功，根据动能定理，洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，只改变粒子速度的方向，故可以改变速度，不改变速率和动能，故A正确，D错误；带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小不变，而方向时刻在改变，所以加速度在变化，故B正确；粒子在洛伦兹力作用下做曲线运动，则粒子的位移不断变化，C正确。

2. 安德森利用云室照片观察到宇宙线垂直进入匀强磁场时运动轨迹发生偏转。如图照片所示，在垂直于照片平面的匀强磁场(照片中未标出)中，高能宇宙线粒子穿过铅板时，有一个粒子的轨迹和电子的轨迹完全相同，但偏转的方向相反。这种前所未知的粒子与电子的质量相同，但电荷却相反。安德森发现这正是狄拉克预言的正电子。正电子的发现，开辟了反物质领域的研究，安德森获得1936年诺贝尔物理学奖。关于照片中的信息，下列说法正确的是(　　)

A．粒子的运动轨迹是抛物线

B．粒子在铅板上方运动的速度大于在铅板下方运动的速度

C．粒子从上向下穿过铅板

D．匀强磁场的方向垂直照片平面向里

答案　D

解析　粒子在磁场中只受洛伦兹力，做圆周运动，所以粒子的运动轨迹不是抛物线，故A错误；粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得r＝，由图示粒子的运动轨迹可知，粒子在铅板上方的轨道半径小，则速度较小，故B错误；粒子穿过铅板后能量有损失，粒子的速度v减小，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r减小，所以粒子从下向上穿过铅板，故C错误；粒子带正电，由左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里，故D正确。

3. (多选)如图所示，一束正离子流先后通过正交电磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径又相同，则说明这些正离子具有相同的(　　)

A．电荷  B．质量  C．速度  D．比荷

答案　CD

解析　离子在区域Ⅰ内不偏转，则有qvB1＝qE，v＝，说明离子有相同的速度，C正确；在区域Ⅱ内半径相同，由r＝知，离子有相同的比荷，D正确；至于离子的电荷与质量是否相等，由题意无法确定，A、B错误。

4. (多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力。下列说法正确的有(　　)

A．a、b均带正电

B．a在磁场中飞行的时间比b的短

C．a在磁场中飞行的路程比b的短

D．a在P上的落点与O点的距离比b的近

答案　AD

解析　离子打在屏P上，则沿顺时针方向偏转，根据左手定则，离子都带正电，A正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，而初速度大小也相同，由qvB＝m可知，它们做圆周运动的半径相同。作出运动轨迹，如图所示。比较得a在磁场中运动的路程比b的长，C错误；由t＝可知，a在磁场中运动的时间比b的长，B错误；从运动轨迹可以看出，a在P上的落点与O点的距离比b的近，D正确。

5．质量为m、电荷量为q的粒子(忽略重力)在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，形成空间环形电流。已知粒子的运动速率为v、半径为R、周期为T，环形电流的大小为I。则下面说法正确的是(　　)

A．该带电粒子的比荷为＝

B．在时间t内，粒子转过的圆弧对应的圆心角为θ＝

C．当速率v增大时，环形电流的大小I增大

D．当速率v增大时，运动周期T变小

答案　B

解析　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：Bqv＝m，解得粒子的比荷为：＝，故A错误；粒子做匀速圆周运动的周期：T＝，角速度为：ω＝，在时间t内，可得粒子转过的圆弧对应的圆心角为：θ＝ωt＝，故B正确；根据电流定义式可得环形电流为I＝＝，可知I与速率v无关，故C错误；由周期公式T＝可知，周期与速率v无关，故D错误。

6．(多选)环形对撞机是研究高能粒子的重要装置，其核心部件是一个高度真空的圆环状的空腔。若带电粒子初速度可视为零，经电压为U的电场加速后，沿圆环切线方向注入对撞机的环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。带电粒子将被限制在圆环状空腔内运动。要维持带电粒子在圆环内做半径确定的圆周运动，下列说法中正确的是(　　)

A．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越大

B．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越小

C．对于给定的带电粒子，加速电压U越大，粒子运动的周期越小

D．对于给定的带电粒子，不管加速电压U多大，粒子运动的周期都不变

答案　BC

解析　带电粒子经过加速电场时，由动能定理得qU＝mv2－0，解得v＝ ，带电粒子以该速度进入对撞机的环状空腔内，且在圆环内做半径确定的圆周运动，因此R＝＝ ，对于给定的加速电压，即U一定，则带电粒子的比荷越大，磁感应强度B应越小，A错误，B正确；本题中环形对撞机半径是恒定的，当比荷一定时，由R＝ 可知，U越大，B也相应越大，再代入周期T的公式T＝，得粒子运动的周期越小，故C正确，D错误。

7．如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab边成30°角时，粒子在磁场中运动的时间最长，且为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　)

A.v  B.v  C.v  D.v

答案　D

解析　根据半径公式可得粒子在磁场中的运动半径r＝，当粒子从b点飞出磁场时，粒子在磁场中运动时间最长，入射速度与出射速度与ab的夹角相等，所以速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，轨迹如图1所示。设磁场的半径为R，根据几何知识得知，轨迹半径为r1＝2R；根据周期公式可得T＝，与速度无关，当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等，也是60°，轨迹如图2所示。根据几何知识得粒子的轨迹半径为r2＝R，所以＝＝，解得v2＝v。故D正确。

8. 带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示。求：(g取10 m/s2，计算结果均保留两位有效数字)

(1)带电粒子离开磁场时的速度大小；

(2)带电粒子在磁场中运动的时间；

(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？

答案　(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10－8 s

(3)2.7×10－2 m

解析　粒子所受的洛伦兹力F洛＝qvB≈8.7×10－14 N，粒子所受的重力G＝mg＝1.7×10－26 N，F洛≫G，故重力可忽略不计。

(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度大小仍为3.2×106 m/s。

(2)由qvB＝m得轨道半径r＝＝0.2 m。

由题图可知偏转角θ满足

sinθ＝＝＝0.5，所以θ＝30°＝，

带电粒子在磁场中运动的周期T＝，

可见带电粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T，

所以t＝≈3.3×10－8 s。

(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离

d＝r(1－cosθ)＝0.2× m≈2.7×10－2 m。

9. (2019·河北新乐市第一中学高二月考)如图，在直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8 kg、电荷量为q＝1.0×10－6 C的带电粒子，从P点以v＝20 m/s的速度沿图示方向进入磁场，已知OP＝30 cm。(不计粒子重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

(1)若磁感应强度B＝2.0 T，粒子从x轴上的Q点(图中未画出)离开磁场，求OQ的距离；

(2)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B满足的条件。

答案　(1)0.90 m　(2)B＞5.33 T

解析　(1)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，

有qvB＝m，得R＝

代入数据得R＝0.50 m

因为Rcos53°＝OP

故轨迹圆心O′一定在x轴上，轨迹如图甲所示。

由几何关系可知OQ＝R＋Rsin53°

故OQ＝0.90 m。

(2)带电粒子不从x轴射出的临界情况如图乙所示

由几何关系得OP＝R0＋R0cos53°①

而R0＝②

联立①②并代入数据得B＝ T≈5.33 T

由R＝可知，B越大，R越小，若粒子不能进入x轴上方，

则B＞B0＝5.33 T。