2021-2023三年浙江省温州市中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份2021-2023三年浙江省温州市中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共29页。试卷主要包含了计算，某公司生产的一种营养品信息如表，根据以下素材，探索完成任务，，且∠AEB＝∠CFD＝90°，，且满足＝，，连结AE等内容，欢迎下载使用。

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的加减法（共1小题）
1．（2023•温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．

三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
五．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
六．平行四边形的判定与性质（共2小题）
6．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．

7．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．

七．圆的综合题（共2小题）
8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

八．利用平移设计图案（共1小题）
10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．

九．作图-旋转变换（共1小题）
11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．

一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．



经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1
分析规划
选择两个观测位置：点 　 　和点 　 　．
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2
推理计算
计算发射塔的图上高度MN．
任务3
换算高度
楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的加减法（共1小题）
1．（2023•温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
【答案】（1）12；
（2）a﹣1．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4
＝12；

（2）原式＝
＝
＝a﹣1．
二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．

【答案】（1）m＝；直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【解答】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，
∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得，
解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，
∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，
∵A的数量不低于B的数量，
∴m≥2000﹣4m，
∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
∵k＝﹣3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W的最大值为2800，
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．
四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．
（2）﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得x＝5或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
五．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】任务1：y＝﹣x2；
任务2：﹣1.8m，﹣6≤x≤6；
任务3：挂7盏或8盏，横坐标分别为﹣4.8和﹣5.6，方案见解答．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），

设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，

∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，

∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
六．平行四边形的判定与性质（共2小题）
6．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2），
【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG＝DE＝．
7．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝3a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴32＝x（x+4），
解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．
七．圆的综合题（共2小题）
8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

【答案】（1）；
（2）y＝；
（3）①或；
②．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，

∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r＝，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，
∵＝，BQ＝x，
∴AP＝，
∴CP＝AP+AC，
∴y＝；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC＝，
∴，
∴x＝，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，

则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP•cosC＝，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，
∴x＝，
综上，x的值为或；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，
∵CP＝，
∴CR＝x+1，
∴ER＝3﹣x，
∵BQ＝x，
∴EQ＝3﹣x，
∴ER＝EQ，
∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，

∴∠BQF'＝90°，
∴QF＝QF'＝BQ•tanB＝，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF＝AB•cosB＝，
∴，
∴x＝，
∴．
9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1，4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5，0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上所述，OP为5或10或．
八．利用平移设计图案（共1小题）
10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；

（2）如图3所示，即为所求．

九．作图-旋转变换（共1小题）
11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．

【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【解答】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；
（2）图形如图2所示（答案不唯一）．

一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．

【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；
（2）a的值为或或；
（3）MN的长为．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，

∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CE，
∵OA＝，AC＝1，
∴OC＝，BC＝4，
∴CD＝＝2，
∵BE⊥CE，
∴OD∥BE，
∴，
∴，
∴CE＝，
如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，
∴AF∥CE，
∴MN∥CB，
∴四边形APMC是平行四边形，
∴CM＝PA＝＝＝＝x，
∵NM∥BC，
∴△BCE∽△NME，
∴，
∴＝，
∴y＝﹣x+4；
（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，
∴可分为三种情况，
当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
综上所述：a的值为或或；
（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，

则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x，
∴∠QAB＝∠BQG，
∵NQ＝x﹣3，PN＝y﹣1＝﹣x+3，
∴HG＝PQ＝NQ+PN＝x，
∵AH＝x，
∴AG＝AH+HG＝3x，
∴tan∠BQG＝tan∠QAB＝＝＝，
∴BG＝QG＝x，
∴AB＝AG+BG＝x＝3，
∴x＝，
∴y＝﹣x+4＝，
∴MN的长为．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．



经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1
分析规划
选择两个观测位置：点 　A　和点 　B（答案不唯一）　．
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2
推理计算
计算发射塔的图上高度MN．
任务3
换算高度
楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
【答案】任务1：A、B；tan∠1＝，tan∠2＝，tan∠3＝，测得图上AB＝4mm，
任务2：MN＝18mm；
任务3：43.2m．
【解答】解：任务1：【分析规划】选择点A和点B（答案不唯一），
故答案为：A、B（答案不唯一）；
【获取数据】tan∠1＝，tan∠2＝，tan∠3＝，测得图上AB＝4mm；
任务2：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm，
设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm，
∵tan∠MAF＝＝，
tan∠MBG＝＝，
∴AF＝4x，BG＝3x+12，
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，
∴x＝12，即MF＝12mm，
∴AF＝BG＝4x＝48（mm），
∵tan∠FAN＝＝，
∴FN＝6mm，
∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），
任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm，由题意得，
＝，
解得h＝43.2（m），
∴发射塔的实际高度为43.2m．