还剩21页未读，
继续阅读
第五讲 重力和弹力
展开
第五讲 重力和弹力
1．力
(1)定义：物体与物体之间的相互作用．
(2)单位：牛顿，简称牛，符号：N．
(3)矢量性：力既有大小，又有方向．
2．力的表示方法
(1)力的图示：用一条带箭头的线段(有向线段)来表示力的三要素．
①线段的长短(严格按标度画)表示力的大小；
②箭头指向表示力的方向；
③箭尾(或箭头)表示力的作用点，线段所在的直线叫做力的作用线．
(2)力的示意图：只用一条带箭头的线段来表示力的方向和作用点．
3．力的三性
(1) 性：力是物体与物体的相互作用，没有脱离物体而独立存在的力．一个力同时具有受力物体和施力物体．
(2) 性：物体之间力的作用是相互的．力总是成对出现，施力物体同时又是受力物体，受力物体同时又是施力物体．
(3) 性：力不仅有大小，而且有方向，是矢量．
4．力的作用效果
(1)力的作用效果：(1) ；(2) ．
(2)影响作用效果的要素： ．
误区提示
1．相互作用的物体，可以直接接触，也可以不接触，但作用力必然是成对出现的．
2．并非有生命的物体才是施力物体，也并非先有施力物体后有受力物体．
3．任何一个力都独立地产生作用效果，使物体发生形变或使物体运动状态发生变化．
例1 下列说法中正确的是( )
A．射出枪口的子弹，能打到很远的地方，是因为子弹离开枪口后受到一个推力作用
B．不接触的物体之间不可能有力的作用
C．只有有生命或有动力的物体才会施力，无生命或无动力的物体只会受到力，不会施力
D．任何一个物体，一定既是受力物体，又是施力物体
例2下列说法中正确的是( )
A．用手压弹簧，手先给弹簧一个作用力，弹簧压缩后再反过来给手一个作用力
B．运动员将垒球抛出后，垒球的运动状态仍在变化，垒球仍为受力物体，但施力物体不是运动员
C．施力物体对受力物体施加了力，施力物体本身可能不受力的作用
D．“风吹草动”，草受到了力，但没有施力物体，说明没有施力物体的力也是存在的
重力
重力
定义：由于地球的吸引而使物体受到的力．
1．重力的大小
(1)重力的大小G＝mg，只与质量和重力加速度g有关，与物体的运动状态无关．
(2)重力加速度g与物体所处的纬度和高度有关，纬度越高，g越大．
2．重力的方向：总是 ，竖直向下是指与水平面垂直向下，但是并不等同于垂直于支持面向下，也不等同于指向地心．
3．重力的作用点——重心
(1)重心是物体各部分所受重力的 ，并不是只有物体的重心才受到重力作用．重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体的质量分布有关．质量分布均匀、形状规则的物体的重心在其几何中心．重心的位置可以在物体上，也可以在物体外．
(2)重心位置的确定方法：薄板状物体的重心可以用悬挂法确定．
对物体的重心注意以下三点
1．重心不是重力的真实作用点，重力作用于整个物体，重心是重力的等效作用点．
2．重心不是物体上最重的一点，也不一定是物体的几何中心．
3．重心在物体上的相对位置与物体的位置、放置状态及运动状态无关．重心的位置可以不在物体上．
例1 关于重心及重力，下列说法中正确的是( )
A．一个物体放于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中称量时弹簧测力计的示数，因此物体在水中受到的重力小于在空气中受到的重力
B．据G＝mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力不一定较大
C．物体放于水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下
D．物体的形状改变后，其重心位置不会改变
例2 (对重力大小和方向的理解)下列说法正确的是( )
A．在接近地面附近，自由下落的石块速度越来越大，说明石块所受重力越来越大
B．在空中飞行的物体不受重力作用
C．一抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变
D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小和方向都不变
例3 如图所示，一个空心均匀球壳里面注满水，球的正下方有一个小孔，在水由小孔慢慢流出的过程中，空心球壳和水的共同重心将会( )
A．一直下降 B．一直上升 C．先升高后降低 D．先降低后升高
弹力
1．弹性形变和弹力
(1)形变：物体在力的作用下形状或体积发生的变化．
(2)弹性形变：物体在形变后撤去作用力时能够恢复原状的形变．
(3)非弹性形变（塑性形变）：撤去外力后不能恢复原状的形变．
(4)弹性限度：如果形变过大，超过一定的限度，撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫做弹性限度．
(5)发生弹性形变的物体，外力过大，超过一定的限度(弹性限度)，会变成非弹性形变．
2．弹力定义
发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力．（谁施力，谁形变）
3．弹力的产生必须同时具备两个条件：
(1)两物体 ；
(2)两物体 ．
4．显示微小形变的方法
显示微小形变可以用力学放大法(左图)和光学放大法(右图)，它们都是把微小的形变进行放大，便于观察．
5．几种弹力及方向
(1)压力和支持力的方向都垂直于物体的接触面．
(2)绳的拉力方向总是沿着绳子而指向绳子收缩的方向．绳中的弹力常常叫做张力．
6．弹力的方向
(1)接触方式
面与面
点与面
点与曲面
曲面与平面
垂直于
接触面
垂直于接触面
垂直于切面
垂直于平面
(2)轻绳、轻杆、轻弹簧
绳的弹力一定沿绳
杆的弹力
不一定沿杆
（受力分析）
弹簧分拉伸、压缩
7．弹力有无的判断：
(1)对于明显形变的情况，可以根据弹力产生的条件直接进行判断．
(2)对于不明显形变的情况，可利用假设法进行判断，具体有下列两种方法：
①假设无弹力：假设撤去接触面，看物体还能否在原位置保持原来的状态，若能保持原来的状态则说明物体间可能无弹力作用；否则，有弹力作用．
(3)状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在
判断弹力有无的两个误区
(1)误认为两物体只要接触就一定存在弹力作用，而忽视了弹力产生的另一条件——发生弹性形变．
(2)误认为有形变一定有弹力，而忽视了弹性形变和非弹性形变的区别．
例1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( )
A．木块放在桌面上受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小形变而产生的
B．木块放在桌面上，木块没有形变，所以对桌面没有施加弹力
C．拿一根细竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿的弹力，这是由于木头发生形变而产生的
D．挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，是因为电线发生微小的形变而产生的
例2 (多选)如图所示，图中的物体A均处于静止状态，受到弹力作用的说法正确的是( )
A．图甲中地面是光滑水平的，A与B间存在弹力
B．图乙中两斜面与水平地面的夹角分别为α、β，A对两斜面均有压力的作用
C．图丙中A受到斜面B对它的弹力的作用
D．图丁中A受到光滑斜面B对它的弹力的作用
例3 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定着质量为m的小球，小车静止，下列关于杆对球的弹力的判断正确的是( )
A．大小为mg，方向沿杆向上 B．大小为mg，方向垂直杆向上
C．大小为mg，方向竖直向上 D．以上说法都不对
题型一 、判断弹力是否存在及弹力的方向
1．如图所示，已知小球静止，甲中的细线竖直，乙中的细线倾斜，试判断图中小球所受弹力的方向。
2．画出图中处于静止状态的物体A受到的重力和弹力．（图中墙壁竖直，所有接触面均光滑）
3．在如图所示装置中分析、杆对A点的弹力的方向，不计、的重力。
4．画出下列各图中静止的A物体受到的弹力的示意图。
(2) 胡克定律
1．内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，即F＝kx．
2．劲度系数：其中k为弹簧的劲度系数，单位为牛顿每米，符号是N/m．是表示弹簧“软” “硬”程度的物理量．
3．成立条件：在弹性限度内．
4．对F＝kx的理解
(1)x是弹簧的形变量（变化量，可伸长可缩短），而不是弹簧形变后的长度．
(2)k为弹簧的劲度系数，反映弹簧本身的属性，由弹簧自身的长度、粗细、材料等因素决定，与弹力F的大小和伸长量x无关．
(3)F－x图象是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k．
(4)弹簧弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx．
5．提示
(1)轻弹簧有压缩和拉伸形变，既能产生压力，又能产生拉力，方向均沿弹簧的轴线方向．
(2)如果题目中只告诉弹簧的形变量，并没有指出是伸长还是压缩，或只告诉弹簧弹力的大小，并没有指出弹簧处于拉伸状态还是处于压缩状态，就要分别进行讨论．
(3)轻弹簧的一端空载时弹力为零，不空载时两端弹力必然相等．（力的相互性）
例1 (多选)关于胡克定律，下列说法正确的是( )
A．由F＝kx可知，在弹性限度内弹力F的大小与弹簧形变量x成正比
B．由k＝可知，劲度系数k与弹力F成正比，与弹簧的形变量成反比
C．弹簧的劲度系数k是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
例2 如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力分别为、、，其大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、 胡克定律及应用
5．将的物体静止悬挂在轻质弹簧上，弹簧伸长了2.0cm，弹簧的弹力是多大？弹簧的劲度系数是多少？（如图甲）将弹簧从挂钩处摘下，在点施加一个竖直向上的的拉力（图乙），物体仍然静止，那么弹簧的伸长量是多少？
6．如图所示，两根相同的弹簧S1和S2，劲度系数均为k=400N/m，悬挂的重物质量分别为=2kg相=4kg；若不计弹簧质量，g取10 m/s2，则平衡时弹簧s1、s2的伸长量分别为
A．10cm、 5cm B．15cm、 10cm
C．15cm、 5cm D．10cm、 15cm
7．如图所示，A、B两个物块用轻弹簧相连接，它们的质量分别为mA=2kg和mB=3kg，弹簧的劲度系数为k=400N/m，物块B置于水平地面上，物块A靠弹簧托住，系统处于静止状态。现用一恒力F=50N竖直向上拉物块A使之向上运动，重力加速度g取10m/s2，试求：；
(1)从开始拉A到物块B刚要离开地面时，物块A的位移s。
8．劲度系数为k1=100N/m轻质弹簧两端分别与质量为m1=1kg和m2=2kg的物块1、2拴接，劲度系数为k2=200N/m轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢上提，直到下面那个弹簧刚脱离桌面（如图所示），（g取10N/kg）
(1)物体2上升的距离是多少？
(2)物体1上升的距离是多少？
题型三、 探究弹簧弹力与形变量的关系
9．如图甲所示，某学习小组把两根弹簧连接起来，测量两弹簧的劲度系数。弹簧1上端固定在支架顶端，弹簧1和2下端分别有一能与厘米刻度尺垂直对齐的指针，重力加速度取。
（1）某次测量结果如图乙所示，指针示数为______cm。
（2）在两弹簧弹性限度内，将质量为50g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数、，在坐标纸上画出、与钩码个数n的关系图像如图丙所示。可求出弹簧1、2的劲度系数分别为______N/m，______N/m。
（3）弹簧2的重力______（填“会”或“不会”）引起弹簧1的劲度系数的测量误差。
10．（2021·广东·高考真题）某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
n
1
2
3
4
5
6
8.04
10.03
12.05
14.07
16.11
18.09
（1）利用计算弹簧的压缩量：，，______cm，压缩量的平均值______cm；
（2）上述是管中增加______个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
（3）忽略摩擦，重力加速度g取，该弹簧的劲度系数为______N/m。（结果保留3位有效数字）
第五讲 重力和弹力
例1 下列说法中正确的是( )
A．射出枪口的子弹，能打到很远的地方，是因为子弹离开枪口后受到一个推力作用
B．不接触的物体之间不可能有力的作用
C．只有有生命或有动力的物体才会施力，无生命或无动力的物体只会受到力，不会施力
D．任何一个物体，一定既是受力物体，又是施力物体
答案 D
解析 子弹在枪管内受到火药爆炸所产生的强大推力，使子弹离开枪口时具有很大的速度，但子弹离开枪口以后，只受重力和空气阻力作用，并没有一个所谓的推力，因为不可能找到这个“推力”的施力物体，故不存在，所以A错；不接触的物体之间也可能有力的作用，如两个磁铁，故B错；不论物体是否有生命或是否有动力，它们受到别的物体作用时，都会施力，如马拉车时，车也拉马；书向下压桌子，桌子也向上推书，故C错；由于自然界中的物体都是相互联系的，找不到一个孤立的、不受其他物体作用的物体，所以每一个物体既是受力物体，又是施力物体，故D正确．
例2下列说法中正确的是( )
A．用手压弹簧，手先给弹簧一个作用力，弹簧压缩后再反过来给手一个作用力
B．运动员将垒球抛出后，垒球的运动状态仍在变化，垒球仍为受力物体，但施力物体不是运动员
C．施力物体对受力物体施加了力，施力物体本身可能不受力的作用
D．“风吹草动”，草受到了力，但没有施力物体，说明没有施力物体的力也是存在的
答
例1 关于重心及重力，下列说法中正确的是( )
A．一个物体放于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中称量时弹簧测力计的示数，因此物体在水中受到的重力小于在空气中受到的重力
B．据G＝mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力不一定较大
C．物体放于水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下
D．物体的形状改变后，其重心位置不会改变
答案 B
解析 由于物体放于水中时，受到向上的浮力从而减小了弹簧的拉伸形变，弹簧测力计的拉力减小了，但物体的重力并不改变，选项A错误．当两物体所处的地理位置相同时，g值相同，质量大的物体的重力必定大，但当两物体所处的地理位置不同时，如质量较小的物体放在地球上，质量较大的物体放在月球上，由于月球上g值较小，故质量较大的物体的重力不一定较大，选项B正确．重力的方向总是竖直向下的，选项C错误．物体的重心位置由物体的形状和质量分布情况共同决定，当物体的形状改变时，其重心可能发生改变，故选项D错误．
例2 (对重力大小和方向的理解)下列说法正确的是( )
A．在接近地面附近，自由下落的石块速度越来越大，说明石块所受重力越来越大
B．在空中飞行的物体不受重力作用
C．一抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变
D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小和方向都不变
答案 D
解析 在地球上接近地面的同一位置，同一物体的重力为一定值，故A错；只要在地球上，物体所受重力就不为零，故B错；重力的方向始终竖直向下，与物体的运动状态无关，故C错，D对．
例3 如图所示，一个空心均匀球壳里面注满水，球的正下方有一个小孔，在水由小孔慢慢流出的过程中，空心球壳和水的共同重心将会( )
A．一直下降 B．一直上升 C．先升高后降低 D．先降低后升高
答案 D
解析 当注满水时，球壳和水的重心均在球心，故它们共同的重心在球心．随着水的流出，球壳的重心虽然仍在球心，但水的重心逐渐下降，开始一段时间内，球壳内剩余的水较多，随着水的重心下降，球壳和水共同的重心也下降；后来一段时间内，球壳内剩余的水较少，随着水的重心的下降，球壳和水共同的重心却升高；最后，水流完时，重心又回到球心．故球壳和水的共同重心先降低后升高，选项D正确．
例1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( )
A．木块放在桌面上受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小形变而产生的
B．木块放在桌面上，木块没有形变，所以对桌面没有施加弹力
C．拿一根细竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿的弹力，这是由于木头发生形变而产生的
D．挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，是因为电线发生微小的形变而产生的
答案 D
解析 木块和桌面相互作用，都会发生微小的形变．桌面发生微小形变对木块有向上的弹力即支持力；木块由于发生微小形变对桌面有向下的弹力即压力，A、B都错．木头受到的弹力是由细竹竿发生形变而产生的，C错．电灯受到的拉力是电线发生微小形变而产生的，D对．
例2 (多选)如图所示，图中的物体A均处于静止状态，受到弹力作用的说法正确的是( )
A．图甲中地面是光滑水平的，A与B间存在弹力
B．图乙中两斜面与水平地面的夹角分别为α、β，A对两斜面均有压力的作用
C．图丙中A受到斜面B对它的弹力的作用
D．图丁中A受到光滑斜面B对它的弹力的作用
答案 BC
解析 题图甲中对B进行受力分析，B球受重力和地面的弹力的作用，二力平衡，B球静止．不可能再受到A对B的弹力作用；B选项中采用假设法，若去掉左侧的斜面，A将运动，若去掉右侧的斜面，A也将运动，所以球A对两斜面均有力的作用；C选项中假设斜面B不存在，则小球A无法在原位置保持静止，故丙图中小球受到斜面的弹力．D选项中假设斜面B对小球A有弹力作用，则小球A不能保持静止，所以丁图中小球不受斜面弹力的作用．
例3 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定着质量为m的小球，小车静止，下列关于杆对球的弹力的判断正确的是( )
A．大小为mg，方向沿杆向上 B．大小为mg，方向垂直杆向上
C．大小为mg，方向竖直向上 D．以上说法都不对
答案 C
解析 小车静止时，根据平衡条件可知，杆对球的弹力F＝mg，方向竖直向上，C正确，A、B、D错误．
题型01 判断弹力是否存在及弹力的方向
1．如图所示，已知小球静止，甲中的细线竖直，乙中的细线倾斜，试判断图中小球所受弹力的方向。
【答案】甲图中小球受细线沿线向上的拉力；乙图中小球受细线沿线斜向上的拉力和垂直斜面的弹力
【解析】小球静止，则小球除受重力外，还受其他力的作用，甲、乙两图中均可采用“假设法”分析：在两图中，若去掉细线，则小球将下滑，故两细线中均有沿线方向的拉力；在甲图中若去掉斜面体，小球仍能在原位置保持静止状态，故甲图中小球受细线沿线向上的拉力；在乙图中若去掉斜面体，则小球不会在原位置静止，故乙图中小球受细线沿线斜向上的拉力和垂直斜面的弹力。甲，乙小球所受弹力如图所示
2．画出图中处于静止状态的物体A受到的重力和弹力．（图中墙壁竖直，所有接触面均光滑）
【答案】
【解析】各物体所受弹力如图所示：
3．在如图所示装置中分析、杆对A点的弹力的方向，不计、的重力。
【答案】
【解析】用绳替换，原装置状态不变，说明对A施加的是拉力；用绳替换，原状态不能维持，说明对A施加的是支持力。
4．画出下列各图中静止的A物体受到的弹力的示意图。
【答案】
【解析】接触面是平面的物体所受的弹力垂直于平面指向受力物体，接触面是曲面的物体所受的弹力垂直于切面指向受力物体，绳上的弹力沿绳指向绳收缩的方向，弹簧的弹力沿弹簧指向形变恢复的方向。各图中A物体所受弹力的示意图分别如答案图所示。
例1 (多选)关于胡克定律，下列说法正确的是( )
A．由F＝kx可知，在弹性限度内弹力F的大小与弹簧形变量x成正比
B．由k＝可知，劲度系数k与弹力F成正比，与弹簧的形变量成反比
C．弹簧的劲度系数k是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
答案 ACD
解析 在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量遵守胡克定律F＝kx，A正确；弹簧的劲度系数是由弹簧本身的性质决定，与弹力F及形变量x无关，B错误，C正确；由胡克定律得k＝，可理解为弹簧伸长(或缩短)单位长度时受到的弹力的值与k相等，D正确．
例2 ．如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力分别为、、，其大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】弹簧拉伸或压缩必然两端同时受力才可，只有一端有力时弹簧不会被拉伸或压缩，因弹簧均是拉住一相同质量小球，则弹力一样大，即
故选A。
题型02 胡克定律及应用
1．将的物体静止悬挂在轻质弹簧上，弹簧伸长了2.0cm，弹簧的弹力是多大？弹簧的劲度系数是多少？（如图甲）将弹簧从挂钩处摘下，在点施加一个竖直向上的的拉力（图乙），物体仍然静止，那么弹簧的伸长量是多少？
【答案】50N；；2.0cm
【解析】物体静止时受重力、弹力，二力平衡，所以
又
联立解得：
物体受重力、弹力二力平衡，点受弹力、向上的拉力，二力平衡，所以可得此时弹簧弹力
故弹簧伸长量仍然是。
2．如图所示，A、B两个物块用轻弹簧相连接，它们的质量分别为mA=2kg和mB=3kg，弹簧的劲度系数为k=400N/m，物块B置于水平地面上，物块A靠弹簧托住，系统处于静止状态。现用一恒力F=60N竖直向上拉物块A使之向上运动，重力加速度g取10m/s2，试求：
(1)物块B刚要离开地面时，物块A的加速度a的大小；
(2)从开始拉A到物块B刚要离开地面时，物块A的位移s。
【答案】(1)5m/s2；(2)0.125m
【解析】(1)B刚要离开地面时，弹簧弹力为
F1=mBg
据牛顿第二定律，有
F－F1－mAg＝mAa
解得
a=5m/s2
(2)开始，未用力F拉动时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，由胡克定律有
得
x1＝＝0.05m
由题意当物块B刚要离开地面时
x2＝＝0.075m
物块A的总位移
s＝x1＋x2＝0.125m
3．劲度系数为k1=100N/m轻质弹簧两端分别与质量为m1=1kg和m2=2kg的物块1、2拴接，劲度系数为k2=200N/m轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢上提，直到下面那个弹簧刚脱离桌面（如图所示），（g取10N/kg）
(1)物体2上升的距离是多少？
(2)物体1上升的距离是多少？
【答案】(1)0.15m；(2)0.45m
【解析】（1）设施力前，下面弹簧的压缩量x2 ，则
代数解得
（2）下面弹簧刚脱离桌面时物体2上升的距离
设施力前，下面弹簧的压缩量为x1 ，则
代数解得
设下面弹簧刚脱离桌面时上面弹簧的伸长量为x1＇
则代数解得
物体1上升的距离
1．力
(1)定义：物体与物体之间的相互作用．
(2)单位：牛顿，简称牛，符号：N．
(3)矢量性：力既有大小，又有方向．
2．力的表示方法
(1)力的图示：用一条带箭头的线段(有向线段)来表示力的三要素．
①线段的长短(严格按标度画)表示力的大小；
②箭头指向表示力的方向；
③箭尾(或箭头)表示力的作用点，线段所在的直线叫做力的作用线．
(2)力的示意图：只用一条带箭头的线段来表示力的方向和作用点．
3．力的三性
(1) 性：力是物体与物体的相互作用，没有脱离物体而独立存在的力．一个力同时具有受力物体和施力物体．
(2) 性：物体之间力的作用是相互的．力总是成对出现，施力物体同时又是受力物体，受力物体同时又是施力物体．
(3) 性：力不仅有大小，而且有方向，是矢量．
4．力的作用效果
(1)力的作用效果：(1) ；(2) ．
(2)影响作用效果的要素： ．
误区提示
1．相互作用的物体，可以直接接触，也可以不接触，但作用力必然是成对出现的．
2．并非有生命的物体才是施力物体，也并非先有施力物体后有受力物体．
3．任何一个力都独立地产生作用效果，使物体发生形变或使物体运动状态发生变化．
例1 下列说法中正确的是( )
A．射出枪口的子弹，能打到很远的地方，是因为子弹离开枪口后受到一个推力作用
B．不接触的物体之间不可能有力的作用
C．只有有生命或有动力的物体才会施力，无生命或无动力的物体只会受到力，不会施力
D．任何一个物体，一定既是受力物体，又是施力物体
例2下列说法中正确的是( )
A．用手压弹簧，手先给弹簧一个作用力，弹簧压缩后再反过来给手一个作用力
B．运动员将垒球抛出后，垒球的运动状态仍在变化，垒球仍为受力物体，但施力物体不是运动员
C．施力物体对受力物体施加了力，施力物体本身可能不受力的作用
D．“风吹草动”，草受到了力，但没有施力物体，说明没有施力物体的力也是存在的
重力
重力
定义：由于地球的吸引而使物体受到的力．
1．重力的大小
(1)重力的大小G＝mg，只与质量和重力加速度g有关，与物体的运动状态无关．
(2)重力加速度g与物体所处的纬度和高度有关，纬度越高，g越大．
2．重力的方向：总是 ，竖直向下是指与水平面垂直向下，但是并不等同于垂直于支持面向下，也不等同于指向地心．
3．重力的作用点——重心
(1)重心是物体各部分所受重力的 ，并不是只有物体的重心才受到重力作用．重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体的质量分布有关．质量分布均匀、形状规则的物体的重心在其几何中心．重心的位置可以在物体上，也可以在物体外．
(2)重心位置的确定方法：薄板状物体的重心可以用悬挂法确定．
对物体的重心注意以下三点
1．重心不是重力的真实作用点，重力作用于整个物体，重心是重力的等效作用点．
2．重心不是物体上最重的一点，也不一定是物体的几何中心．
3．重心在物体上的相对位置与物体的位置、放置状态及运动状态无关．重心的位置可以不在物体上．
例1 关于重心及重力，下列说法中正确的是( )
A．一个物体放于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中称量时弹簧测力计的示数，因此物体在水中受到的重力小于在空气中受到的重力
B．据G＝mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力不一定较大
C．物体放于水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下
D．物体的形状改变后，其重心位置不会改变
例2 (对重力大小和方向的理解)下列说法正确的是( )
A．在接近地面附近，自由下落的石块速度越来越大，说明石块所受重力越来越大
B．在空中飞行的物体不受重力作用
C．一抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变
D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小和方向都不变
例3 如图所示，一个空心均匀球壳里面注满水，球的正下方有一个小孔，在水由小孔慢慢流出的过程中，空心球壳和水的共同重心将会( )
A．一直下降 B．一直上升 C．先升高后降低 D．先降低后升高
弹力
1．弹性形变和弹力
(1)形变：物体在力的作用下形状或体积发生的变化．
(2)弹性形变：物体在形变后撤去作用力时能够恢复原状的形变．
(3)非弹性形变（塑性形变）：撤去外力后不能恢复原状的形变．
(4)弹性限度：如果形变过大，超过一定的限度，撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫做弹性限度．
(5)发生弹性形变的物体，外力过大，超过一定的限度(弹性限度)，会变成非弹性形变．
2．弹力定义
发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力．（谁施力，谁形变）
3．弹力的产生必须同时具备两个条件：
(1)两物体 ；
(2)两物体 ．
4．显示微小形变的方法
显示微小形变可以用力学放大法(左图)和光学放大法(右图)，它们都是把微小的形变进行放大，便于观察．
5．几种弹力及方向
(1)压力和支持力的方向都垂直于物体的接触面．
(2)绳的拉力方向总是沿着绳子而指向绳子收缩的方向．绳中的弹力常常叫做张力．
6．弹力的方向
(1)接触方式
面与面
点与面
点与曲面
曲面与平面
垂直于
接触面
垂直于接触面
垂直于切面
垂直于平面
(2)轻绳、轻杆、轻弹簧
绳的弹力一定沿绳
杆的弹力
不一定沿杆
（受力分析）
弹簧分拉伸、压缩
7．弹力有无的判断：
(1)对于明显形变的情况，可以根据弹力产生的条件直接进行判断．
(2)对于不明显形变的情况，可利用假设法进行判断，具体有下列两种方法：
①假设无弹力：假设撤去接触面，看物体还能否在原位置保持原来的状态，若能保持原来的状态则说明物体间可能无弹力作用；否则，有弹力作用．
(3)状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在
判断弹力有无的两个误区
(1)误认为两物体只要接触就一定存在弹力作用，而忽视了弹力产生的另一条件——发生弹性形变．
(2)误认为有形变一定有弹力，而忽视了弹性形变和非弹性形变的区别．
例1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( )
A．木块放在桌面上受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小形变而产生的
B．木块放在桌面上，木块没有形变，所以对桌面没有施加弹力
C．拿一根细竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿的弹力，这是由于木头发生形变而产生的
D．挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，是因为电线发生微小的形变而产生的
例2 (多选)如图所示，图中的物体A均处于静止状态，受到弹力作用的说法正确的是( )
A．图甲中地面是光滑水平的，A与B间存在弹力
B．图乙中两斜面与水平地面的夹角分别为α、β，A对两斜面均有压力的作用
C．图丙中A受到斜面B对它的弹力的作用
D．图丁中A受到光滑斜面B对它的弹力的作用
例3 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定着质量为m的小球，小车静止，下列关于杆对球的弹力的判断正确的是( )
A．大小为mg，方向沿杆向上 B．大小为mg，方向垂直杆向上
C．大小为mg，方向竖直向上 D．以上说法都不对
题型一 、判断弹力是否存在及弹力的方向
1．如图所示，已知小球静止，甲中的细线竖直，乙中的细线倾斜，试判断图中小球所受弹力的方向。
2．画出图中处于静止状态的物体A受到的重力和弹力．（图中墙壁竖直，所有接触面均光滑）
3．在如图所示装置中分析、杆对A点的弹力的方向，不计、的重力。
4．画出下列各图中静止的A物体受到的弹力的示意图。
(2) 胡克定律
1．内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，即F＝kx．
2．劲度系数：其中k为弹簧的劲度系数，单位为牛顿每米，符号是N/m．是表示弹簧“软” “硬”程度的物理量．
3．成立条件：在弹性限度内．
4．对F＝kx的理解
(1)x是弹簧的形变量（变化量，可伸长可缩短），而不是弹簧形变后的长度．
(2)k为弹簧的劲度系数，反映弹簧本身的属性，由弹簧自身的长度、粗细、材料等因素决定，与弹力F的大小和伸长量x无关．
(3)F－x图象是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k．
(4)弹簧弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx．
5．提示
(1)轻弹簧有压缩和拉伸形变，既能产生压力，又能产生拉力，方向均沿弹簧的轴线方向．
(2)如果题目中只告诉弹簧的形变量，并没有指出是伸长还是压缩，或只告诉弹簧弹力的大小，并没有指出弹簧处于拉伸状态还是处于压缩状态，就要分别进行讨论．
(3)轻弹簧的一端空载时弹力为零，不空载时两端弹力必然相等．（力的相互性）
例1 (多选)关于胡克定律，下列说法正确的是( )
A．由F＝kx可知，在弹性限度内弹力F的大小与弹簧形变量x成正比
B．由k＝可知，劲度系数k与弹力F成正比，与弹簧的形变量成反比
C．弹簧的劲度系数k是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
例2 如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力分别为、、，其大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、 胡克定律及应用
5．将的物体静止悬挂在轻质弹簧上，弹簧伸长了2.0cm，弹簧的弹力是多大？弹簧的劲度系数是多少？（如图甲）将弹簧从挂钩处摘下，在点施加一个竖直向上的的拉力（图乙），物体仍然静止，那么弹簧的伸长量是多少？
6．如图所示，两根相同的弹簧S1和S2，劲度系数均为k=400N/m，悬挂的重物质量分别为=2kg相=4kg；若不计弹簧质量，g取10 m/s2，则平衡时弹簧s1、s2的伸长量分别为
A．10cm、 5cm B．15cm、 10cm
C．15cm、 5cm D．10cm、 15cm
7．如图所示，A、B两个物块用轻弹簧相连接，它们的质量分别为mA=2kg和mB=3kg，弹簧的劲度系数为k=400N/m，物块B置于水平地面上，物块A靠弹簧托住，系统处于静止状态。现用一恒力F=50N竖直向上拉物块A使之向上运动，重力加速度g取10m/s2，试求：；
(1)从开始拉A到物块B刚要离开地面时，物块A的位移s。
8．劲度系数为k1=100N/m轻质弹簧两端分别与质量为m1=1kg和m2=2kg的物块1、2拴接，劲度系数为k2=200N/m轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢上提，直到下面那个弹簧刚脱离桌面（如图所示），（g取10N/kg）
(1)物体2上升的距离是多少？
(2)物体1上升的距离是多少？
题型三、 探究弹簧弹力与形变量的关系
9．如图甲所示，某学习小组把两根弹簧连接起来，测量两弹簧的劲度系数。弹簧1上端固定在支架顶端，弹簧1和2下端分别有一能与厘米刻度尺垂直对齐的指针，重力加速度取。
（1）某次测量结果如图乙所示，指针示数为______cm。
（2）在两弹簧弹性限度内，将质量为50g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数、，在坐标纸上画出、与钩码个数n的关系图像如图丙所示。可求出弹簧1、2的劲度系数分别为______N/m，______N/m。
（3）弹簧2的重力______（填“会”或“不会”）引起弹簧1的劲度系数的测量误差。
10．（2021·广东·高考真题）某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
n
1
2
3
4
5
6
8.04
10.03
12.05
14.07
16.11
18.09
（1）利用计算弹簧的压缩量：，，______cm，压缩量的平均值______cm；
（2）上述是管中增加______个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
（3）忽略摩擦，重力加速度g取，该弹簧的劲度系数为______N/m。（结果保留3位有效数字）
第五讲 重力和弹力
例1 下列说法中正确的是( )
A．射出枪口的子弹，能打到很远的地方，是因为子弹离开枪口后受到一个推力作用
B．不接触的物体之间不可能有力的作用
C．只有有生命或有动力的物体才会施力，无生命或无动力的物体只会受到力，不会施力
D．任何一个物体，一定既是受力物体，又是施力物体
答案 D
解析 子弹在枪管内受到火药爆炸所产生的强大推力，使子弹离开枪口时具有很大的速度，但子弹离开枪口以后，只受重力和空气阻力作用，并没有一个所谓的推力，因为不可能找到这个“推力”的施力物体，故不存在，所以A错；不接触的物体之间也可能有力的作用，如两个磁铁，故B错；不论物体是否有生命或是否有动力，它们受到别的物体作用时，都会施力，如马拉车时，车也拉马；书向下压桌子，桌子也向上推书，故C错；由于自然界中的物体都是相互联系的，找不到一个孤立的、不受其他物体作用的物体，所以每一个物体既是受力物体，又是施力物体，故D正确．
例2下列说法中正确的是( )
A．用手压弹簧，手先给弹簧一个作用力，弹簧压缩后再反过来给手一个作用力
B．运动员将垒球抛出后，垒球的运动状态仍在变化，垒球仍为受力物体，但施力物体不是运动员
C．施力物体对受力物体施加了力，施力物体本身可能不受力的作用
D．“风吹草动”，草受到了力，但没有施力物体，说明没有施力物体的力也是存在的
答
例1 关于重心及重力，下列说法中正确的是( )
A．一个物体放于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中称量时弹簧测力计的示数，因此物体在水中受到的重力小于在空气中受到的重力
B．据G＝mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力不一定较大
C．物体放于水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下
D．物体的形状改变后，其重心位置不会改变
答案 B
解析 由于物体放于水中时，受到向上的浮力从而减小了弹簧的拉伸形变，弹簧测力计的拉力减小了，但物体的重力并不改变，选项A错误．当两物体所处的地理位置相同时，g值相同，质量大的物体的重力必定大，但当两物体所处的地理位置不同时，如质量较小的物体放在地球上，质量较大的物体放在月球上，由于月球上g值较小，故质量较大的物体的重力不一定较大，选项B正确．重力的方向总是竖直向下的，选项C错误．物体的重心位置由物体的形状和质量分布情况共同决定，当物体的形状改变时，其重心可能发生改变，故选项D错误．
例2 (对重力大小和方向的理解)下列说法正确的是( )
A．在接近地面附近，自由下落的石块速度越来越大，说明石块所受重力越来越大
B．在空中飞行的物体不受重力作用
C．一抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变
D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小和方向都不变
答案 D
解析 在地球上接近地面的同一位置，同一物体的重力为一定值，故A错；只要在地球上，物体所受重力就不为零，故B错；重力的方向始终竖直向下，与物体的运动状态无关，故C错，D对．
例3 如图所示，一个空心均匀球壳里面注满水，球的正下方有一个小孔，在水由小孔慢慢流出的过程中，空心球壳和水的共同重心将会( )
A．一直下降 B．一直上升 C．先升高后降低 D．先降低后升高
答案 D
解析 当注满水时，球壳和水的重心均在球心，故它们共同的重心在球心．随着水的流出，球壳的重心虽然仍在球心，但水的重心逐渐下降，开始一段时间内，球壳内剩余的水较多，随着水的重心下降，球壳和水共同的重心也下降；后来一段时间内，球壳内剩余的水较少，随着水的重心的下降，球壳和水共同的重心却升高；最后，水流完时，重心又回到球心．故球壳和水的共同重心先降低后升高，选项D正确．
例1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( )
A．木块放在桌面上受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小形变而产生的
B．木块放在桌面上，木块没有形变，所以对桌面没有施加弹力
C．拿一根细竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿的弹力，这是由于木头发生形变而产生的
D．挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，是因为电线发生微小的形变而产生的
答案 D
解析 木块和桌面相互作用，都会发生微小的形变．桌面发生微小形变对木块有向上的弹力即支持力；木块由于发生微小形变对桌面有向下的弹力即压力，A、B都错．木头受到的弹力是由细竹竿发生形变而产生的，C错．电灯受到的拉力是电线发生微小形变而产生的，D对．
例2 (多选)如图所示，图中的物体A均处于静止状态，受到弹力作用的说法正确的是( )
A．图甲中地面是光滑水平的，A与B间存在弹力
B．图乙中两斜面与水平地面的夹角分别为α、β，A对两斜面均有压力的作用
C．图丙中A受到斜面B对它的弹力的作用
D．图丁中A受到光滑斜面B对它的弹力的作用
答案 BC
解析 题图甲中对B进行受力分析，B球受重力和地面的弹力的作用，二力平衡，B球静止．不可能再受到A对B的弹力作用；B选项中采用假设法，若去掉左侧的斜面，A将运动，若去掉右侧的斜面，A也将运动，所以球A对两斜面均有力的作用；C选项中假设斜面B不存在，则小球A无法在原位置保持静止，故丙图中小球受到斜面的弹力．D选项中假设斜面B对小球A有弹力作用，则小球A不能保持静止，所以丁图中小球不受斜面弹力的作用．
例3 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定着质量为m的小球，小车静止，下列关于杆对球的弹力的判断正确的是( )
A．大小为mg，方向沿杆向上 B．大小为mg，方向垂直杆向上
C．大小为mg，方向竖直向上 D．以上说法都不对
答案 C
解析 小车静止时，根据平衡条件可知，杆对球的弹力F＝mg，方向竖直向上，C正确，A、B、D错误．
题型01 判断弹力是否存在及弹力的方向
1．如图所示，已知小球静止，甲中的细线竖直，乙中的细线倾斜，试判断图中小球所受弹力的方向。
【答案】甲图中小球受细线沿线向上的拉力；乙图中小球受细线沿线斜向上的拉力和垂直斜面的弹力
【解析】小球静止，则小球除受重力外，还受其他力的作用，甲、乙两图中均可采用“假设法”分析：在两图中，若去掉细线，则小球将下滑，故两细线中均有沿线方向的拉力；在甲图中若去掉斜面体，小球仍能在原位置保持静止状态，故甲图中小球受细线沿线向上的拉力；在乙图中若去掉斜面体，则小球不会在原位置静止，故乙图中小球受细线沿线斜向上的拉力和垂直斜面的弹力。甲，乙小球所受弹力如图所示
2．画出图中处于静止状态的物体A受到的重力和弹力．（图中墙壁竖直，所有接触面均光滑）
【答案】
【解析】各物体所受弹力如图所示：
3．在如图所示装置中分析、杆对A点的弹力的方向，不计、的重力。
【答案】
【解析】用绳替换，原装置状态不变，说明对A施加的是拉力；用绳替换，原状态不能维持，说明对A施加的是支持力。
4．画出下列各图中静止的A物体受到的弹力的示意图。
【答案】
【解析】接触面是平面的物体所受的弹力垂直于平面指向受力物体，接触面是曲面的物体所受的弹力垂直于切面指向受力物体，绳上的弹力沿绳指向绳收缩的方向，弹簧的弹力沿弹簧指向形变恢复的方向。各图中A物体所受弹力的示意图分别如答案图所示。
例1 (多选)关于胡克定律，下列说法正确的是( )
A．由F＝kx可知，在弹性限度内弹力F的大小与弹簧形变量x成正比
B．由k＝可知，劲度系数k与弹力F成正比，与弹簧的形变量成反比
C．弹簧的劲度系数k是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
答案 ACD
解析 在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量遵守胡克定律F＝kx，A正确；弹簧的劲度系数是由弹簧本身的性质决定，与弹力F及形变量x无关，B错误，C正确；由胡克定律得k＝，可理解为弹簧伸长(或缩短)单位长度时受到的弹力的值与k相等，D正确．
例2 ．如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力分别为、、，其大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】弹簧拉伸或压缩必然两端同时受力才可，只有一端有力时弹簧不会被拉伸或压缩，因弹簧均是拉住一相同质量小球，则弹力一样大，即
故选A。
题型02 胡克定律及应用
1．将的物体静止悬挂在轻质弹簧上，弹簧伸长了2.0cm，弹簧的弹力是多大？弹簧的劲度系数是多少？（如图甲）将弹簧从挂钩处摘下，在点施加一个竖直向上的的拉力（图乙），物体仍然静止，那么弹簧的伸长量是多少？
【答案】50N；；2.0cm
【解析】物体静止时受重力、弹力，二力平衡，所以
又
联立解得：
物体受重力、弹力二力平衡，点受弹力、向上的拉力，二力平衡，所以可得此时弹簧弹力
故弹簧伸长量仍然是。
2．如图所示，A、B两个物块用轻弹簧相连接，它们的质量分别为mA=2kg和mB=3kg，弹簧的劲度系数为k=400N/m，物块B置于水平地面上，物块A靠弹簧托住，系统处于静止状态。现用一恒力F=60N竖直向上拉物块A使之向上运动，重力加速度g取10m/s2，试求：
(1)物块B刚要离开地面时，物块A的加速度a的大小；
(2)从开始拉A到物块B刚要离开地面时，物块A的位移s。
【答案】(1)5m/s2；(2)0.125m
【解析】(1)B刚要离开地面时，弹簧弹力为
F1=mBg
据牛顿第二定律，有
F－F1－mAg＝mAa
解得
a=5m/s2
(2)开始，未用力F拉动时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，由胡克定律有
得
x1＝＝0.05m
由题意当物块B刚要离开地面时
x2＝＝0.075m
物块A的总位移
s＝x1＋x2＝0.125m
3．劲度系数为k1=100N/m轻质弹簧两端分别与质量为m1=1kg和m2=2kg的物块1、2拴接，劲度系数为k2=200N/m轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢上提，直到下面那个弹簧刚脱离桌面（如图所示），（g取10N/kg）
(1)物体2上升的距离是多少？
(2)物体1上升的距离是多少？
【答案】(1)0.15m；(2)0.45m
【解析】（1）设施力前，下面弹簧的压缩量x2 ，则
代数解得
（2）下面弹簧刚脱离桌面时物体2上升的距离
设施力前，下面弹簧的压缩量为x1 ，则
代数解得
设下面弹簧刚脱离桌面时上面弹簧的伸长量为x1＇
则代数解得
物体1上升的距离
相关资料
更多
