2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二（下）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知离散型随机变量的分布列，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.  已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第项为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，，随机变量取值、、、、的概率均为，随机变量取值、、、、的概率也均为，若记、分别为、的方差，则(    )

A.
B.
C.
D. 与的大小关系与、、、的取值有关

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列结论正确的是(    )

A. 随机事件的个数与随机变量一一对应
B. 随机变量的取值可以是连续的实数区间
C. 若，则点在平面内
D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底

10.  对于，关于下列排列组合数，结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图所示，在正方体中，为的中点，则(    )

A. ，
B.
C.
D.

12.  已知离散型随机变量服从二项分布，其中，，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有(    )

A.  B. 时，
C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在的展开式中，含的项的系数是______ ．

14.  在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______ ．

15.  设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，现从甲袋中任取球放入乙袋，再从乙袋中任取球，则取出的全是红球的概率为______ ．

16.  如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手名，其中男生名：高二年级的参赛选手名，其中男生名从这名参赛选手中随机选择人组成搭档参赛．
设事件为“选出的人中恰有名男生，且这名男生来自同一个年级”，求事件发生的概率；
设为选出的人中男生的人数，求随机变量的分布列．

18.  本小题分
若，其中，，，为实数．
求；
求的值．

19.  本小题分
如图，在直三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，．
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．
如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．
假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
；
的分布列及数学期望．

21.  本小题分
如图，边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图．

求证：；
求二面角最小时的余弦值．

22.  本小题分
学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募名左右的志愿者学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到人现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取名志愿者：方案二：将名报名者编号，用随机数法先从这个编号中随机抽取个然后再次用随机数法从这个编号中随机抽取个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的人若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为向量，分别为直线的方向向量和平面的法向量，且，
所以，可设，；
即，
解得，，
所以实数的值为．
故选：．
根据用直线的方向向量和平面的法向量表示时的关系，列方程求出的值．
本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有种方法，第二步插入第二个节目，此时有个空，故有种方法．因此不同的插法共有种．
故选：．
把两个新节目分步依次插入找出每步的插法，相乘即可．
考查分步计数原理，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由分布列的性质得，，解得，
，
或，
．
故选：．
根据已知条件，结合分布列的性质，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：四棱锥如图所示，

底面是矩形，，
底面，底面，，
过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形，．
故选：．
过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量．
本题考查了向量的投影向量，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
则点到直线的距离为．
故选：．
根据点到直线距离的向量坐标公式计算，即可得出答案．
本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，
故选：．
利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，的展开式的通项为，
则展开式中的第项为．
故选：．
由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．
根据随机变量、的取值情况，求出，根据各随机变量的范围，判断波动情况，进而可求得结论．
【解答】
解：由随机变量、的取值情况，各取值概率均为，
故，
，
故，
由于，，
故 ，
且，
故变量比变量的波动大，
所以有，
故选择．  

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，引入随机变量，使我们可以研究一个随机试验中所有的可能结果，
引入的随机变量不仅仅有离散性随机变量，还有连续性随机变量．
因此随机事件个数不与随机变量一对应，故A错误；
对于选项B，随机变量的取值可以是连续的实数区间，故B正确；
对于选项C，因为，
则，故共面，
又因为三者有共同起点，故点在平面内，故C正确；
对于选项D，因为是空间的一组基底，即不共面，
而是共面向量，故不能作为空间的一组基底，故D错误，
故选：．
根据随机变量的含义可判断，；根据空间共面向量定理可判断；根据空间的基底的含义可判断．
本题考查的知识要点：随机变量的含义，向量的共面，向量的基底的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项A，，A正确；
选项B，，B正确；
选项C，，C正确；
选项D，，，，D错误．
故选：．
根据组合数的性质，以及排列数的运算逐一检验选项，得出答案．
本题考查组合数的性质，考查排列数的计算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，，，，
可得，，，，
所以，，故A正确；
又，，，则，故B正确；
又，，则，故C正确；
，故错误．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求得，，，，，，，，的坐标，可得对应向量的坐标，计算可得所求结论．
本题考查空间向量基本定理的运用，注意运用坐标法，考查运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，由概率的基本性质可知，，故A正确；
对于选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
，
，
，
所以，故B正确；
对于，选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确；
当时，为正负交替的摆动数列，故选项D不正确．
故选：．
选项A利用概率的基本性质即可，选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析选项C，根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可．
本题考查了二项分布，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：含的项可看作、、、、、项中有项取，
另一项取常数相乘所得，而每项取常数的情形为：，，，，，，
故可得含的项的系数为：
故答案为：
含的项可看作、、、、、项中有项取，另一项取常数相乘所得，易得答案．
本题考查排列组合及简单的计数原理，转化是解决问题的关键，属中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在长方体中，，，，建立空间直角坐标系，如图所示：

故，，，，
故，，
故．
故答案为：．
首先建立空间直角在坐标系，进一步利用向量的夹角运算求出结果．
本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”，
则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”，
表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”，
所以，，
故，，
故．
故答案为：．
考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为平面年，所以，，两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点的坐标分别为，，，，
因为，设，
又，则，
又，从 ，
设，，
则，
当且仅当，即时，的最大值为，
即直线与所成角的余弦值的最大值为，
而直线与所成角的范围为，
因为在上是减函数，故此时直线与所成角最小，
又因为，所以．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用向量的夹角公式求出的最大值，从而确定点在上的位置，即可求得答案．
本题主要考查空间向量的应用，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标求得的夹角的余弦的最大值，即可确定点的位置，进而求得答案，因此在解决类似问题时，可以尝试建立空间坐标系，利用向量解决问题，可以简化题目的难度．
 

17.【答案】解：由题意可知，从这名参赛选手中随机选择人组成搭档参赛共有种选法，
事件的选法共有种，
故；
由题意知的取值可能为，，，，，
由于，
故的分布列为：

【解析】根据古典概型的概率公式即可求得答案；
确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意可得，
那么其展开式通项为，
令代入，故．
令，则，
又令，则，
两式相减，则，
所以． 

【解析】由，利用二项式展开式的通项公式即可求解；
令，，分别求出系数的和或差，两式作差即可求解．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为四边形是边长为的正方形，平面，
，平面，故AA，，
因为，，，则，所以．
如图，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，则 ，
即，令，则，，所以，
所以，，
由题图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
平面的法向量为，，
故点到平面的距离为． 

【解析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案；
根据空间距离的向量求法即可得答案．
本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离求法，属于中档题．
 

20.【答案】解：记事件为“题目答对了”，事件为“知道正确答案”，
则，，，
由全概率公式可得，，
故所求概率为．
设事件表示小明选择了个选项，，，，表示选到的选项都是正确的，
则，
，
，
；
随机变量的分布列为：

故E． 

【解析】根据已知条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求解．
依次计算，，的概率，列出分布列，即可计算期望，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：折叠前，，，
折叠后，，
又，
所以平面，
因为平面，所以．
解：作交于点，连结，
，为二面角的平面角，
令，，，
由题意得，，


．
二面角最小时的余弦值为． 

【解析】通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直，证明平面，然后证明．
作交于点，连结，由，从而为二面角的平面角，由此能求出二面角最小时的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意得抽签法随机抽取名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取名志愿者含甲的概率为；
设两次都被抽到的人数为随机变量，则，，
故，
令，
故，
令，则，即，
当时，，
当时，，
因此，时，最大，即最大，
所以取到的可能性最大． 

【解析】应用古典概型的概率求法求不同方案下抽取到甲的概率；
设两次都被抽到的人数为随机变量，则可得，判断单调性，利用不等式法求出最大，即可确定值．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了组合数的计算，属于中档题．