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七年级数学上册专题4.3 平面图形中的动点问题（强化）（解析版）
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这是一份七年级数学上册专题4.3 平面图形中的动点问题（强化）（解析版），共43页。
专题4.3 平面图形中的动点问题 【例题精讲】 如图，是线段上不同于点，的一点，，，两动点分别从点，同时出发在线段上向左运动（无论谁先到达点，均停止运动），点的运动速度为，点的运动速度为． （1）若， ①当动点，运动了时， 12 ； ②当，两点间的距离为时，则运动的时间为 ； （2）当点，在运动时，总有， ①求的长度； ②若在直线上存在一点，使，求的长度． 【解答】解：（1）①，， ， 动点，运动了， ，， ，， ， 故答案为：12； ②设运动时间为， ，， ， ， ， ， 故答案为：4； （2）①，，， ， ， ， ， ， ； ②当点在点右侧时，， ， ； 当点在之间时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长度为或． 已知，为内部的一条射线 （1）如图1，若平分，平分，的度数为 ； （2）如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数； （3）在（2）的条件下，绕点运动过程中，若，求的度数． 【解答】解：（1）如图1， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ； （3）当在的右侧时，如图2， 设，则， 平分，平分， ，， ， 即， ， 解得， 即， 当在的左侧时，如图3， 设，则， 平分，平分， ，， ， ， 解得， 答：的度数为或． 【题组训练】 1．如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． （1）若，求的长； （2）若把“点在线段上”改为“点在直线上”，当时，求的长．（请画出图形，说明理由） 【解答】解：（1），， ， 点、分别是和的中点， ，， ； （2）分两种情况： ①当点在线段上，由（1）得； ②当点在直线上，如下图所示， ， ，且是的中点， ， 又分别是的中点， ， ， 当在直线上时，线段的长度是． 综上所述，的长是． 2．如图①，已知点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示． （1）若，，当点、运动了，求的值． （2）若点、运动时，总有，则： ． （3）如图②，若，点是直线上一点，且，求的值． 【解答】解：（1）当点、运动了时，， ，， （2），两点的速度分别为，3 ， ． 又， ，即， ； （3）当点在线段上时，如图 ，又 ，，即． 当点在线段的延长线上时，如图 ，又 ，即．综上所述或1． 3．如图，为内一条射线，的余角是它自身的两倍． （1）求的度数； （2）射线从开始，在内以的速度绕着点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以的速度绕点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为秒． ①若，运动的任一时刻，均有，求的度数； ②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为 ． 【解答】解：（1）设，则的余角， 依题意有：， ， ； （2）①运动时间为秒，则 ，，， ， 设， 又， 则有：， 解得：， ， ②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值， 当时，以为边所有角的度数和的最小值为． 故答案为： 4．如图，平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线、、，当点在直线上运动时，始终保持、，将射线绕点顺时针旋转得到射线 （1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧，若平分，求的度数． （2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值． （3）当点运动到某一时刻时，，直接写出 105或135或75或45 度． 【解答】（本题10分） 解：（1）平分， 设， ， ， ， ， ， ； （2）①当点运动到使点在射线的左侧， ， 设，． ， ， ． ． ， ． ． ． ． ． ②当点运动到使在射线的左侧，但是射线在外部时． ， 设，， ． ． ． ． ． （3）①如图3，当时， 由图可得：． ， ． ． ②如图4，当时， 由图可得：． ， ． ． 当射线在下面时，或． 综上所述：的度数为或或或． 故答案为：105或135或75或45． 5．如图1，是在数轴上一定点，表示的数是5，是数轴上一动点，从原点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点在的右侧，，点在点的左侧，，设运动的时间为秒． （1）如图2，若与点重合，求的长； （2）若在线段上运动，且，求的值； （3）整个运动过程中，当时，写出点所表示的数（直接写出答案即可）． 【解答】解：（1）当点与点重合时，， 点在点的左侧，，点表示的数是5， 点表示的数为3， ． （2）当点在线段上运动时，点表示的数为，点表示的数为， ，， 点表示的数为， ， ， 解得：或． （3）点表示的数为，点表示的数为， ，， 点表示的数为， ， ． 当时，有， 解得：，， 此时点表示的数为或1； 当时，有， 解得：， 此时点表示的数为2． 综上所述：整个运动过程中，当时，点所表示的数为、1或2． 6．如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （1）请写出线段中点表示的数是 10 ． （2）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇． ①求、两点间的距离； ②求两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间； ③求点对应的数是多少？ （3）若蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数是多少？ 【解答】解：（1） 中点表示的数是10． 故答案为：10 （2）①、两点间的距离为： ②两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间为：（秒 ③点对应的数是： （3）点表示的数是： 7．已知数轴上有三点、、． （1）若，点对应的数是200，，求点对应的数； （2）在（1）的条件下动点、分别从、同时出发，其中向正方向运动，向反方向运动，的速度是的3倍多3个单位长度，20秒后相遇，求的速度和相遇地点对应的数； （3）若，，为中点，对应的数是，求的长以及点对应的数． 【解答】解：（1），， ， 点对应的数是200， 点对应的数是； （2）设的速度是个单位长度秒，则的速度是个单位长度秒， 由题意得：， ， ， 相遇地点对应的数是； （3）如图，，， ， ， 为中点， ， 对应的数是， 点对应的数是． 8．如图，数轴上有、、、、五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，请解答下列问题： （1）点在数轴上表示的数是 8 ，点在数轴上表示的数是 ；（2）若点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动秒运动到点处，且的长度是2个单位，求点运动的时间； （3）把线段的中点记作，如果线段以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，直接写出点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间． 【解答】解：（1）点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，且点在点右侧， 点在数轴上表示的数为8． 线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，且点在点的左侧，点在点的左侧， 点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为． 故答案为：8；． （2）点在数轴上表示的数为， 的长度是2个单位， ， 解得：或． 点的运动时间为5秒或7秒． （3）点在数轴上表示的数为5，点在数轴上表示的数为8，点为线段的中点， 点在数轴上表示的数为． 运动时间为时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当时，有， 解得：或； 当时，有， 解得：或． 综上所述：点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间为2秒、秒、秒或秒． 9．如图甲，点是线段上一点，、两点分别从、同时出发，以、的速度在直线上运动，点在线段之间，点在线段之间． （1）设、两点同时沿直线向左运动秒时，，求的值； （2）在（1）的条件下，若、运动秒后都停止运动，此时恰有，求的长； （3）在（2）的条件下，将线段在线段上左右滑动如图乙（点在之间，点在之间），若、分别为、的中点，试说明线段的长度总不发生变化． 【解答】解：（1）设，则， 又， ，， ； （2）设，，又，，由，得 ，， ， ； （3）在（2）中有，，，， 设，， ，， ． 10．如图，是线段上一点，且，、两点分别从、同时出发，点以的速度向点运动，点以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）当，点、运动了时，求这时与的数量关系； （2）若点、运动了时，恰好点是的中点，求的长； （3）若点、运动时，总有，求的长． 【解答】解：（1），， ． 当、运动时， ， ， ． ， ． （2）当、运动时， ，． 是的中点， ， ， ． （3）设、运动，则，， ，设，则． ，． ， ． 11．如图，已知线段，，线段在线段上运动，、分别是、的中点． （1）若， 7 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1），，， ， 、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：7； （2）不改变， 理由：，， ， 、分别是、的中点， ，， ， ． 12．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的顶点放在点处，． （1）如图1，当的一边与射线重合时，则 ； （2）将绕点逆时针运动至图2时，若，则 ； ． （3）在上述从图1运动到图3的位置过程中，当的边所在直线恰好平分时，求此时是多少度？ 【解答】解：（1）， ， ． 故答案为：； （2）； ， ， ； 故答案为：；； （3）①当平分时， ， ，， 平分， ， ； ②当的反向延长线平分时， 如图，作的反向延长线，则， ，平分， ， ． 综上所述，的度数为或． 13．已知数轴上有，两点，分别代表，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从两点同时出发，甲沿线段以3个单位长度秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以5个单位长度秒的速度向左运动． （1），两点间的距离为 60 个单位长度；甲到达点时共运动了 秒． （2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）多少秒时，甲、乙相距28个单位长度？ （4）若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）、两点的距离为，甲到达点时共运动了秒； 故答案为：60，20； （2）设它们按上述方式运动，甲，乙经过秒会相遇，根据题意得 ， 解得， ． 答：甲，乙在数轴上的点相遇； （3）两种情况，相遇前， 设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得，， 解得：， 第一次相遇后， 设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得， ， 解得：， 答：4秒或11秒时，甲、乙相距28个单位长度； （4）甲到达点前，甲，乙不能在数轴上相遇， 理由：设甲到达点前，甲，乙经过秒在数轴上相遇， 根据题意得，， 解得：， ， 故甲，乙不能在数轴上相遇． 14．如图，已知点为直线上一点，射线和在直线的两侧，，，、分别平分、，射线以秒的速度绕点顺时针匀速旋转，射线以秒的速度绕点逆时针匀速旋转．设运动时间为秒． （1）运动开始前，的度数是多少？请写出计算过程． （2）当为多少时，？请写出计算过程． （3）当为多少时，射线和射线在同一条直线上？请写出计算过程． 【解答】解：（1）平分， ． 同理． ． ． ； （2）， ． 或或， 解得或或， 答：的值为6或14或96时，； （3）①当与重合时，即与重合在一起， 解得． ②当与互为反向延长线上时， 解得： 答：的值为10或70时． 15．如图，已知数轴上有三点、、，它们对应的数分别为，，，且，点对应的数是20． （1）若，求、的值； （2）在（1）的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为8个单位长度秒、4个单位长度秒、2个单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，在、相遇前，多少秒时恰好满足？ （3）在（1）的条件下，为原点，动点、分别从、同时出发，向左运动，向右运动，点的运动速度为8个单位长度秒，点的运动速度为4个单位长度秒，为的中点，为的中点，在、运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，， ， 点对应20， 点对应的数为：，点对应的数为：， 的值为，的值为； （2）如图2，由（1）可得， 设秒时，在右边时，恰好满足， ，， 当时，， 解得：， 秒时恰好满足； （3）如图3，设运动的时间为，则，， 由（1）可得，点表示20， ，，， ， 为的中点，为的中点， ，， ， ， 即的值不发生变化，是定值10． 16．如图：在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度， （1）点表示的数是 或3 ； （2）当点在点右侧时，动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动；同时，另一动点从点出发以每秒2个单位长度也向右运动，设运动时间为．当为何值时，点与点的距离为3个单位长度？ （3）在（2）问的条件下，动点到达点后立即以原来的速度返回到点，此时点、同时停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的值． 【解答】解：（1）在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度， 点表示的数是或3， 故答案为：或3； （2）根据题意得，或， 或， 答：为4或10时，点与点的距离为3个单位长度；（3）或，， 当时， 即或， 解得：或， 当时，的值是1.5或． 17．如图1，已知线段，点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中、满足条件：． （1）直接写出： 1 ， ； （2）若，当点、运动了，求的值； （3）如图2，若，点是直线上一点，且，求与的数量关系． 【解答】解：（1）根据题意可得， ，， 可得：，． 故答案为：1，3； （2）当、运动时， ，， ． （3）①当点在线段上时， ， 又， ， ． ②当点在线段的延长线上时， ， 又， ．（9分） 综上所述，或． 18．如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为，单位秒） （1）当时，求的度数； （2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，． （2）依题意，得：， 解得：． 答：当第二次达到时，的值为． （3）当时，， 解得：； 当时，或， 解得：或． 答：在旋转过程中存在这样的，使得射线与射线垂直，的值为9、27或45． 19．如图，直线、相交于点，，． （1）若，则 ． （2）从（1）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分． （3）从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况） 【解答】解：（1），， ， ，， ， 故答案为：； （2）情况1：如图： 平分， ， ， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得，； 情况2：如图： 平分， ， ， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得，， 综上，运动11或23秒时，直线平分； （3）①，如图： ②，如图： ③，如图： ④，如图： 综上，或． 20．已知，过顶点作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． （1）已知射线是的“好线”，且，求的度数． （2）如图2，是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． （3）如图3，已知，．射线和分别从和同时出发，绕点按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【解答】解：（1）是的“好线”，且， ， ①当在的外部时，， ②当在的内部时，． （2）是的平分线，且， ， ， ， 是的平分线， ， ， 是的一条“好线”； （3）设旋转的时间为秒， ①， ， ②， ， 综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或秒． 21．（1）如图，，，在外部，平分，平分，则 45 度． （2）若，其他条件不变，则 度． （3）若为锐角），其他条件不变，则 度． （4）若且为锐角），且点在的上方，求的度数．（请在图2中画出示意图并解答） 【解答】解：，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：45． （1），， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：． （2）当时． ，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：45． （3）如图所示： ，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ． 22．将直角三角板的直角顶点放在直线上，射线平分． （1）如图，若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）将直角三角板绕顶点按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当时，求的度数． 【解答】解：（1），， ， （2）平分， ， 又， 设， ， ， ， ， 解得， ； （3）①当在直线上方时， ， ， 平分， ， ， ， 当在直线下方时， ， ， 平分， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 23．已知，，，，是内的射线． （1）如图1，若平分，平分，，则 60 ； （2）如图2，若平分，平分，求的度数； （3）如图3，是内的射线，若，平分，平分，当射线在内时，求的度数． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， 故答案为：60； （2）平分，平分， ，， ， ； （3）设，则， 平分，平分， ，， ． 24．如图所示，，，是以直线上一点为端点的三条射线，且，，，以为端点作射线，分别与射线，重合．射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为1度秒，射线从处开始绕点顺时针匀速旋转，（射线旋转至与射线重合时停止，射线旋转至与射线重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度旋转角度旋转时间）． （1）直接写出射线停止运动时的时间为 180 秒． （2）当射线平分时，直接写山它的旋转时间是 秒． （3）若射线的转速为3度秒，当时，直接写出射线的旋转时间是 秒． （4）若时，射线旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，直接写出射线的旋转速度是 度秒． 【解答】解：（1）射线旋转至与射线重合时停止， 旋转， 射线停止运动时的时间为180秒． 故答案为：180． （2），当射线平分时，，此时旋转的度数为：， 射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为， 旋转的时间：． 故答案为：55． （3）设射线旋转的时间为，则 ①当和在未重合之前，，； ②当和在重合之后，，解得； 时按题目条件早已停止运动，但未停止，因此第二种情况． 故经过5秒或70秒． 故答案为：5或70． （4）若， ①当 在和之间时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况， 、，，此时，的旋转速度，； 、，，此时，此时，的旋转速度，； ②当 在左侧时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况， 、，，此时，的旋转速度； 、，，此时，此时，的旋转速度，， 故答案为：或0.5或或． 25．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【解答】解：（1）， ， ，， ，， ，； （2）如图1，、分别为线段、的中点， ， ， ； 如图2，、分别为线段、的中点， ， ， ； （3）②正确．理由如下： ， ②是定值2． 26．已知，，是的角平分线． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，若在内部运动，且是的角平分线时，求的值； （3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转秒后得到，求的值． 【解答】解：（1）， ， ， ， 平分， ， ； （2）平分， ， 平分， ， ， 又， ； （3）分三种情况： ①当射线、在内部时，即时， 由题意得：，， ，， ， ， 解得：（舍去）； ②当射线在内部时，射线在外部时，即时， 则，， ， 解得：； ③当射线、在外部时，即时， 则，， ， 解得：； 综上所述，的值为秒或秒． 27．如图，直线上有，两点，，点是线段上的一点，． （1） 8 ， ； （2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长； （3）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．求当为何值时，． 【解答】解：（1），， ，解得， ． 故答案为：8，4； （2）设的长为， 分两种情况：①点在线段上时， ， ， ； ②点在线段上时， ， ， （不符合题意，舍）． 故的长是； （3）以点为原点，向右为正方向作数轴． 后，点所到的点表示的数为；此时，点所到的点表示的数为． 当在的左侧）时， ，，， 则， 解得； 当在的右侧）时， ，，， 则， 解得． 综上所述，或8时，． 28．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为6，，． （1）求点、对应的数； （2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．为的中点，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示）； ②为何值时，． 【解答】解：（1）点对应的数为6，， 点表示的数是， ， 点表示的数是． （2）①动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是， ，， 为的中点，在上，且， ，， 点表示的数是，表示的数是6， 表示的数是，表示的数是． ②，，， ， 由，得， 由，得， 故当秒或秒时． 29．如图，已知数轴上的点对应的数为6，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点对应的数是 ，点对应的数是 （用的式子表示）； （2）动点从点与点同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ （3）是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【解答】解：（1）由题可得， 点表示的数为； 点表示的数为； 故答案为：，； （2）设点运动秒时，在点处追上点（如图），则，， ， ， 解得：， 点运动5秒时，在点处追上点； （3）线段的长度不发生变化，等于5． 理由如下： 分两种情况： ①当点在点、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． 30．已知数轴上三点，，表示的数分别为6，0，，动点从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动． （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 1 ； （2）另一动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少时间追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【解答】解：（1），表示的数分别为6，， ， ， 点表示的数是1， 故答案为：1； （2）设点运动秒时，在点处追上点， 则： ，， ， ， 解得，， 点运动5秒时，追上点； （3）线段的长度不发生变化，理由如下分两种情况： ①当点在、之间运动时（如图①． ②当点运动到点左侧时（如图②， ； 综上所述，线段的长度不发生变化，其长度为5．
专题4.3 平面图形中的动点问题 【例题精讲】 如图，是线段上不同于点，的一点，，，两动点分别从点，同时出发在线段上向左运动（无论谁先到达点，均停止运动），点的运动速度为，点的运动速度为． （1）若， ①当动点，运动了时， 12 ； ②当，两点间的距离为时，则运动的时间为 ； （2）当点，在运动时，总有， ①求的长度； ②若在直线上存在一点，使，求的长度． 【解答】解：（1）①，， ， 动点，运动了， ，， ，， ， 故答案为：12； ②设运动时间为， ，， ， ， ， ， 故答案为：4； （2）①，，， ， ， ， ， ， ； ②当点在点右侧时，， ， ； 当点在之间时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长度为或． 已知，为内部的一条射线 （1）如图1，若平分，平分，的度数为 ； （2）如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数； （3）在（2）的条件下，绕点运动过程中，若，求的度数． 【解答】解：（1）如图1， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ； （3）当在的右侧时，如图2， 设，则， 平分，平分， ，， ， 即， ， 解得， 即， 当在的左侧时，如图3， 设，则， 平分，平分， ，， ， ， 解得， 答：的度数为或． 【题组训练】 1．如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． （1）若，求的长； （2）若把“点在线段上”改为“点在直线上”，当时，求的长．（请画出图形，说明理由） 【解答】解：（1），， ， 点、分别是和的中点， ，， ； （2）分两种情况： ①当点在线段上，由（1）得； ②当点在直线上，如下图所示， ， ，且是的中点， ， 又分别是的中点， ， ， 当在直线上时，线段的长度是． 综上所述，的长是． 2．如图①，已知点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示． （1）若，，当点、运动了，求的值． （2）若点、运动时，总有，则： ． （3）如图②，若，点是直线上一点，且，求的值． 【解答】解：（1）当点、运动了时，， ，， （2），两点的速度分别为，3 ， ． 又， ，即， ； （3）当点在线段上时，如图 ，又 ，，即． 当点在线段的延长线上时，如图 ，又 ，即．综上所述或1． 3．如图，为内一条射线，的余角是它自身的两倍． （1）求的度数； （2）射线从开始，在内以的速度绕着点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以的速度绕点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为秒． ①若，运动的任一时刻，均有，求的度数； ②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为 ． 【解答】解：（1）设，则的余角， 依题意有：， ， ； （2）①运动时间为秒，则 ，，， ， 设， 又， 则有：， 解得：， ， ②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值， 当时，以为边所有角的度数和的最小值为． 故答案为： 4．如图，平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线、、，当点在直线上运动时，始终保持、，将射线绕点顺时针旋转得到射线 （1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧，若平分，求的度数． （2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值． （3）当点运动到某一时刻时，，直接写出 105或135或75或45 度． 【解答】（本题10分） 解：（1）平分， 设， ， ， ， ， ， ； （2）①当点运动到使点在射线的左侧， ， 设，． ， ， ． ． ， ． ． ． ． ． ②当点运动到使在射线的左侧，但是射线在外部时． ， 设，， ． ． ． ． ． （3）①如图3，当时， 由图可得：． ， ． ． ②如图4，当时， 由图可得：． ， ． ． 当射线在下面时，或． 综上所述：的度数为或或或． 故答案为：105或135或75或45． 5．如图1，是在数轴上一定点，表示的数是5，是数轴上一动点，从原点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点在的右侧，，点在点的左侧，，设运动的时间为秒． （1）如图2，若与点重合，求的长； （2）若在线段上运动，且，求的值； （3）整个运动过程中，当时，写出点所表示的数（直接写出答案即可）． 【解答】解：（1）当点与点重合时，， 点在点的左侧，，点表示的数是5， 点表示的数为3， ． （2）当点在线段上运动时，点表示的数为，点表示的数为， ，， 点表示的数为， ， ， 解得：或． （3）点表示的数为，点表示的数为， ，， 点表示的数为， ， ． 当时，有， 解得：，， 此时点表示的数为或1； 当时，有， 解得：， 此时点表示的数为2． 综上所述：整个运动过程中，当时，点所表示的数为、1或2． 6．如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （1）请写出线段中点表示的数是 10 ． （2）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇． ①求、两点间的距离； ②求两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间； ③求点对应的数是多少？ （3）若蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数是多少？ 【解答】解：（1） 中点表示的数是10． 故答案为：10 （2）①、两点间的距离为： ②两只蚂蚁在数轴上的点相遇时所用的时间为：（秒 ③点对应的数是： （3）点表示的数是： 7．已知数轴上有三点、、． （1）若，点对应的数是200，，求点对应的数； （2）在（1）的条件下动点、分别从、同时出发，其中向正方向运动，向反方向运动，的速度是的3倍多3个单位长度，20秒后相遇，求的速度和相遇地点对应的数； （3）若，，为中点，对应的数是，求的长以及点对应的数． 【解答】解：（1），， ， 点对应的数是200， 点对应的数是； （2）设的速度是个单位长度秒，则的速度是个单位长度秒， 由题意得：， ， ， 相遇地点对应的数是； （3）如图，，， ， ， 为中点， ， 对应的数是， 点对应的数是． 8．如图，数轴上有、、、、五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，请解答下列问题： （1）点在数轴上表示的数是 8 ，点在数轴上表示的数是 ；（2）若点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动秒运动到点处，且的长度是2个单位，求点运动的时间； （3）把线段的中点记作，如果线段以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，直接写出点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间． 【解答】解：（1）点在数轴上表示的数是5，线段的长度为3个单位，且点在点右侧， 点在数轴上表示的数为8． 线段的长度为1个单位，且、两点之间的距离为12个单位，且点在点的左侧，点在点的左侧， 点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为． 故答案为：8；． （2）点在数轴上表示的数为， 的长度是2个单位， ， 解得：或． 点的运动时间为5秒或7秒． （3）点在数轴上表示的数为5，点在数轴上表示的数为8，点为线段的中点， 点在数轴上表示的数为． 运动时间为时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当时，有， 解得：或； 当时，有， 解得：或． 综上所述：点与线段的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间为2秒、秒、秒或秒． 9．如图甲，点是线段上一点，、两点分别从、同时出发，以、的速度在直线上运动，点在线段之间，点在线段之间． （1）设、两点同时沿直线向左运动秒时，，求的值； （2）在（1）的条件下，若、运动秒后都停止运动，此时恰有，求的长； （3）在（2）的条件下，将线段在线段上左右滑动如图乙（点在之间，点在之间），若、分别为、的中点，试说明线段的长度总不发生变化． 【解答】解：（1）设，则， 又， ，， ； （2）设，，又，，由，得 ，， ， ； （3）在（2）中有，，，， 设，， ，， ． 10．如图，是线段上一点，且，、两点分别从、同时出发，点以的速度向点运动，点以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）当，点、运动了时，求这时与的数量关系； （2）若点、运动了时，恰好点是的中点，求的长； （3）若点、运动时，总有，求的长． 【解答】解：（1），， ． 当、运动时， ， ， ． ， ． （2）当、运动时， ，． 是的中点， ， ， ． （3）设、运动，则，， ，设，则． ，． ， ． 11．如图，已知线段，，线段在线段上运动，、分别是、的中点． （1）若， 7 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1），，， ， 、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：7； （2）不改变， 理由：，， ， 、分别是、的中点， ，， ， ． 12．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的顶点放在点处，． （1）如图1，当的一边与射线重合时，则 ； （2）将绕点逆时针运动至图2时，若，则 ； ． （3）在上述从图1运动到图3的位置过程中，当的边所在直线恰好平分时，求此时是多少度？ 【解答】解：（1）， ， ． 故答案为：； （2）； ， ， ； 故答案为：；； （3）①当平分时， ， ，， 平分， ， ； ②当的反向延长线平分时， 如图，作的反向延长线，则， ，平分， ， ． 综上所述，的度数为或． 13．已知数轴上有，两点，分别代表，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从两点同时出发，甲沿线段以3个单位长度秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以5个单位长度秒的速度向左运动． （1），两点间的距离为 60 个单位长度；甲到达点时共运动了 秒． （2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）多少秒时，甲、乙相距28个单位长度？ （4）若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）、两点的距离为，甲到达点时共运动了秒； 故答案为：60，20； （2）设它们按上述方式运动，甲，乙经过秒会相遇，根据题意得 ， 解得， ． 答：甲，乙在数轴上的点相遇； （3）两种情况，相遇前， 设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得，， 解得：， 第一次相遇后， 设秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得， ， 解得：， 答：4秒或11秒时，甲、乙相距28个单位长度； （4）甲到达点前，甲，乙不能在数轴上相遇， 理由：设甲到达点前，甲，乙经过秒在数轴上相遇， 根据题意得，， 解得：， ， 故甲，乙不能在数轴上相遇． 14．如图，已知点为直线上一点，射线和在直线的两侧，，，、分别平分、，射线以秒的速度绕点顺时针匀速旋转，射线以秒的速度绕点逆时针匀速旋转．设运动时间为秒． （1）运动开始前，的度数是多少？请写出计算过程． （2）当为多少时，？请写出计算过程． （3）当为多少时，射线和射线在同一条直线上？请写出计算过程． 【解答】解：（1）平分， ． 同理． ． ． ； （2）， ． 或或， 解得或或， 答：的值为6或14或96时，； （3）①当与重合时，即与重合在一起， 解得． ②当与互为反向延长线上时， 解得： 答：的值为10或70时． 15．如图，已知数轴上有三点、、，它们对应的数分别为，，，且，点对应的数是20． （1）若，求、的值； （2）在（1）的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为8个单位长度秒、4个单位长度秒、2个单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，在、相遇前，多少秒时恰好满足？ （3）在（1）的条件下，为原点，动点、分别从、同时出发，向左运动，向右运动，点的运动速度为8个单位长度秒，点的运动速度为4个单位长度秒，为的中点，为的中点，在、运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，， ， 点对应20， 点对应的数为：，点对应的数为：， 的值为，的值为； （2）如图2，由（1）可得， 设秒时，在右边时，恰好满足， ，， 当时，， 解得：， 秒时恰好满足； （3）如图3，设运动的时间为，则，， 由（1）可得，点表示20， ，，， ， 为的中点，为的中点， ，， ， ， 即的值不发生变化，是定值10． 16．如图：在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度， （1）点表示的数是 或3 ； （2）当点在点右侧时，动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动；同时，另一动点从点出发以每秒2个单位长度也向右运动，设运动时间为．当为何值时，点与点的距离为3个单位长度？ （3）在（2）问的条件下，动点到达点后立即以原来的速度返回到点，此时点、同时停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的值． 【解答】解：（1）在数轴上点表示的数是，点与点的距离为7个单位长度， 点表示的数是或3， 故答案为：或3； （2）根据题意得，或， 或， 答：为4或10时，点与点的距离为3个单位长度；（3）或，， 当时， 即或， 解得：或， 当时，的值是1.5或． 17．如图1，已知线段，点是线段上一点，点在线段上，点在线段上，、两点分别从、出发以、的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中、满足条件：． （1）直接写出： 1 ， ； （2）若，当点、运动了，求的值； （3）如图2，若，点是直线上一点，且，求与的数量关系． 【解答】解：（1）根据题意可得， ，， 可得：，． 故答案为：1，3； （2）当、运动时， ，， ． （3）①当点在线段上时， ， 又， ， ． ②当点在线段的延长线上时， ， 又， ．（9分） 综上所述，或． 18．如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为，单位秒） （1）当时，求的度数； （2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，． （2）依题意，得：， 解得：． 答：当第二次达到时，的值为． （3）当时，， 解得：； 当时，或， 解得：或． 答：在旋转过程中存在这样的，使得射线与射线垂直，的值为9、27或45． 19．如图，直线、相交于点，，． （1）若，则 ． （2）从（1）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分． （3）从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况） 【解答】解：（1），， ， ，， ， 故答案为：； （2）情况1：如图： 平分， ， ， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得，； 情况2：如图： 平分， ， ， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得，， 综上，运动11或23秒时，直线平分； （3）①，如图： ②，如图： ③，如图： ④，如图： 综上，或． 20．已知，过顶点作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． （1）已知射线是的“好线”，且，求的度数． （2）如图2，是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． （3）如图3，已知，．射线和分别从和同时出发，绕点按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【解答】解：（1）是的“好线”，且， ， ①当在的外部时，， ②当在的内部时，． （2）是的平分线，且， ， ， ， 是的平分线， ， ， 是的一条“好线”； （3）设旋转的时间为秒， ①， ， ②， ， 综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或秒． 21．（1）如图，，，在外部，平分，平分，则 45 度． （2）若，其他条件不变，则 度． （3）若为锐角），其他条件不变，则 度． （4）若且为锐角），且点在的上方，求的度数．（请在图2中画出示意图并解答） 【解答】解：，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：45． （1），， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：． （2）当时． ，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ； 故答案为：45． （3）如图所示： ，， ， 又为平分线，为平分线， ， ， ． 22．将直角三角板的直角顶点放在直线上，射线平分． （1）如图，若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）将直角三角板绕顶点按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当时，求的度数． 【解答】解：（1），， ， （2）平分， ， 又， 设， ， ， ， ， 解得， ； （3）①当在直线上方时， ， ， 平分， ， ， ， 当在直线下方时， ， ， 平分， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 23．已知，，，，是内的射线． （1）如图1，若平分，平分，，则 60 ； （2）如图2，若平分，平分，求的度数； （3）如图3，是内的射线，若，平分，平分，当射线在内时，求的度数． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， 故答案为：60； （2）平分，平分， ，， ， ； （3）设，则， 平分，平分， ，， ． 24．如图所示，，，是以直线上一点为端点的三条射线，且，，，以为端点作射线，分别与射线，重合．射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为1度秒，射线从处开始绕点顺时针匀速旋转，（射线旋转至与射线重合时停止，射线旋转至与射线重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度旋转角度旋转时间）． （1）直接写出射线停止运动时的时间为 180 秒． （2）当射线平分时，直接写山它的旋转时间是 秒． （3）若射线的转速为3度秒，当时，直接写出射线的旋转时间是 秒． （4）若时，射线旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，直接写出射线的旋转速度是 度秒． 【解答】解：（1）射线旋转至与射线重合时停止， 旋转， 射线停止运动时的时间为180秒． 故答案为：180． （2），当射线平分时，，此时旋转的度数为：， 射线从处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为， 旋转的时间：． 故答案为：55． （3）设射线旋转的时间为，则 ①当和在未重合之前，，； ②当和在重合之后，，解得； 时按题目条件早已停止运动，但未停止，因此第二种情况． 故经过5秒或70秒． 故答案为：5或70． （4）若， ①当 在和之间时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况， 、，，此时，的旋转速度，； 、，，此时，此时，的旋转速度，； ②当 在左侧时，，此时，，此时，此时旋转时间：，那就旋转了，旋转到的位置恰好将分成度数比为的两个角，分成2种情况， 、，，此时，的旋转速度； 、，，此时，此时，的旋转速度，， 故答案为：或0.5或或． 25．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【解答】解：（1）， ， ，， ，， ，； （2）如图1，、分别为线段、的中点， ， ， ； 如图2，、分别为线段、的中点， ， ， ； （3）②正确．理由如下： ， ②是定值2． 26．已知，，是的角平分线． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，若在内部运动，且是的角平分线时，求的值； （3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转秒后得到，求的值． 【解答】解：（1）， ， ， ， 平分， ， ； （2）平分， ， 平分， ， ， 又， ； （3）分三种情况： ①当射线、在内部时，即时， 由题意得：，， ，， ， ， 解得：（舍去）； ②当射线在内部时，射线在外部时，即时， 则，， ， 解得：； ③当射线、在外部时，即时， 则，， ， 解得：； 综上所述，的值为秒或秒． 27．如图，直线上有，两点，，点是线段上的一点，． （1） 8 ， ； （2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长； （3）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．求当为何值时，． 【解答】解：（1），， ，解得， ． 故答案为：8，4； （2）设的长为， 分两种情况：①点在线段上时， ， ， ； ②点在线段上时， ， ， （不符合题意，舍）． 故的长是； （3）以点为原点，向右为正方向作数轴． 后，点所到的点表示的数为；此时，点所到的点表示的数为． 当在的左侧）时， ，，， 则， 解得； 当在的右侧）时， ，，， 则， 解得． 综上所述，或8时，． 28．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为6，，． （1）求点、对应的数； （2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．为的中点，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示）； ②为何值时，． 【解答】解：（1）点对应的数为6，， 点表示的数是， ， 点表示的数是． （2）①动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是， ，， 为的中点，在上，且， ，， 点表示的数是，表示的数是6， 表示的数是，表示的数是． ②，，， ， 由，得， 由，得， 故当秒或秒时． 29．如图，已知数轴上的点对应的数为6，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点对应的数是 ，点对应的数是 （用的式子表示）； （2）动点从点与点同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ （3）是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【解答】解：（1）由题可得， 点表示的数为； 点表示的数为； 故答案为：，； （2）设点运动秒时，在点处追上点（如图），则，， ， ， 解得：， 点运动5秒时，在点处追上点； （3）线段的长度不发生变化，等于5． 理由如下： 分两种情况： ①当点在点、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． 30．已知数轴上三点，，表示的数分别为6，0，，动点从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动． （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 1 ； （2）另一动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少时间追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【解答】解：（1），表示的数分别为6，， ， ， 点表示的数是1， 故答案为：1； （2）设点运动秒时，在点处追上点， 则： ，， ， ， 解得，， 点运动5秒时，追上点； （3）线段的长度不发生变化，理由如下分两种情况： ①当点在、之间运动时（如图①． ②当点运动到点左侧时（如图②， ； 综上所述，线段的长度不发生变化，其长度为5．
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