中考数学一轮复习考点复习专题01 实数与二次根式【考点精讲】（含解析）

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专题01 实数与二次根式


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考点精讲



【考点1】实数的概念与正负数的意义
1．实数：有理数与无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。实数的分类如下：
① 按定义分：
② 按大小分：实数可分为正实数、零、负实数.
2．正负数的意义：表示具有相反意义的量

【例1】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北
京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（　　）
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
【分析】纽约与北京的时差为﹣13小时，表示纽约的时间比北京时间晚13个小时，比得北京时间1月7日8时晚13个小时的时间为1月6日19时，从而得出答案．
【解答】解：24﹣[8+（﹣13）]＝19
故选：C．
【例2】下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【解答】
A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、，是有理数，此项不符题意；
C、是无理数，此项符合题意；
D、是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
针对训练



1．（2021·山东济宁市）若盈余2万元记作万元，则万元表示（ ）
A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损万元 D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【解答】
解：∵盈余2万元记作 +2 万元，
∴-2万元表示亏损2万元，
故选：B．
2．（2021·广西来宾市）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可．
【解答】解：四个选项的数中：，，是无理数， 0是有理数，
故选项D符合题意．
故选：D．
【考点2】相反数、倒数
1．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.
（1）若a,b互为相反数,则a+b=0;
（2）0的相反数是0;
（3）在数轴上,互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
2．倒数：乘积为1的两个数互为倒数.
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.

【例3】-2021的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】
解：-2021的相反数是：2021．
故选：A．
【例4】﹣的相反数是 ，倒数是 ．
【分析】根据相反数与倒数的概念解答即可．
【解答】解：∵﹣的相反数是 ，
∵﹣1＝﹣，
∴﹣1倒数是﹣． 故答案为：1，﹣．
【考点3】数轴
注:实数与数轴上的点是一一对应的.


【例5】（2021·青海）若，则实数在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【分析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
【解答】
解：∵
∴，
∴，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
故选：A．
【例6】（2021·湖南）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【分析】由数轴易得，然后问题可求解．
【解答】
解：由数轴可得：，
∴，
∴正确的是B选项；
故选B．
针对训练

1．（2021·北京）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【分析】由数轴及题意可得，依此可排除选项．
【解答】
解：由数轴及题意可得：，
∴，
∴只有B选项正确，
故选B．
2．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（　　）
①a+b+c＞0 ②a•b•c＞0 ③a+b﹣c＜0 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．
【解答】解：∵由数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1，
∴ab＜0，a﹣b＜0，a+b＜0，|a|﹣|b|＞0，
故①②③错误，④正确．
故选：A．
3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正
确的是（　　）

A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b
C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b
【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，
则﹣b＜a＜0＜﹣a＜b．
故选：C．
【考点4】绝对值
1．绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
2．绝对值具有非负性：

【例7】已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，则y＝　 　．
【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，，
由①得，x＝3，
把x＝3代入②得，6﹣3y﹣3＝0，
解得y＝1．
故答案为：1．
【例8】的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可
【解答】
解：的绝对值是：9
故选:A
针对训练

1．（2021·四川雅安市）-2021的绝对值等于（ ）
A．2021 B．-2021 C． D．
【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．
【解答】
解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．
故选：A．
2．已知|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，则=　 　．
【分析】根据绝对值非负数，偶次方非负数的性质列出二元一次方程组，然后再利用加减消元法求出y的值，再代入其中一方程求出x的值，进一步计算即可．
【解答】解：∵|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，
∴|x﹣y+3|+（x﹣2）2＝0，
∴，
解得：x＝2，y＝5，
4．
故答案为：﹣4．

【考点5】科学计数法
科学记数法：把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数法叫做科学记数法.

【例9】（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据科学记数法的表示形式，其中，n为整数，一定要将题目中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．
【解答】
51085.8万=510858000 ，
故选：D．
针对训练
1．（2021·内蒙古）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为，则n等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】把46.61万表示成科学记数法的形式，即可确定n ．
【解答】
46.61万=466100=4.661 ，故n=5
故选：C．
2．（2021·湖南张家界市）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】将700000000写成a×10n（1＜|a|＜10，n为正整数）的形式即可．
【详解答】
解：700000000=．
故选C．
3．（2021·贵州铜仁市）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【分析】根据科学记数法的性质分析，即可得到答案．
【解答】
98990000用科学记数法表示为：
故选：D．
方法技巧


科学记数法的表示方法：一般形式:a×10n.
1．a值的确定:1≤|a|<10.
2．n值的确定:
① 当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
② 当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).
注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.

【考点6】实数的大小比较
【例10】（2021·湖南怀化）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大．
【解答】
解：，
∴，
故答案为：＞．
【例11】若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（　　）
A．m＜m2 B．m2＜m C．m＜m2 D．m2＜m
【分析】利用特殊值法进行判断．
【解答】解：当m时，m2，2，
所以m2＜m．
故选：B．
针对训练

1．（2021·广西柳州市）在实数3，，0，中，最大的数为（ ）
A．3 B． C．0 D．
【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．
【解答】
根据有理数的比较大小方法，可得：
，
因此最大的数是：3,
故选：A．
2．（2021·湖北襄阳市）下列各数中最大的是（ ）
A． B． C．0 D．1
【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【解答】
由于－3<－2<0<1，则最大的数是1
故选：D．
方法技巧

比较实数大小的5种方法
1．数轴比较法:将两个数表示在同一条数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2．类别比较法:正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
3．差值比较法:若a,b是任意两个实数,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a 4．倒数比较法:若>，ab>0，则a 5．平方比较法:由a>b>0,可得,故可以把比较与的大小问题转化成比较a和b的大小问题.

【考点7】二次根式的估算
【例12】（2021·四川达州市）实数在数轴上的对应点可能是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．
【解答】
解：∵，
∴，
∴它表示的点应位于2和3之间，
所以对应点是点D，
故选：D．
针对训练
1．（2021·湖北随州市·中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
【答案】
【分析】
根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.
【详解】
解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
2．（2020•黔东南州）实数2介于（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】首先化简2，再估算，由此即可判定选项．
【解析】∵2，且67，
∴6＜27．
故选：C．
方法技巧

求二次根式离哪个整数较近时,先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间,再求这两个整数的平均数,用平方法比较这个二次根式和平均数的大小.若二次根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若二次根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近.
【考点8】平方根与算术平方根
1．平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作；如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作.
2．平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.

【例13】（2020•湖州）数4的算术平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
针对训练

1．（2020•泰州）9的平方根等于　 　．
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．
【解析】∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
2．（2021·黑龙江大庆市）________
【分析】先算，再开根即可．
【解析】解：



故答案是：．
【考点9】立方根
1．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作.
2．立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.

【例14】（2020•宁波）实数8的立方根是　 　．
【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．
【解析】实数8的立方根是：
2．
故答案为：2．
【考点10】二次根式
1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.
2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

【例15】（2020苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　 　．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【例16】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解析】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【例17】（2020济宁）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解析】A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．

针对训练

1．（2021·湖南）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的化简方法即可得．
【详解】解：原式，
，
故选：D．
2．（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
3．（2020苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　 　．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【考点11】实数与二次根式运算
1．实数运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方.
2．二次根式的运算法则：
（1） （2）
（3）
（4）

操作方法
示例
（1）分段:以加、减号为界,把式子分成几段(有括号的,先算括号内的,再分段);
（2）先计算每一小段中每一小项的值(如零次幂、负整数指数幂、开方、绝对值、乘方等);
（3）进行每段中的乘除运算;
（4）进行段与段之间的加减运算.注意:同级运算按照从左到右的顺序进行.


注意事项

二次根式运算的注意事项
1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).
2．运算结果要化成最简形式.
3．在二次根式的运算中,要注意与次的区别.
① 取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;
② 化简结果不同:=|a|,=a.

【例18】（2021·广西来宾市）计算：．
【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．
【解答】
解：


．
【例19】下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．
【解析】A．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．，此选项计算错误；
C．，此选项计算错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
针对训练
1．计算的结果正确的是（　　）
A．1 B． C．5 D．9
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解析】原式

故选：A．
2．（2021·广西贺州市）计算：．
【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识即可完成本题的计算．
【解答】
原式

3．（2021·江苏盐城市）计算：．
【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
【解答】


．
4．（2021·山东济宁市）计算：．
【分析】先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可．
【解答】解：
=
=．
5．（2021·湖南娄底市）计算：．
【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：


．