2024年新高考数学第一轮复习课件：第46讲　第1课时　变量的相关关系及线性回归模型

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1. 5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：则数学成绩与物理成绩之间(　 　)A. 是函数关系B. 是相关关系，但相关性很弱C. 具有较好的相关关系，且是正相关D. 具有较好的相关关系，且是负相关
2. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为(　 　)
3. (人A选必三P103习题1改)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　 　)　　 　　 (第3题)A. ①②③ B. ②③①C. ②①③ D. ①③②
【解析】 第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，是不相关．
4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：t)的几组对应数据：
1. 变量的相关关系(1) 相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2) 相关关系的分类：正相关和负相关．(3) 线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2. 样本相关系数(1) 相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
(2) 相关系数r的性质①当__________时，称成对样本数据______相关；当________0时，称成对样本数据______相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．②样本相关系数r的取值范围为________________.当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越______；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越______.
3. 一元线性回归模型
第1课时　变量的相关关系及线性回归模型
例1　(2022·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是(　 　)A. 利润率与人均销售额成正相关关系B. 利润率与人均销售额成负相关关系C. 利润率与人均销售额成正比例函数关系D. 利润率与人均销售额成反比例函数关系
【解析】 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．
判定两个变量相关性的方法(1) 画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2) 相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．
在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是(　 　)(变式)A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
【解析】 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.
例2　对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，下列关于其样本相关系数的比较，正确的是(　 　)　　 图(1)　　　　　　 图(2) 图(3)　　　　　　 图(4)(例2)A. r2【解析】 由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2【解析】 由题知，所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为1.
例3　2016年起，某地区创新开展产业发展，响应第三产业的发展政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示.
2016年经济收入构成比例　 　　　2020年经济收入构成比例(例3)(1) 根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入的变化情况；
【解答】 ①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加．②与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长．
(2) 求经济收入y关于x的经验回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
求经验回归方程的步骤：
　(2023·广东金太阳期初)2022年6月的某一周，某直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表.(1) 通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与天数t的关系，请用相关系数(系数精确到0.01)加以说明；
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t正线性相关，且相关强度很强，从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系．
(2) 利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.1)，并预测下一周第一天(即第8天)的交易额．
1. 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是(　 　)A. x与y正相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y负相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关
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【解析】 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．
2. 某公司2016～2021年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，则利润的中位数(　 　)A. 是16，x与y有正线性相关关系B. 是17，x与y有正线性相关关系C. 是17，x与y有负线性相关关系D. 是18，x与y有负线性相关关系
对于A，去除前变量x每增加1个单位，变量y大约增加2个单位，A错误；对于B，去除后剩余样本数据中x的平均数为2，B正确；对于D，去除了误差较大的样本数据后，线性相关性变强，因为y关于x正相关，则r>0，所以样本相关系数r变大，D正确．