2024年新高考数学第一轮复习课件：第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
展开1. (人A 选必一P91例1改)(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )A. 相切 B. 相离C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心
【解析】 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上.
4. (人A 选必一P98练习1改)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是( )A. 圆C1与圆C2相交 B. 圆C1与圆C2外切C. 两圆的圆心距为5 D. 两圆的圆心距为3
5. (多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )A. 两圆的圆心距|O1O2|＝2B. 直线AB的方程为x－y＋1＝0C. 圆O2上存在两点P和Q，使得|PQ|>|AB|
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，则圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
1. 直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2. 圆与圆的位置关系
|r1－r2|
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
(2) (2022·石家庄二模)(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( )A. 若圆C2与x轴相切，则m＝2B. 若m＝－3，则圆C1与圆C2相离C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0D. 直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
【解析】 由题知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；由两圆有公共弦，则两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交 点，故D正确．
1. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) d，r法；(2) Δ法；(3) 特殊点法(即直线过圆上或圆内一个，该直线与圆有公共点)．2. (1) 判断两圆位置关系用圆心距与半径和或差的大小关系(几何方法)；(2) 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到；(3) 两圆位置关系与公切线的条数
(1) 与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是( )
由C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，将圆C2和圆C1的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为2x＋1＝0.
例2 (1) (2022·青岛期末)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A. －8 B. －6 C. －4 D. －2
(2) (2022·新高考Ⅰ卷)与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的直线的方程 为______________________________________________.
1. 弦长的两种求法：
2. 过一点求圆的切线的方法：(2) 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
(1) (2022·泰州期末)若直线x－ay＋2a＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值为____________.
【解析】 对于A，当a≠0时，将原点代入圆的方程可得a2>0，则点O在圆C 外，故A正确；对于B，圆C化为标准方程即为(x－a)2＋(y－3)2＝9，则圆心C(a,3)，r＝3，显然圆心C到x轴的距离3等于半径，所以圆C与x轴相切，故B正确；
(2) (2022·南京二模)(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若a≠0，则点O在圆C外B. 圆C与x轴相切
从而2x1x2＋2y1y2＝2x1x2＋2(1－x1)(1－x2)＝4x1x2－2(x1＋x2)＋2＝2－2a，所以2－2a＝－a，得a＝2，符合题意．
1. 直线l：x＋y＝0被圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0截得的弦长为( )
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【解析】 将圆C的方程化为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则圆C的圆心为(3,2)，半径为4.
2. (2022·湛江二模)已知直线y＝kx(k<0)与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝11交于A，B两点，且|AB|＝6，则k的值为( )
3. 圆x2＋y2＋2x＋4y－15＝0的圆心到直线x－2y＝0的距离为________.
4. (2022·沈阳二模)若点P，Q分别是圆C：x2＋y2＝1与圆D：(x－7)2＋y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为______.
【解析】 因为|CD|＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ|的最小值为7－1－2＝4.
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