2022-2023学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若两个相似三角形的对应高的比为：，则它们对应周长的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5.  如图，在中，，若，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  口袋中放有只红球和只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线，若，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，，作出关于点成中心对称的，其中点对应点为，点对应点为，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算 ______ ．

12.  一元二次方程的解是______．

13.  如图，在中，，，与相交于点，若，则 ______ ．

14.  已知中，，是斜边上的中线，若，则 ______  ．

15.  一次围棋比赛中，小明和小红分别以、的胜率闯进决赛，在二人的对决中，小明的获胜概率______ 填“大”，“小”，“一样大”

16.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上，连接，则
与的位置关系是______ ；
求点的坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
利用如图所示的直角墙角两边足够长，用篱笆围成矩形花圃，已知篱笆、两边中，，所用篱笆总长为，若篱笆围成的矩形的面积为，求边的长．

20.  本小题分
从，，，四个数中任取一个数作点的横坐标，记为，再从余下的三个数中任取一个数作点的纵坐标，记为，则．
点坐标有几种等可能的结果？请用树状图或列表法表示出来；
求点落在轴上的概率．

21.  本小题分
关于的一元二次方程．
不解方程，判断该方程的根的情况；
设，是方程的两根，其中有一根不大于，若，求的最大值．

22.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：在上求作一点，使得；不写作法，保留作图痕迹
在作图的基础上，连接，求证：．

23.  本小题分
中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等如图的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．

求房屋内部宽度的长；
求点与屋面的距离．
以上结果均精确到米参考数值：，，

24.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段向点以的速度运动，同时动点从点出发，沿线段向点以的速度运动当其中一点到达端点时，两点同时停止运动以、为邻边作平行四边形设平行四边形与重叠部分的图形面积为，运动时间为．
当点落在线段上时，求的值；
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当四边形为菱形时，求的值．

25.  本小题分
如图，在等边中，为边上一点，且，则 ______ ；
如图，在中，，，为边上的一点，且，求的值；
如图，在中，，为边上的一点，且，试说明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，
解得，
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
将和之间的比值关系代入化简的结果即可．
本题考查的是比例的性质及分式的化简求值，熟练掌握该知识点是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故该选项错误，不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误，不符合题意；
C.与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意．
故选：．
根据合并同类二次根式，即可一一判定．
本题考查了二次根式的加减运算，准确判定是否是同类二次根式是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的对应高的比为：，
两个相似三角形的相似比为：，
它们对应周长的比为：，
故选：．
根据相似三角形对应高的比，周长的比等于相似比，即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据余弦的定义解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：取得黄球的概率，
所以随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小．
故选：．
计算出取得黄球的概率即可．
本题考查了可能性的大小：通过比较概率的大小确定可能性的大小．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
移项：，
左右两边加上一次项系数一半的平方：，
化简：．
故选：．
根据配方法的求解步骤，进行求解即可．
此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据，
，
，
解得，
，
故选：．
根据，得到，代入数值求出，即可求出的长．
此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接格点，．

由网格和勾股定理可求得；，，，
，
是直角三角形．
在中，．
，
，
，
故选：．
连接格点，根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正切，利用平行线的性质可得结论．
本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移到直角中，是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，

中，
，，．
，，
，
作出关于点成中心对称的，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积为，
故选：．
根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解．
本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的运算法则即可求解．
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
 

12.【答案】， 

【解析】解：或，
所以，．
故答案为：，．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
点是的重心，
，
，
．
故答案为：．
先判断出点是的重心，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到中点的距离倍求解即可．
本题考查了三角形的重心，主要利用了三角形的重心到顶点的距离等于到中点的距离倍的性质，是偏僻题目．
 

14.【答案】 

【解析】解：是斜边上的中线，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

15.【答案】一样大 

【解析】解：两人的对决中获胜的结果为：小明或小红，所以两人的获胜概率均为：，
故答案为：一样大．
根据概率的定义进行解题即可．
本题考查概率的定义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
 

16.【答案】平行  

【解析】解：如图所示，延长至，使得，连接，

绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上，
，，
，
，
，，
，

在和中，
，
≌，
，
，，
；
在和中，
，
≌，
，
，
，，三点共线，
．
故答案为：平行；
如图所示，过作于，过作于，

，
，
∽，
，，
，
设所在直线解析式为，
代入，，
得，
解得，

设，

在中，，
即，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可．
先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可．
此题考查的是坐标与图形变化旋转，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，综合性较强，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解．
 

17.【答案】解：方程，
因式分解得：，
可得：或，
解得：，． 

【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
 

18.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：设，依题意，得，
即，
解得，．
，
即，
解得，
不合舍去，则．
答：边长为． 

【解析】设，根据长方形的面积公式列出关于的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：画树状图如下：
，
点坐标所有等可能的结果有种．分别为：．
解：点落在轴上，即，
符合题意的点有，，共个，
点落在轴． 

【解析】画出树状图表示出来，即可求解；
根据点在轴上的性质，纵坐标为，得出点落在轴上的结果数，即可求解．
此题考查了树状图求解概率，解题的关键是熟练掌握概率求解方法．
 

21.【答案】解：，，，
，
，
该方程一定有实数根；
由原方程可得：，
解得，．
方程其中一根不大于，
．
又，
，
，
的最大值为． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式，即可判定；
首先可求得，，再根据其中有一根不大于，可得，据此即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：作法
作法
作法
所以点为所求作点；
证明：如图，
，
，
又，
，
即，
在与中，，，
∽，
，
即，
又，
． 

【解析】利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，
根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明∽即可．
本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：解：如图，过作，交于点，交于点．

则在中，米．
是等腰三角形，
米．
四边形是矩形，
米．
如图，过作，交于点．
在中，米．
在中，米，
米，
米，
即点到屋面的距离约为米． 

【解析】如图，过作，交于点，交于点运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答；
如图，过作，交于点再解直角三角形可得、，然后再根据求得，最后根据即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
当点落在线段上时，，

∽．
，
，
解得；
当时，作于，如图所示．

则．
，
∽，
，即，
解得．
重叠部分图形的面积．
当时，作于，如图所示．

由可知，，
∽，
，即，
解得，
重叠部分图形的面积为，
综上，与之间的函数关系式为：；
当四边形为菱形时，，如图，作于．

由可得，
则，
，
在中，，
即，
解得，舍去，
即当四边形为菱形时，． 

【解析】作出辅助线，构造相似三角形，通过边与边对应成比例求出边长之间的数量关系，直接求解即可．
分类讨论，不同的时间范围对应的重叠面积不同，直接代值计算即可．
利用勾股定理直接代值计算即可．
此题考查相似三角形，平行四边形动点问题，以及勾股定理，此题较为综合，计算量稍大，解题关键是将时间分类讨论，再求值．
 

25.【答案】 

【解析】解：在等边中，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
解：如图，过点分别作于，的延长线于点．

，
，
．
，，
，
．
在中，，
则在中，，
，即；
证明：如图，作边上的中线，并以为一边作，另一边与交于．

，
，．
，
．
又，，
，
，，
，即．
又，即，
，即．
通过角的大小关系可得到，利用三角函数即可得解；
过点分别作于，的延长线于点，通过条件证得，，根据角的大小关系求得，然后利用三角函数关系，并采用等量代换即可得解；
作边上的中线，并以为一边作，另一边与交于，通过条件证得，，通过角的大小关系得到，然后结合三角函数关系可得证．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．