2022-2023学年福建省泉州市德化县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市德化县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列事件为必然事件的是(    )

A. 购买二张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放极限挑战
C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 任意一个五边形的外角和等于

5.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

6.  如图，两条公路，恰好互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示的是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了在图中，杠杆的端被向上翘起，动力臂与阻力臂满足与相交于点，要把这块石头翘动，至少要将杠杆的点向下压(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示的是一个简易的三角形地板，，分别是边，的中点，一只小猫在地板上跑来跑去，并随机停留在某个地板砖上，那么小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为：，点，，在轴上，若，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

10.  计算______．

11.  下面是小明同学解方程的过程：
，，第一步，
第二步．
，第三步．
，第四步．
小明是从第        步开始出错．

12.  福建莆田湄洲岛是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海如图，创新小组为了测量一尊巨型妈祖石像的高度，他们设计并测量得到如下数据：测得，，米，已知，，在一条直线上，则妈祖石像的高度为        米
 

13.  如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点，若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，，，垂足分别是，，求证：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，在中，．
作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，要求：尺规作图，标明字母，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，求的长．

18.  本小题分
网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年月份与月份完成快递件数分别为万件和万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率：
如果每个快递小哥平均每月最多可投递万件，公司现有个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年月份的投递任务？

19.  本小题分
请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数，，使，，即，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
填空：        ．
化简：请写出计算过程．

20.  本小题分
如图，四边形为菱形，点在的延长线上，且．
求证：∽．
当，时，求的长．
在的条件下，求的面积．

21.  本小题分
问题情景：
如图，在中，，于点，于点，连接．
求证：∽．
若，，求的长．
拓展研究：
根据所求出的结果，猜想，以及之间的数量关系为        ．
实际应用：如图，在中，，，于点，于点，于点，求的周长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，熟记是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
故选：．
先读出的度数，再根据角的正弦值为即可得到答案．
本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知角的正弦值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、购买二张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放极限挑战，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：一元二次方程，
，
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：公路，互相垂直，
，
是直角三角形，
公路的中点与点被湖隔开，
若测得的长为，
，
即、两点间的距离为．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
∽，
，
，
，
，
至少要将杠杆的点向下压，
故选：．
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
∽，
，
小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是，
故选：．
先证明是的中位线，得到，接下来证明∽，得到由此即可得到答案．
本题主要考查了几何概率，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确理解题意得到小猫最终停留在灰色地板砖上的概率即为灰色区域面积在整个区域的占比是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
∽，
相似比为：，，
，
，
，
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
∽，，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故选：．
根据位似变换的性质得到∽，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接化简二次根式进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】一 

【解析】解：原方程化为：，
，，．
故答案为：一．
根据一元二次方程的解法步骤即可解答．
本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
米，
在中，，，
米，
故答案为：．
先利用三角形外角的性质得到，则米，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，求出米是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
为的中位线，
，
故答案为：．
延长，交于点，证明≌，得到，，求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题主要考查了是三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简二次根式，化简绝对值和计算特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

15.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
∽，
． 

【解析】只需要证明∽，即可证明．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
或，
解得，． 

【解析】利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求；

是线段的垂直平分线，
，，，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再解直角三角形求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为，
可得：，
解得：，舍，
答：月平均增长率为；
月份的快递件数为万件，
而，
不能完成今年月份的投递任务． 

【解析】设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为，根据“月份快递件数增长率月份快递件数”列出关于的方程，解之可得答案；
分别计算出月份的快递件数和名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；

首先把化为，这里，，
，，即，
．
利用完全平方公式化简得出答案；
利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形为菱形，
，，
，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，即，

解：过点作于，

四边形为菱形，
，
，
在中，，
，
，
的面积． 

【解析】根据菱形的性质得到，证得，即可得到结论；
根据相似三角形对应边成比例列得，代入数值计算即可；
过点作于，根据菱形的性质得到，求出，在中，勾股定理求出，再根据求出，即可得到的面积．
此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：，，
，，
，

，即
又，
∽；
，，
，
同理，，
，又，
∽，
，
；
猜想：．
证明：，
，
，
同理，，
∽，
，
；
，，，
，
由勾股定理得，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，，
，
同得，
的周长．
根据垂直及角的等量代换得出，再由正弦函数得出，利用相似三角形的判定证明即可；
根据直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质计算；
根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质求解即可；
根据的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解三角形的应用，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．