2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二提优班上学期解题能力大赛数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二提优班上学期解题能力大赛数学试题

一、单选题

1．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.

【详解】由椭圆可得，

所以左焦点坐标为，

所以以为焦点的抛物线的标准方程为，

故选：C.

2．经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】分两种情况：过原点和不过原点进行讨论，结合直线的截距式方程解题﹒

【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即；

若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：，

把点代入可得：，解得．

∴直线方程为：，即．

综上可得满足条件的直线的条数为2．

故选：B

3．圆心为且过原点的圆的方程是

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.

【解析】圆的一般方程.

4．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【分析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.

【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；

若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.

综上所述，双曲线的离心率为或.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.

5．在平面直角坐标系中，已知定点，，若在圆上存在点P，使得为直角，则实数m的最大值是（    ）

A．15 B．25 C．35 D．45

【答案】D

【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.

【详解】以，两点为直径的圆的方程为，

设圆心为N，所以，半径为，

若在圆上存在点P，

使得为直角，则圆M与圆N有公共点，

又圆，

所以，半径为，

所以，

故，解得，

所以m的最大值为45.

故选：D

6．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ）

A．3 B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】设，则，解得，故，计算得到答案.

【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.

点M到该抛物线焦点的距离为.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7．在平面直角坐标系中，已知点，点，直线:.如果对任意的点到直线的距离均为定值，则点关于直线的对称点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用点到直线的距离公式表示出，由对任意的点到直线的距离均为定值，从而可得，求得直线的方程，再利用点关于直线对称的性质即可得到对称点的坐标．

【详解】由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离

由于对任意的点到直线的距离均为定值，所以，即，

所以直线的方程为：

设点关于直线的对称点的坐标为

故 ，解得： ，

所以设点关于直线的对称点的坐标为

故答案选B

【点睛】本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直线垂直斜率的关系，中点公式等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题．

8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线渐近线上一点，且，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】先求出，再解方程即得解.

【详解】解：联立.

所以.

所以，

所以，

所以

因为，所以，

所以.

所以双曲线的离心率为2.

故选：C

二、多选题

9．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的可能的值是（    ）

A． B． C． D．e

【答案】ACD

【分析】设直线l的方程，求出在x轴上的截距，根据截距范围列不等式求解即可.

【详解】设直线l的方程为，

令，，

得，解得或，

观察可得ACD符合.

故选：ACD.

10．已知直线：和圆：，下列说法正确的是（    ）

A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为

C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4 D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4

【答案】AD

【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.

【详解】由，得，

联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；

在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；

当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为6，此时直线方程为，故C错误；

设，易知P在圆内，当直线时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为

，故D正确.

故选：AD

11．长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（   ）

A．点在曲线内

B．直线与曲线没有公共点

C．曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上

D．曲线上有且仅有两个点到直线的距离为

【答案】ABC

【分析】直接法求得线段中点的轨迹为圆，再根据直线与圆的位置关系判断各选项.

【详解】设线段中点，则，，

故，即，表示以原点为圆心，为半径的圆，故C选项正确；

A选项，点满足在曲线内，A选项正确；

B选项，直线，即，圆心到直线的距离，故直线与圆无公共点，B选项正确；

D选项，圆心到直线的距离为，又，所得由三个点到直线的距离为，D选项错误；

故选：ABC.

12．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（   ）

A．若直线与准线交于点，则

B．对任意的直线，

C．的最小值为

D．以为直径的圆与轴公共点个数为偶数

【答案】ABC

【分析】先表示出点的坐标再将直线和抛物线联立可求出， 的关系，进而可以判断出选项，根据焦半径和均值不等式可判断出C选项的正误，求出以为直径的圆的圆心和半径可以确定D的正误.

【详解】对于A选项，两点在抛物线上，所以，

因为直线与准线交于点，所以直线为：，，

由得，所以

设直线 的方程为，联立 得，

所以，，所以，

即，所以，故A正确；

对于B选项，由A可知，故 B正确；

对于C选项，由B选项可知，，，

当且仅当，即时等号成立，故 C 正确；

对于D选项，设直线的方程为﹐

在抛物线上，所以，

 以为直径的圆的半径，

的中点坐标为，，

所以以为直径的圆与轴相切，所以，以为直径的圆与轴公共点个数为1，故D错误；

故选：ABC

三、填空题

13．若双曲线的一个焦点为，则实数__________．

【答案】3

【分析】根据双曲线方程即可得解.

【详解】双曲线的一个焦点为，

所以且，

所以.

故答案为：3

14．已知曲线：（）的焦点F与曲线：（）的右焦点重合，曲线与曲线交于A，B两点，曲线：（）与曲线交于C，D两点，若四边形的面积为，则曲线的离心率为___________．

【答案】##

【分析】设曲线与曲线在第一象限的交点为，则根据和可得，即，代入双曲线方程后可得，即可得到离心率.

【详解】设曲线与曲线在第一象限的交点为，

由对称性知，再由得，

故，故，

由于抛物线的焦点和双曲线的焦点重合，

故，

代入双曲线：（）得，

整理得，等式两边同时除以，

得，解得离心率.

故答案为：.

15．已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为. 若直线， 与轴交点的横坐标分别为，. 则它们的积为______.

【答案】

【分析】设 ，则 ，得到 AP和AQ的直线方程，分别令 求解.

【详解】因为椭圆，

所以椭圆的上顶点为，

设 ，则 ，

所以 AP的直线方程为 ，

令 ，得 ，即 ，

AQ的直线方程为 ，

令 得 ，即 ，

，

故答案为：3

16．如图，已知圆内切于圆，直线分别交圆、于、两点（、在第一象限内），过点作轴的平行线交圆于、两点，若点既是线段的中点，又是线段的三等分点，那么的值为___________.

【答案】

【分析】设圆、圆别交轴的正半轴于点、，连接、，分析出点为线段的中点，可得出，，利用相交弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】设圆、圆分别交轴的正半轴于点、，连接、，则，，

设直线的倾斜角为，则，

为的中点，则为的中点，则，故，即，

，

设线段交轴于点，则为的中点，

因为，故，

易知轴，则，故，

由相交弦定理可得，即，

所以，，故，所以，，

，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0．

(1)若圆C1与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；

(2)在（1）的条件下，若直线xy+n＝0被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值．

【答案】(1)m＝12

(2)n＝﹣1或﹣7

【分析】（1）分别求得两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，可得两圆的圆心距等于半径之和，解方程可得所求值；

（2）由直线和圆相交的弦长公式，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求值．

【详解】（1）解：圆C1：（x﹣1）2+y2＝1的圆心C1（1，0），半径r1＝1，

圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0的圆心C2（4，0），半径r2，

由圆C1与圆C2恰有3条公切线，可得两圆外切，

则|C1C2|＝r1+r2，即13，

解得m＝12：

（2）圆C2：x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为（4，0），半径为2，

由直线xy+n＝0被圆C2所截得的弦长为2，

可得2＝2（d为圆心C2到直线xy+n＝0的距离），

解得d，

则d，

解得n＝﹣1或﹣7．

18．已知的一条内角平分线的方程为，其中，．

(1)求顶点A的坐标；

(2)求的面积．

【答案】(1)点A的坐标为

(2)24

【分析】（1）先根据中点坐标公式以及直线垂直斜率的积等于，列方程组求出点关于直线的对称点的坐标，根据两点式或点斜式可得直线的方程，与角平分线的方程联立可得顶点A的坐标；

（2）根据两点间的距离公式可得的值，再利用点到直线距离公式可得到直线：的距离，由三角形面积公式可得结果.

【详解】（1）由题意可得，点关于直线的对称点在直线上，

则有解得，，即，

由和，得直线的方程为，

由得顶点A的坐标为．

（2），

到直线：的距离，

故的面积为．

19．已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D．

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；

（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】（1）（1），，∴，，，

∴；

（2）设，，则，CF：

联立

∴，∴

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

20．已知双曲线的实轴长为，、分别是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，连接、．当时，有成立．

(1)求双曲线的方程；

(2)若线段的中点为，过且与垂直的直线与交于点，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，求出点的坐标，利用已知条件可求得的值，即可得出双曲线的方程；

（2）求出点的坐标，可求得直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出点的横坐标，由求出，代入椭圆方程求得的值，即可求得点的坐标.

【详解】（1）解：因为双曲线实轴长为，所以，、，

当时，得，不妨取，，且，

由得，解得，，

所以双曲线的方程为.

（2）解：点M是线段BD的中点，则点

直线的斜率为，直线的斜率为，

又，则直线的方程为，即，

又直线的方程为，联立方程，

消去y化简整理，得，

又，代入消去，得，

解得，即点N的横坐标为，

则，由，得，

所以，，即，可得，解得，则，可得.

所以点．

21．在平面直角坐标系中，已知射线：，射线：（），过点作直线分别交射线、于、点．

(1)当的中点为时，求直线的方程；

(2)当线段的中点在直线上时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，，由为线段的中点可得，解出点坐标利用两点式求直线方程即可；

（2）设，，将线段的中点为代入解出的关系，再利用在直线上即可解出直线的直线方程.

【详解】（1）设，，

因为线段的中点为，所以，解得，

所以,

所以直线的方程为，即．

（2）设，，

线段的中点为在直线上，

所以，解得，

又直线过点，

所以．

所以直线的方程为．

22．设点P是圆上任意一点，由点P向x轴作垂线，垂足为，且．

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l：（）与（1）中的轨迹C交于不同的两点A，B．

（i）若直线，，的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

（ii）若以为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）证明见解析，定点

【分析】（1）设点，，则由题意知，再根据，解方程组即可得到，由于，代入化简即可得到答案.

（2）设，．联立直线与双曲线，求出，再写出韦达定理

（i）依题意，，即，化简得，解得．把代入中，即可解出m的取值范围.

（ii）曲线与x轴正半轴的交点为．依题意，，即．

带入坐标化简得，和韦达定理联立得

解得，或，代入直线中即可得到答案.

【详解】（1）设点，，则由题意知．

由，，且，得．

所以，于是，

又，所以．

所以，点M的轨迹C的方程为．

（2）设，．

联立，得．

所以，，即．①，且，

（i）依题意，，即，所以．

所以．

所以，即．

因为，所以，解得．

将得代入①，得．且，

所以，m的取值范围是．

（ii）曲线与x轴正半轴的交点为．

依题意，，即．

于是．

∴，即

∴，

化简，得．

解得，或，且均满足，

当时，直线l的方程为，直线过定点（舍去）；

当时，直线l的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点．