中考数学二轮复习专练15（函数压轴大题）（30题）（含解析）

这是一份中考数学二轮复习专练15（函数压轴大题）（30题）（含解析），共92页。试卷主要包含了，与x轴的另一个交点为点C等内容，欢迎下载使用。


专练15（函数压轴大题）（30道）
1．（2022·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边）．其中，点B的坐标为，对称轴为．

(1)求二次函数的解析式．
(2)当时，，直接写出m的取值范围______．
(3)若点C的坐标为，点D是此函数在第一象限图象上的一个动点，连接AC、AD，并以AC、AD为邻边作平行四边形ADEC，设点D的横坐标为t．
①设点E的纵坐标为n，求出n与t的函数关系式和n的最大值．
②若线段DE与抛物线只有一个交点，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①，13；②或
【解析】
(1)
解：∵抛物线对称轴，
∴，即，
又∵过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为
(2)
解：二次函数的解析式为，顶点，
当时，代入解析式求得，
令，解得，，
要使得，则，
故m的取值范围为
(3)
①解：令，解得，A的坐标为，
C的坐标为，设D的坐标为，其中，
设E的坐标为，
∵平行四边形ADEC，
∴，即，
整理得，，，
当时，n有最大值13
②解：∵A的坐标为，C的坐标为，
∵平行四边形ADEC，
∴，即，
∴，即E的坐标为
当E在抛物线上时，，
解得，若要线段DE与抛物线只有一个交点，则，
∵，平行四边形ADEC，
∴，，
即直线DE解析式为，联立抛物线解析式，
，化简得，
由题意得，，即，
综上，t的取值范围为或
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式，根据二次函数图象及平行四边形特征求相应参数范围，灵活运用数形结合思想，是解题的关键．
2．（2022·四川成都·二模）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接、．求的周长及的值；
(3)如图2，过点A的直线，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，垂足为点D，连接．当四边形的面积最大时，求点P的坐标及四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)当时，四边形的面积最大为；
点P的坐标为
(1)
（1）将、分别代入得：
，
解得，
∴．
(2)
由解析式可得、，
∴，，．
∴的周长为．
如图1，过点M作于点N，

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
(3)
由题意可知：
∵过点A的直线，
∴．
∵、，
∴．
∵抛物线交y轴于点，
∴．
∴．
如图2，过点P作轴，垂足为点F，交于点E，

根据和采用待定系数法可得直线的解析式为：．
设，则，
∵点P是直线上方抛物线上一动点，且PF⊥x轴
∴．
则．
∴．
当时，四边形的面积最大，最大面积为．
此时，点P的坐标为．
【点睛】
本题是二次函数的的综合题，考查了用待定系数法求解抛物线解析式、解直角三角形、勾股定理、平行的性质、四边形的面积等知识，合理构造等面积的三角形是解答本题的关键．
3．（2022·重庆·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交AB于点E．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；
(3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长取得最大值
(3)点的坐标为或或．
【解析】
(1)
∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
(2)
设直线的函数表达式为，其图象经过，，
，解得：，
直线的函数表达式为，
令，得，解得：，
∴C（2，0），
设P，其中0 ∵点E在直线上，PE∥x轴，
∴E，∠OCA=∠DEP，
∴PE=，，
∵PD⊥AB，
∴∠EDP=∠COA，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO=，OC=2，
∴AC=，
∴△AOC的周长为6，
令△PDE的周长为l，则，
∴，
∴当t=时，△PDE周长取得最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长取得最大值
(3)
满足条件的点坐标为，，，如图所示：

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，
①若是平行四边形的对角线，当与互相平分时，四边形是平行四边形，
即经过的中点，
点的横坐标为2，
点的横坐标为2，
点的坐标为；
②若是平行四边形的边，
（Ⅰ）当且时，四边形是平行四边形，
，，点的横坐标为2，
点的横坐标为，
点的坐标为；
（Ⅱ）当且时，四边形是平行四边形，
，，点的横坐标为2，
点的横坐标为，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．

【点睛】
本题是二次函数综合，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、三角形周长、平行四边形性质等知识点，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
4．（2022·广西·贺州市八步区教学研究室一模）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5），与x轴的另一个交点为点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)分别求出抛物线的对称轴和点C的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)x=2，点C的坐标为（5，0）；
(3)存在，点P的坐标为（2，-3）．
【解析】
(1)
解：把点A（-1，0）和点B（0，-5）代入y=ax2-4x+c得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
(2)
解：y=x2-4x-5=(x-2)2-9，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点A（-1，0），
∴与x轴的另一个交点C的坐标为（5，0）；
(3)
解：存在一点P，使得ABP的周长最小．理由如下：
连接AB，由于AB为定值，要使ABP的周长最小，只要最小；
由于点A与点C关于对称轴对称，则，因而BC与对称轴的交点P就是所求的点；

设直线BC的解析式为y=kx-5，
把C（5，0）代入得：5k-5=0，
解得k=1，
所以直线BC的解析式为y=x-5；
把x=2代入y=x-5中得，y=-3，
∴点P的坐标为（2，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用的对称性质是解题关键；（3）二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．
5．（2022·广西贺州·二模）如图，抛物线经过点，两点，对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若过点C的直线l的表达式为，当直线l与抛物线有两个不同交点时，求k的取值范围；
(3)在（2）条件下，当直线l与BC垂直时，与对称轴交于点E．此时抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或
(1)
解：设抛物线的表达式为，由题意得

解得
∴抛物线的表达式为
(2)
解：∵直线l与抛物线有两个不同的交点
∴
即
∴
∴
∴k的取值范围为的任何实数．
(3)
解：设直线l与x轴交点为F，

当y＝0时，
解得，
∴点B的坐标是（6，0）
∴OB＝6，
∵点C的坐标是（0，3）
∴OC＝3
∵FC⊥BC
∴∠FCB＝90°，
∴∠FCO＋∠COB＝90°，
∵∠OBC＋∠COB＝90°
∴∠FCO＝∠OBC
∵∠COB＝∠FOC
∴
∴
∴
∴
∴
把点F代入得

解得k＝2
∴ 直线的表达式是，
∵抛物线的对称轴为
∴点E的横坐标是
当x＝时，
∴点E的坐标是（，8）
设点，
由可知：与同底为AB，则有点P与点E的纵坐标的绝对值相等，
∴，
又由点E的坐标是（，8）
∴或者，
①当时，无解；
②当时，解得：，
此时点P的坐标为或，
综上所述：当时，点P的坐标为或．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、一次函数等知识，熟练掌握函数的性质是基础，根据题意列方程是关键．
6．（2022·广东广州·一模）已知抛物线y=ax2+bx−(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA (1)求该抛物线的解析式；
(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当面积等于4时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．
【答案】(1)该抛物线的解析式为y=x2+x−；
(2)D(3，6)
(3)点P的运动路线长为2．
(1)
解：∵点A，B两点关于直线x=-1对称，且AB=4．OA ∴A(1，0)，B (-3，0)，
将其代入y=ax2+bx−，得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y=x2+x-；
(2)
解：如图所示：

∵DF//y轴//GC，
∴∠GCA=∠DFE，
∵抛物线解析式为y=x2+x-=(x+1)2-2，
∴顶点C(-1，-2) ，
∵A(1，0)，
∴AG=2，CG=2，
∴△CGA为等腰直角三角形，
∴∠GCA=∠DFE=45°，
∵DE⊥AC，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=EF，DF=DE，
∵S△DEF=DE×EF=4，
∴DE=2，
∴DF=×2=4；
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将A(1，0)和C(-1，-2)代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-1，
设D(x，x2+x-)，则F(x，x-1)，
∴DF=x2+x--( x-1)=x2-，
∴x2-=4，
∴x=3或x =-3(舍)，
∴x2+x-=×9+3-=6，x-1=3-1=2，
∴D(3，6)，F(3，2)；
(3)
解：如图所示：

∵△NFH是直角三角形，
∴外心是斜边NH的中点，当M点位于B点时，得△N1FH1，其外心是斜边H1N1的中点，当M点位于C点时，得△N2FE，其外心是斜边N2E的中点，
∵D(3，6)，B(-3，0)，
∴tan∠BDF==1，
∴∠BDF=45°，
由(2)得：∠FDE=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
∴BD∥AC，
∴FN⊥BD，
∴DF平分∠BDE，∠BDE=90°，
∵FN2⊥BD，FE⊥DE，
∴FN2=FE，
∵∠N2FE=∠N1FH1=90°，
∴∠N2FN1=∠EFH1，
∴△EFH1绕点F逆时针旋转90°得△N2FN1，
故点P的运动路线是H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得N2H的中点之间的弧长；
∵∠DN2F=∠N2DH=∠DHF=90°，FN2 =FE，
∴四边形DN2FE为正方形，
∴N2E=DF=4，
∴Rt△N2FE斜边上的中线为2，
∴点P的运动路线长为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
7．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接MD，ND．

(1)求抛物线的解析式；
(2)延长MD交于BN点F，
①求证：；
②求证：；
(3)当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴的交点坐标．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②见解析；
(3)
【解析】
(1)
解：将，，代入到中，
得，记得，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
①如图：


∵D在抛物线的对称轴上，
，
∵，
（垂直于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（对顶角相等），
；
②由①得，，
在Rt△MFN中，∵D为斜边MF的中点，
，
；
(3)
过点D作x轴垂线交CE于点R，连接AR，如图所示：


当△DMN为等边三角形时，，
轴，，
，
∴A、M、D、R四点共圆（圆内接四边形对角互补），
又∵∠RMD与∠RAD都是弦RD所对的圆周角，
，
在Rt△RDA中，，
∵D在对称轴上，∴，，
，
又∵点R在x轴的下方，
∴
即直线CE与抛物线对称轴的交点坐标．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定等，其中第（3）问中，得到A、M、D、R四点共圆是解题的关键．
8．（2022·山东济南·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形OCPQ是平行四边形，理由见解析
(3)在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
【解析】
(1)
解：把点和代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：四边形OCPQ是平行四边形.
理由如下：抛物线，
当x=0时，y=4，
∴，
设直线BC的解析式为，
把、代入，
得：，
解得：
∴直线BC的解析式为；
设，则，
∴，
∵-1＜0，
∴PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4，此时，
∴PQ=CO=4，
又∵PQ//CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
(3)
解：在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
理由如下：∵D是OC的中点，
∴点D(0，2)，
∵点D(0，2)、Q(2，-2)，
∴直线DQ的表达式为，
如图，过点Q作轴于点H，

∴则QH//CO，
∴∠AQH =∠ODA，
∵，
∴∠HQA =∠HQE，
∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为，
把Q(2，-2)代入，
得：-2=4+r，
解得：r=-6，
∴直线QE的表达式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴，
设，
∴，
①当BF=EF，即BF2=EF2时，为等腰三角形，
则：，
解得：，
∴；
②当BF=BE，即BF2=BE2时，为等腰三角形，
则：，
解得：，
∴或；
③当EF=BE，即EF2=BE2时，，为等腰三角形，
则：，
化简得：，
∵，
∴方程无解，
即在y轴上不存在点F，使EF=BE，
综上所述，在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和等腰三角形的性质等.解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
9．（2022·宁夏银川二十四中一模）如图，已知抛物线经过点A（－3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到，求此时与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到，与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)，D（6，4）
(2)
(3)
【解析】
(1)
解：∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4＝﹣27a，
∴a，
∴抛物线的解析式为：y（x+3）（x﹣9）x2x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4），
令x2x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6，
∴点D的坐标为（6，4）；
(2)
解：如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，
∵点F是抛物线yx2x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH4，
∵GH∥A1O1，
∴△FGH∽△FA1O1，
∴，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分S△FGH
A1O1•O1FGH•FH

；

(3)
解：①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，
∵C2O2∥DE，
∴△OO2M∽△OED，
∴，
∴，
∴O2Mt，
∴SOO2×O2Mttt2；

②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，

将点D（6，4）代入y＝kx，
得，k，
∴yODx，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k，bt+4，
∴直线A2C2的解析式为：yxt+4，
联立yODx与yxt+4，
得，xxt+4，
解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4t），
故点M到O2C2的距离为6﹣t，
∵C2N∥OC，
∴△DC2N∽△DCO，
∴，
∴，
∴C2N（6﹣t），
∴S
OA•OCC2N（6﹣t）
3×4（6﹣t）（6﹣t）
t2+4t﹣6；
∴S与t的函数关系式为：S．

【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，把不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．
10．（2022·安徽六安·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)三角形ACD是直角三角形，3
(3)PE有最大值为
【解析】
(1)
解：∵C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，
∴A（-3，0），B（1，0），将A，B两点坐标分别代入解析式得，
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：由（1）知抛物线的解析式为，
∴D点的坐标为（-1，-4），
∴，
，，
∵，即，
∴三角形ACD是直角三角形，
∴；
(3)
PE的值存在最大值,理由如下：
设直线AC的解析式为，把A，C点的坐标分别代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为，
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，


∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点，则点，
∴，
∴，
∴PE有最大值为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，一次函数，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．

(1)求抛物线解析式；
(2)E（m，0）是线段OA上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动时，若△PBD是直角三角形，点P的坐标为 ；（直接写出）
②点E在线段OA上运动时，连结PC交AB于点Q，当 的值最大时，请你求出点E的坐标和的最大值.
(3)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；
(2)①（1，4）或（2，3）；②（，0），
(3)（6，4）或（1，4）或（1，4）或（1，-4）
【解析】
(1)
解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)
解：①∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
∵点E（m，0），
∴点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2，
∴m＝1，m＝0（舍去）
∴点P的坐标为（1，4），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2，
∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2，
∴点P的坐标为（2，3），
综上所述：点P的坐标为（1，4）或（2，3）；
故答案为：（1，4）或（2，3）；
②当y=0时，0＝﹣x2+2x+3；
解得，，，
∴C点坐标为（-1，0），
作CG∥PD，交AB于点G，
∴G点坐标为（-1,4），即CG=4，
∵点E（m，0），
∴点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
PD=﹣m2+2m+3+ m-3=﹣m2+3m
∵CG∥PD，
∴△PDQ∽△CGQ，
∴，
当时， 的值最大，最大值为，
此时，点E的坐标为（，0）；

(3)
解：把y＝﹣x2+2x+3化成顶点式为y＝﹣（x-1）2+4；
所以，顶点H坐标为（1，4），
∵A（3，0），
∴，
①当四边形ANMH为菱形时，AM为对角线，如图，
点M与点C重合，点N与点H关于x轴对称，
∴N点坐标为（1，-4）；

②当四边形AMNH为菱形时，如图，
∴HN∥x轴，HN＝AH，
∴N点坐标为（1，4）或（1，4）；

③当四边形AMHN为菱形时，如图，
设M点坐标为（m，0），
∵AM=MH，
∴，
解得，m=-2，
MA=HN=5，
∴N点坐标为（6，4）；

综上所述：点N的坐标分别为：（6，4）或（1，4）或（1，4）或（1，-4）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
12．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）已知抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q，

(1)当点（3，0），（0，3）两点恰好均在该抛物线上时，求点Q的坐标；
(2)当点Q在x轴上时，求b＋c的最大值；
(3)如图，已知当x＞2时，y随x的增大而减小，且当x＜2时，y随x的增大而增大．A为抛物线对称轴右侧一点，过A点分别作AC⊥x轴于C，作x轴的平行线交抛物线于D，若∠CQD＝90°，求c的值．
【答案】(1)顶点Q坐标为（1，4）；
(2)b+c的最大值为1；
(3)c=-3．
【解析】
(1)
解：将（3，0）、（0，3）代入得：，
解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点Q坐标为（1，4）；
(2)
解：∵顶点Q在x轴上，
∴0，即c=-b2，
∴b+c=b-b2=-(b-2)2+1，
∵-<0，
∴当b=2时，b+c有最大值，最大值为1；
(3)
解：∵当x＞2时，y随x的增大而减小，且当x＜2时，y随x的增大而增大．
∴抛物线对称轴为x=2，则-，则b=4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+c，
∴顶点Q坐标为（2，c+4）；
∵过A点分别作AC⊥x轴于C，作x轴的平行线交抛物线于D，
设点D坐标为（m，-m2+4m+c），则点A（m+4，-m2-4m+c），点C（m+4，0），
∴CQ2=( m+4-2) 2+(c+4) 2，DQ2=( 2-m) 2+(c+4+m2-4m-c) 2，
DC2=( m+4-m) 2+(-m2+4m+c) 2，
∵∠CQD＝90°，
∴DC2= CQ2+ DQ2，
∴16+(-m2+4m+c) 2=( m+2) 2+(c+4) 2+( 2-m) 2+( 4+m2-4m) 2，
解得：c=-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解析式；（2）利用二次函数的性质解题；（3）利用二次函数的性质以及勾股定理．
13．（2022·江苏·测试学校五一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，直线与抛物线交于点D和点，且与y轴交与点．

(1)求直线l的函数表达式；
(2)若P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)y=﹣2x+2
(2)(1，﹣2)或（﹣3，﹣6）
【解析】
(1)
解：把(，n)代入y=−2x2−3x+3中，
n=﹣2-+3=1,
∴F(，1)，
把(，1)，(0,2)代入y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=﹣2x+2;
(2)
解：设l与x轴交于点H,
∵
∴如图：当OP1l时，P1OE=CEH =OED,

∵直线l的解析式为y=﹣2x+2，
∴直线OP1所在直线为y=﹣2x，
∴
解得，（舍去）
∴P1(1，﹣2);
如图：当P2OA=P1OH时，
∵P2OA+AOE=EOH+P1OH
即P2OE=P1OH=OED
∵P1(1，﹣2)
∴tanP1OH=
∴tanP2OA =
∵P2在第三象限，
∴设P2（x，2x）,
代入y=−2x2−3x+3
解得，（舍去）
∴P2（﹣3，﹣6）
综上所述，点P的坐标为(1，﹣2)或（﹣3，﹣6）.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求直线的解析式，三角函数等，正确的进行分类讨论是解决问题的关键．
14．（2022·江苏·徐州市树人初级中学二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点．是轴上动点，过点的直线垂直于轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点．

(1)求直线BC的函数表达式；
(2)如图2，四边形是正方形，连接．的面积为，正方形的面积为．若，求的取值范围．
【答案】(1)直线的函数表达式为
(2)
【解析】
(1)
令，得，解得，，
即的坐标为，的坐标为，
令，得，即的坐标为，
设，代入两点的坐标得出：，
解得，
直线的函数表达式为．
(2)
由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，设点坐标为，即，
，，，
即，

，

，
抛物线的顶点坐标为，
直线与抛物线交于两点，
，即，
令，当时，随的增大而减小，
当时，；当时，；
．
【点睛】
本题考查了一次函数表达式求法，二次函数面积综合，解题的关键是理解题意，合理设点的坐标，表示出所求图形的面积，最后根据所给条件求取值范围．
15．（2022·广东佛山·二模）已知二次函数yx2＋bx＋c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式．
(2)如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
(2)当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或；
(3)存在，点Q的坐标为（-1，）或（-1，）
【解析】
(1)
解：把A（1，0）和B（-3，0）代入y=x2+bx+c得：
，解得，
∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-3；
(2)
解：令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，则△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BOC=45°，
根据题意，AD=t，BD=4-t，BE=t，
当∠BDE=90°时，△BDE为直角三角形，
此时BE=BD，即t=(4-t) ，
解得：t=2；
当∠BED=90°时，△BDE为直角三角形，
此时BD=BE，即4-t =×t，
解得：t=；
综上，当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或；
(3)
解：y=x2+2x-3= (x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
设直线AC的解析式为y=kx-3，
把A（1，0）代入得：k-3=0，
∴k=3，
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
当x=-1时，y=-6，
∴抛物线的对称轴与直线AC的交点F的坐标为（-1，-6），
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则AH=2，FH=6，AF=，
过点Q作QG⊥AC于点G，

由题意知QH=QG，设QH=QG=n，
∴Rt△FAH∽Rt△FQG，
∴，
当点Q在原点上方时，FQ=6+n，当点Q在原点下方时，FQ=6-n，
∴或，
解得：n=或n=
∴点Q的坐标为（-1，）或（-1，）.
【点睛】
本题是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
16．（2022·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于点B，抛物线过点A和点B，且与x轴交于另一点C，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接DA，当点P在直线DA右上方的抛物线上时，PE交DA于点M，过点M作MQ⊥AB于点Q，若MQ=，求m的值；
(3)连接CB，当点P在第四象限的抛物线上时，以OB，OE为边作矩形BOEF，点H在线段OE上，过点H作HG∥EF交直线BF于点G，过点F作FK⊥BC交射线CB于点K，连接KG，KH，若△KGF和△KGH相似，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)
解：对于直线，
令，可得，解得，即点A（3，0），
令，可得，即点B（0，3），
将点A（3，0）、点B（0，3）代入到抛物线中，
可得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
(2)
由（1）可知，点A（3，0）、点B（0，3），
∴，
∴，
∵抛物线，
∴点D（1，4），
设直线AD的解析式为，将点D（1，4）、点A（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线AD的解析式为，
设点P（m，），
∴点M（m，），点N（m，），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵MQ⊥AB，即
∴，即，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴；
(3)
如下图，

∵为钝角，当与相似时，
则为钝角三角形，即为钝角，
当时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可知，当时，或，
可知点C（-1，0），
又∵点B（0，3），
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
过点K作轴于点N，
∴，，
∴，
在中，有，
∴，
解得．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点包括待定系数法求一次函数和二次函数解析式、一次函数和二次函数的图形与性质、等腰直角三角形的性质、三角函数解直角三角形、相似三角形的性质、勾股定理等，解一元一次方程，综合性较强，解题关键是综合运用所学知识，并利用数形结合的数学思想分析问题．
17．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线，新抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．

(1)求a，b，c的值；
(2)如图1，点P为直线BC上方新抛物线上一动点，过点P作轴交直线BC于点Q．当PQ取最大值时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，PQ取最大值时，PQ交新抛物线的对称轴于点M，直线BC交新抛物线的对称轴于点N．把绕点N逆时针旋转得到．在旋转过程中，当的直角边与直线AC平行时，求直角顶点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【解析】
(1)
解：设二次函数的解析式为： ，
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线y=−x2向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线y1，
∴，
∴，
∴，，；
(2)
令，得，解得，，，
∴，．
令得，即，
设直线BC的表达式为，
把，代入，得，
解得   
∴，
设，令，
则，得，
∴，
∴，
当时，PQ取得最大值，此时；
(3)
因为新抛物线的对称轴为直线，
由（2）可得，，，
∴，
在Rt△中，，
①当时，如下图，


过点作，垂足为H，
∴，
∵x轴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，，，
即，
解得，
∴，，
即，
②当时，如下图，，


∵，
∴，
过点作，
在中，，
设，，，
即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，注意分情况讨论．
18．（2022·山东泰安·一模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
(1)
解：将 ，代入得
，
解得，
∴；
(2)
解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或；
(3)
解：存在，点P的坐标是．
理由：
过点P作轴于点D，

∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点．
19．（2022·山东济南·一模）如图，抛物线交y轴于点，且过点点B是抛物线M上一个动点，过B作，以B为圆心，2为半径的圆交直线于D、E两点（点E位于点D下方）

(1)求抛物线M的解析式；
(2)连接交于点F，连接．若是以为直角边的直角三角形，求的度数；
(3)取的中点Q，连接，求线段的最小值．（直接写出答案）
【答案】(1)；
(2)的度数为或；
(3)当时，有最小值，最小值为
【解析】
(1)
∵yx2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，），
∴，
∴，
∴；
(2)
①∠ABD＝90°时，如图1，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°．
②∠ADB＝90°时，如图2，
∵AD∥x轴，
∴点D的纵坐标为﹣1，
∵BD＝2，
∴点B的纵坐标为﹣3，
将y＝﹣3代入，解得x1＝x2＝﹣2，
所以AD＝BD＝2，△ABD为等腰直角三角形，
∠BEF22.5°．
综上所述，∠BEF的度数为45°或22.5°；


(3)
设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），
∵A（0，﹣1），DQ＝AQ，
∴Q（，m2+m），
∵P（﹣1，），
∴当m+1＝0时，PQ有最小值，最小值为．

【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的应用、圆的性质、动点问题及抛物线的平移问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（2022·广东佛山·二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线且与x轴交于点D，直线与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线交于点C．

(1)连接，求证：．
(2)求抛物线的函数关系式．
(3)在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或.
【解析】
(1)
如图，连接，
直线与y轴交于点A，
令，则，
即，
对称轴为直线且与x轴交于点D，
则，
直线l与直线交于点C．
则，代入，得 ，
，
，
，
，
，
是，
，
，

(2)
抛物线经过原点O，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线解析式为，
直线与抛物线有且只有一个公共点B，
，
整理得，
，
解得或，
当时，，
，
解得，
，
当时，
，
解得，
，
点B在第四象限，
符合题意,此时，
抛物线解析式为，
(3)
在直线上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，
是以为斜边的等腰直角三角形
，


，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为，代入
解得
直线的解析式为，

解得



设

解得，
或

【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，一次函数的平移，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21．（2022·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．

(1)求b和c的值；
(2)当时，连接BD，求△BDF的面积；
(3)H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
【答案】(1)b= ，c=-2
(2)△BDF的面积为
(3)H(0， 3)
【解析】
(1)
∵抛物线y= -x2 + bx + c过A(0，-2)，B(4， 0)两点，
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为：b= ，c=-2
(2)
∵B(4，0)，A(0，2)
∴OB=4，OA=2，
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和和Rt△BGF中，
∴tan∠ABO=
即
∴GB=1
∴OG=OB-GB=4-1=3
当x=3时，

∴D(3，-2)，即GD=2
∴FD=GD-GF=2-=
∴
(3)
①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，


∵四边形BEHF是矩形，
∴EH//BF，EH= BF，
∴∠HEF=∠BFE，
∵∠EMH=∠FGB= 90°
∴△EMH≌△FGB (AAS)，
∴MH=GB，EM=FG，
∴HM=OG，
∴OG= GB=OB=2，
∵A(0，-2)， B(4，0)，
∴直线AB的解析式为y= x- 2，
设E(a，-2a+8)，F(a， a-2)，
由MH = BG得到，a-0=4-a，
∴a= 2，
∴E(2，4)， F(2，-1)，
∴ FG= 1，
∵ EM= FG，
∴4-= 1，
∴yH =3，
∴H(0， 3)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求a、b的值；
(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标；
(3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，请直接写出此时点H的坐标及四边形最大面积值；
(4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q两点的坐标．
【答案】(1)
(2)D的坐标为或
(3)，当时，四边形的面积最大为
(4)，
（1）∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图1，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使以B，C，D为顶点的三角形与相似，则有或，
①当时，
，
∴，
②当时，   
∴
∴，
∴，
即：D的坐标为或；
（3）设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∵E在抛物线上，
∴，
∴（舍）或，
∴，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
当时，四边形的面积最大为，此时，；

（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，
∴，
∴K关于y轴的对称点，
∵在抛物线上，
∴，
∴点M关于x轴的对称点，
∴直线的解析式为，
∴，．
【点睛】
本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，对称性，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF，解（4）的关键是利用对称性找出点P，Q的位置．
23．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线AC：交y轴于点C．点E为直线AD上方抛物线上一动点，过点E作x轴的垂线，垂足为G，分别交直线AC，AD于点F，H．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，连接AE，求的面积；
(3)Q是y轴上一点，当四边形AFQH是矩形时，请直接写出点Q的坐标；
(4)在（3）的条件下，第四象限有一动点P，满足，请直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
(1)
解：∵抛物线与x轴的交点坐标为，两点，
∴ ,
整理得：．
(2)
解：∵A(4,0) ， B(−1,0)，
∴OA=4，OB=1，
由（1）得，
当x=0时，y=2，
∴OD=2，
∵EG⊥x轴，OD⊥x轴，
∴HG∥OD，
∴，
，
即，
解得AG=2，
∴，
则，
∴，
∴EG=3，
∴EH=EG-HG=3-1=2，
∴；
(3)
解：如图，过Q作QM⊥EF于M点，取EF于OA的交点为N，

∵四边形AFQH是矩形，
∴HA=QF，AH∥QF，
∵∠QFM=∠AHN，
∵∠ANH=∠QMF=90°，
∴△ANH≌△QMF（AAS），
∴AN=QM，HN=MF，
∵QM=ON，
∴ ，
∴ ，
∵直线AC的解析式为，
∴，
∴FN=4，
设直线AD的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴，
∴，
∴HN=FM=1，
∴NM=FN-FM=4-1=3，
∴；
(4)
解：如图，

∵四边形AFQH是矩形，
∴QA=FH=FN+NH=4+1=5，
△PQA的周长=PQ+PA+QA=PC+3+PA+5=PC+PA+8，
∵PC+PA≥AC，
∴当P在线段AC上时，PA+PC=AC值最小，
∵直线AC的解析式为，
当x=0时，y=8，
∴OC=8，
∵ ，
∴△PQA周长的最小值为： ．
【点睛】
本题为二次函数综合题．考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，难度较大．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
24．（2022·海南华侨中学一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴与点C，过点P作交x轴于点F，轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．

(1)求直线AD的表达式及点C的坐标；
(2)当，求m的值；
(3)是探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，或
(1)
解：，当时，，
解得，．∵点A在点B的左侧，∴．
∵，即，∴，
设直线AD的函数表达式为，
∵直线AD过点，，
则，解得，
∴，当时，，故；
(2)
解：如图，过点D作轴于点Q，交PE于点N．

∵点P的横坐标为m，
∴，
∵，∴，
，
∵轴，
∴，
当时，，
∴，即，
当时，，
∵点P在抛物线对称轴的右侧，
∴；
当时，，
∵点P在抛物线对称轴的右侧，
∴，
综上所述，或；
(3)
解：存在，理由：
当点P在x轴上方时，
设点，则点E的坐标为，
把点E的坐标代入AD的表达式得：，
解得，
故点E的坐标为，
则，
，
，
，则，
则，
∵四边形AFPE是菱形，则，
即，
解得（舍去）或，故点P的坐标为；
当点P在x轴下方时，同理可得，点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，求一次函数解析式，平行线分线段成比例，解直角三角形，菱形的性质与判定，综合运用以上知识，并分类讨论是解题的关键．
25．（2022·江苏连云港·一模）已知：抛物线经过，，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上任意一点，连，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
(3)如图2，是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，连结，将沿翻折，M的对应点为．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)k取得的最大值是，此时
(3)存在，或
(1)
解：∵抛物线经过，，，
∴设，
将代入，得，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：如图1，过点P作轴交直线于点H，

∴，
∴，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴解得：，
∴直线的解析式为，     
设点，则，
∴，                 
∴，
∴当时，k取得最大值，此时，，

(3)
由折叠知，，，
∴当时，四边形为菱形，
设，则，
∴，
∴，，
解得：或，
综上所述：点D坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数，相似三角形，二次函数的最值，折叠，菱形．熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，作辅助线构建相似三角形，用配方法将二次函数解析式化为顶点式，求二次函数的最值，折叠图形的全等性，菱形的判定，是解决问题的关键．
26．（2022·云南昆明·一模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的最低点的坐标为．

(1)求出该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD线段，CD与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
(3)如图2，点M，N是线段AC上的动点，且，求△OMN周长的最小值．
【答案】(1)y=x2+2x-3
(2)E(-，)
(3)4
【解析】
(1)
解：∵抛物线的最低点的坐标为，即顶点坐标为，
设抛物线解析式为y=a(x+1)2-4，
把点代入抛物线解析式，得
4a-4=0，解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3；
(2)
解：∵y=x2+2x-3，
令x=0，则y=-3,
∴C(0,-3)，
令y=0时，则x2+2x-3=0,
解得：x1=-3，x2=1，
∴B(1,0)，
如图1，过点C作直线lx轴，过点D作DG⊥l于G，则∠DGC=90°，
∴∠D+∠DCG=90°，
过点B作BF⊥l于F，则∠BFC=90°，

∵线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD线段，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠DCG+∠BCF=90°，
∴∠D=∠BCF，
在△BCF和△CGD中，
，
∴△BCF≌△CGD(AAS)，
∴BF=CG，CF=DG，
∵B(1,0)，C(0,-3)，
∴BF=3，CF=1，
∴CG=BF=3，DG=CF=1，
∴BF-DG=2，
∴D(-3,-2)，
设CD解析式为y=kx+b，把C(0,-3)，D(-3,-2)代入，则
，解得：，
∴CD解析式为y=-x-3，
∵点E是直线CD与抛物线的交点，
∴，解得：，（舍去，与点C重合），
∴点E(-，)；
(3)
解：如图2，将△AOC绕点O顺时针180°至△A′OC′，过点M作关于原点的对称点M′在A′C′，∴AC=A′C′，ACA′C′，∠CAO=∠C′OA′，连接AC′，CA′，

∴四边形ACA′C′是平行四边形，
∵△OMN的周长=OM+ON+MN=OM+ON+，
∴当OM+ON最小时，△OMN的周长最小，
∵OM+ON=OM′+ON，
∴当M′，O，N三点共线，且M′N⊥AC时，OM′+ON最小，即为平行四边形ACA′C′的高h最小，
∵，C(0,-3)，
∴OA=3，OC=3，
∴AC=，
∴S△AOC==×3×3=，
∴S平行四边形CA′C′=4S△AOC=18，
∴S平行四边形CA′C′=AC×h=18，
∴h=，
∴OM′+ON最小值=，
∴△OMN的周长最小值=+=4．
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，垂线段最短等知识，综合治理较强，有一定难度，属中考试常用考题目．
27．（2022·辽宁鞍山·一模）如图，抛物线（）与x轴正半轴交于点A，点P为线段OA上一点，过P作轴交抛物线（）于点B，过B作轴交抛物线（）于点C，连接AC；

(1)如图1，若点A的横坐标为，
①求抛物线的解析式；
②当时，求点P的坐标；
(2)若，点Q为线段AC上一点，点N为x轴上一点，且，将△AQP沿直线PQ翻折得到，所在的直线交x轴于点M，且，求点Q的纵坐标．
【答案】(1)①，
②
(2)或或
【解析】
(1)
解：①根据A点的横坐标为，则A点坐标为(,0)，OA=，
将A点坐标代入，有：，
解得n=，
则有抛物线的解析式为：，
②过C点作CE⊥OA于E点，如图，

设C点坐标为，即有，
则有CE=b，OE=a，
又∵∠BCA=45°，，
∴∠BCA=∠CAE=45°，
∴在Rt△ACE中，有∠ECA=45°=∠CAE=45°，即有EC=AE，
∴OA-OE=AE=EC，即，
联立，
解得：，（不合题意，舍去），
∴C点坐标为，
∵，且BP⊥OA，CE⊥OA，
∴四边形CEPB是矩形，
∴CE=PB=，
∴B点的纵坐标为，
将B点的纵坐标代入到抛物线方程，可得B点的横坐标为，
则B点的坐标为
∴OP=，
则P点的坐标为；
(2)
解：①当点在左侧时，
过作交于，作轴交于，过作∥分别交，于点，，
∵∥
∴，，
∴∽ ，∽
∴
由翻折，得：
∵
∴≌
∴
∴
∴
∵与关于对称轴对称
   与关于对称轴对称
∴
∴时，
∴
∵当时，
解得：（舍去），
∴（，0）
∴
∴
∴
设，则
∵
∴
∵∽
∴
   

，
或
纵坐标为或

②当点在右侧时，
同理，可得：
，，
同理，可得：



（舍去），

纵坐标为

【点睛】
本题是一道一次函数和二次函数的综合题，本题考查了用待定系数法求解析式、平行形的性质、勾股定理和解一元二次方程等知识，本题难点在第二小问，注意分情况讨论，不要漏情况，且过点P作是解答本题的关键．
28．（2022·辽宁·阜新市第一中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线关系式；
(2)已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求四边形APCB面积的最大值；
(3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣4
(2)16
(3)存在，点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（，﹣）
【解析】
(1)
解：把点A（﹣4，0），B（2，0）代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线关系式为y＝x2+x﹣4；
(2)
解：如图，连接OP，

设，
∴，
∵a=-1＜0，
∴此函数有最大值，
又-4＜m＜0，
∴当m=-2时，最大，最大值为16，
∴四边形APCB面积的最大值为16；
(3)
解：存在，此时点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（-﹣1，）；（﹣1，﹣）；.
理由如下：抛物线y＝x2+x﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
连接CE，则，
①如图，当CE为边，且四边形CEMN为菱形，

此时，过点作轴于点，
∵A（﹣4，0），C（0，-4），
∴直线AC的表达式为，
设，则，
由勾股定理得：，
即：，
解得：（舍去），
∴；
②如图，当CE为边，且四边形CENM为菱形，

此时，过点作轴，过点作轴，
∵，
∴AO//，AO//，
∴CH：CO=：OA=：CA=，CT：CO=：OA=：CA=，
∴，
∴（-，-4+），（，-4﹣）；
∴（-﹣1，），（﹣1，﹣）；
③如图，当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形，

取CE的中点K，过点K作，交AC于点M，
∵C（0，-4），，
∴，
∵，C（0，-4），
∴直线EC的表达式为，
∴直线的表达式为，
联立，
∴，
∴；
综上所述，点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（-﹣1，）；（﹣1，﹣）；.
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积、菱形的存在性等，分类讨论思想；利用数形结合思想和分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键.
29．（2022·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，交y轴于点C，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在AC上方时，作轴，交AC于点D，过PD中点E作轴，交直线AC于点F，作于点G，当时，求线段的长；
(3)如图2，取AC中点I，点M，N是射线OI上的两个动点（点M在N的左侧），且，将点M向上平移2个单位长度至点，点H是x轴正半轴上的一点，且，连接MH和NJ交于点K，请直接写出点K的运动路径与抛物线交点P的横坐标．
【答案】(1)(2)(3)点K的运动路径与抛物线交点P的横坐标为
【解析】
(1)
解：将代入得
解得
∴抛物线的解析式为．
(2)
解：如图2，延长交于

∵，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
设直线的解析式为
将点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
设，则 ，
∴，
∴
解得，（不合题意，舍去）
∴
∴线段的长为4．
(3)
解：如图2，作轴，交的延长线于

由题意知
∴
∴
设直线的解析式为
将坐标代入得，解得
∴直线的解析式为
∵，
∴
∵
∴
设，则 ，
∴
∵
∴
∴
设直线的解析式为
将的点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
同理可得直线的解析式为
令
解得，
∴
∴，消去得
∴点的运动路径为直线，
联立得方程
解得，（不合题意，舍去）
∴点K的运动路径与抛物线交点P的横坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式，矩形的判定与性质，等角对等边，二次函数与线段综合，正切，正弦，二次函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
30．（2022·广东河源·二模）如图1，过原点的抛物线的顶点坐标为，与x轴的另一交点记为B，在x轴上有一定点，抛物线上有一动点P在A、B之间运动，过点P且平行于x轴的直线交OA于点D，交AC于点E，AP的延长线交x轴于点F．

(1)求抛物线的解析式．
(2)连接PC，当//时，求点P的坐标．
(3)如图2，在第（2）问的条件下，抛物线上有一动点Q在O、A之间运动，过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分，当这两部分的面积比为1：3时，直接写出点Q的纵坐标．

【答案】(1)
(2)
(3)Q的纵坐标为2或
(1)
解：过和顶点可得：
，
解得：，
∴；
(2)
解：方法一：
过P作轴于G，连接PC，
∵，，点，
∴AC=OC，
∴，
设则，，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴；

方法二：
连接PC，
∵，
∴直线OA的表达式为：，
∵，点，
∴将直线OA往右平移了个单位，可得直线PC的表达式为：，
，
解得：，（舍去），
∴；
(3)
解：Q的纵坐标为或2．
设直线AP的直线解析式为y=kx+b，将点A、P点坐标代入可得：
，
解得：，
∴，
依题意得：，，
设，则，得，
过点A作AD⊥OB，交OP于点E，
∴点E的横坐标为3，代入可得y=1，
∴E(3,1)，
AE=AD-ED=3-1=2，
∴，
当直线MN在点P下方时，
∴，
，
∴Q的纵坐标为；

当直线MN在点P上方时，如下图所示，此时点N落在AP上，
∵，即点N的纵坐标为t，将其代入，
∴，
∴，
解得：，
∴Q的纵坐标为2；

综上可得，Q的纵坐标为2或．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定二次函数解析式及其性质，求一次函数解析式，二次函数与三角形面积的关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．