2023年江苏省宿迁市中考数学试卷

这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省宿迁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a﹣a＝1 B．a3•a2＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．（a2）4＝a6
4．（3分）已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（　　）
A．89 B．94 C．95 D．98
5．（3分）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
6．（3分）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，可列出方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+9
7．（3分）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
8．（3分）如图，直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线分别相交于点A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（　　）

A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：＝　 　．
10．（3分）港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 　 　．
11．（3分）分解因式：x2﹣2x＝　 　．
12．（3分）不等式x﹣2≤1的最大整数解是 　 　．
13．（3分）七边形的内角和是 　 　度．
14．（3分）平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称的点的坐标是 　 　．
15．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是 　 　cm．
16．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝　 　．

17．（3分）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝　 　．
18．（3分）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B（0，0）、C（1，0）．将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4；…以此类推，则点P99的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝CE．

22．（8分）为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表
活动名称
人数
A．课外阅读
40
B．社会实践
48
C．家务劳动
m
D．户外运动
n
E．其它活动
26
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是 　 　度；
（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．

23．（10分）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 　 　；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
24．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出对角线BD的长；
（2）尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）

25．（10分）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　 　．求证：　 　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．

26．（10分）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
27．（12分）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
28．（12分）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 　 　（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 　 　、　 　；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．

2023年江苏省宿迁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3分）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【解答】解：∵2+2＝4，
∴A不能构成三角形；
∵1+2＝3，
∴B不能构成三角形；
∵3+4＞5，4﹣3＜5，
∴C能构成三角形；
∵3+4＜8，
∴D不能构成三角形．
故答案为：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三边关系定理是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a﹣a＝1 B．a3•a2＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．（a2）4＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
【解答】解：A．2a﹣a＝a，故A不符合题意；
B．a3•a2＝a5，故B符合题意；
C．（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D．（a2）4＝a8，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则是解答的关键．
4．（3分）已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（　　）
A．89 B．94 C．95 D．98
【分析】将这组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把数据从小到大的顺序排列为：89，92，95，96，98，
∴中位数为95．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，可列出方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+9
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解答】解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
7．（3分）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
【分析】根据圆心到直线l的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可．
【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，
故选：B．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解决问题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线分别相交于点A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（　　）

A． B． C． D．1
【分析】根据已知可得四边形ABCD为矩形，O为中心，根据直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线的性质得BC＝，再根据四边形ABCD的面积为4，可得AB＝＝2，所以OA＝，设A（m，m+1），则m2+（m+1）2＝（）2，所以k＝m（m+1）＝m2+m＝．
【解答】解：如图，连接AC，设直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于点E，F，作OG⊥AB于点G，

则E（0，1），F（﹣1，0），
∴EF＝，
∴OG＝EF＝，
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝45°，
同理直线CD也与x轴正半轴的夹角为45°，
∴四边形ABCD为矩形，O为中心，
∴BC＝，
∵四边形ABCD的面积为4，
∴AB＝＝2，
∴AC＝＝，
∴OA＝，
设A（m，m+1），
∴m2+（m+1）2＝（）2，
∴2m2+2m+1＝，
∴m2+m＝，
∵点A在双曲线上，
∴k＝m（m+1）＝m2+m＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握矩形的性质以及一次函数和反比例函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：＝　2　．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10．（3分）港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 　5.5×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）分解因式：x2﹣2x＝　x（x﹣2）　．
【分析】提取公因式x，整理即可．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
12．（3分）不等式x﹣2≤1的最大整数解是 　3　．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【解答】解：移项，得：x≤1+2，
合并同类项，得：x≤3，
则不等式的最大整数解为3；
故答案为：3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13．（3分）七边形的内角和是 　900　度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，则七边形的内角和等于900度．
【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
14．（3分）平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点A（2，3）关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
15．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是 　6　cm．
【分析】设圆锥的母线长为xcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•2，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为xcm，
根据题意得＝2π•2，
解得x＝6，
即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝　　．

【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解题的关键．
17．（3分）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝　﹣1012　．
【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．
【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案为：﹣1012．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题关键．
18．（3分）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B（0，0）、C（1，0）．将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4；…以此类推，则点P99的坐标是 　　．

【分析】首先画出图形，发现旋转3次为一循环，由此得到点P99在射线CA延长线上，点P100在x轴正半轴上，然后利用旋转的性质得到CP99＝100，最后利用勾股定理和含30°角直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，画出前4次旋转后点P的位置，

由图象可得，点P1，P4在x轴正半轴上，
∴旋转3次为一个循环，
∵99÷3＝33，
∴点P99在射线CA延长线上，点P100在x轴正半轴上，
∵C（1，0），△ABC是正三角形，
∴由旋转的性质可得，AC＝CP1＝1，
∴BP1＝OC+CP1＝2，
∴P1（2，0），
∴BP2＝BP1＝2，
∴AP3＝AP2＝OP2+AO＝3，
∴CP4＝CP3＝CA+AP3＝3+1＝4，
∴BP4＝BC+CP4＝5，
∴P4（5，0），
∴同理可得，P7（8，0），P10（11，0），
∴P100（101，0），
∴BP100＝101，
∴CP100＝101﹣1＝100，
∴由旋转的性质可得，CP99＝100，
∴如图，过点P99作P99E⊥x轴于点E，

∵∠ACB＝60°，
∴∠EP99C＝30°，
∴EC＝P99C＝50，
∴EO＝EC﹣OC＝49，P99E＝＝，
∴点P99的坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确确定每次旋转后，点与旋转中心的距离是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：．
【分析】根据绝对值的性质，零指数幂的性质a0＝1（a≠0），特殊锐角三角函数的值进行计算即可．
【解答】解：原式＝，
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝CE．

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，即可解决问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
22．（8分）为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表
活动名称
人数
A．课外阅读
40
B．社会实践
48
C．家务劳动
m
D．户外运动
n
E．其它活动
26
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　24　，n＝　62　；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是 　72　度；
（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．

【分析】（1）由统计图表可知，“B”组有48人，占总人数的24%，由此可求出总人数，根据“D”组占31%，可求出n的值，再由总人数减去“A、B、D、E”组的人数即可求出m的值；
（2）用360°乘“A”所占比例即可得到答案；
（3）用该校九年级人数乘样本中周末参加家务劳动的人数所占的百分比即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：48÷24%＝200（人），
则n＝200×31%＝62（人），
m＝200﹣40﹣48﹣62﹣26＝24（人）；
故答案为：24，62；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）800×＝96（人），
答：该校九年级周末参加家务劳动的人数约有96人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（10分）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 　　；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
【分析】（1）共有5名学生，随机选取1名，每个人被选中的可能性是均等的，根据概率的定义即可求出答案；
（2）用树状图法列举出等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）共有5名学生，随机选取1名，每个人被选中的可能性是均等的，
所以女生D被选中的概率为，
故答案为：；
（2）用树状图法列举出等可能出现的结果如下：

共有20种等可能出现的结果，其中选择的两人1男1女有12种，
所以选2名选手恰有1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是正确解答的关键．
24．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出对角线BD的长；
（2）尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】（1）连接BD，过D作DH⊥AB于H，依据等腰直角三角形以及勾股定理，即可得到BD的长；
（2）以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于E；分别以B，E为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线AF，交DC于G，则AG即为折痕．
【解答】解：（1）如图所示，连接BD，过D作DH⊥AB于H，

∵∠A＝45°，∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝45°＝∠A，
∴△ADH是等腰直角三角形，
又∵，
∴AH＝DH＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣3＝2，
∴Rt△BDH中，BD＝＝；
（2）如图所示，AG即为所求．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．
25．（10分）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．

【分析】（1）若选择：①作为条件，②作为结论，先根据切线的性质可得∠ODE＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠AED＝90°，即可解答；
若选择：②作为条件，①作为结论，先根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答；
（2）连接OF，DF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形性质可得BD＝3，AD＝3，再利用角平分线的定义可得∠EAD＝∠DAB＝30°，从而在Rt△AED中，利用含30度角的直角三角形性质可得DE＝，AE＝，然后利用圆周角定理可得∠DOB＝∠DOF＝60°，从而可得△DOF都是等边三角形，进而可得∠DOB＝∠ODF＝60°，再利用平行线的判定可得DF∥AB，从而可得△ADF的面积＝△ODF的面积，最后根据阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，
证明：连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
若选择：②作为条件，①作为结论，
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，
证明：连接OD，

∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥DO，
∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；
（2）连接OF，DF，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB＝30°，
在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，
∵∠EAD＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，
∵OD＝OF，
∴△DOF都是等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠DOB＝∠ODF＝60°，
∴DF∥AB，
∴△ADF的面积＝△ODF的面积，
∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积
＝AE•DE﹣
＝××﹣
＝﹣
＝，
∴阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（10分）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与m的函数关系式，然后根据A种商品售价不低于B种商品售价，可以得到m的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30﹣m≥24，
解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
27．（12分）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【分析】【问题背景】证△AEB∽△CED，得＝，即可解决问题；
【活动探究】过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，证△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，得＝，＝，再由BE1＝BD﹣DE1＝8m，BE2＝BD﹣DE2＝6.6m，然后求出GB、AB的长，即可解决问题；
【应用拓展】过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，证△DCN∽△ABM，得＝，再由锐角三角函数定义得tan∠ABM＝＝，设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，进而由勾股定理求出a＝0.8m，然后由相似三角形的性质得＝，即可解决问题．
【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，
∵∠CEF＝∠AEF，
∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，
即∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴＝，
∴AB＝＝＝17（m），
答：建筑物AB的高度为17m；
【活动探究】
如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，

由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，
∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，
∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，
即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，
∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，
∴＝，＝，
∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），
∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），
∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），
答：这个广告牌AG的高度为3.5m；
【应用拓展】
如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，

由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，
∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，
∵∠BAM＝∠GAD，
∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，
即∠ABM＝∠ADG，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，
∴∠CDN＝∠DAG，
∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，
即∠DCN＝∠ADG，
∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，
∴△DCN∽△ABM，
∴＝，
由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），
∵tan∠ADG＝，
∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，
设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，
∵CN2+DN2＝CD2，
∴（）2+a2＝1.72，
解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），
∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），
∴＝，
∴AB＝，
同【问题背景】得：△BME∽△CNE，
∴＝，
∴＝，
解得：b＝（m），
∴AB＝×≈20（m），
答：信号塔AB的高度约为20m．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（12分）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 　②　（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 　　、　　；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
【分析】（1）分别验证三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3的交点个数；
（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②由2x2﹣5x+2＝﹣得2x3﹣5x2+2x+1＝0，因式分解法解方程，左边一定有因式（x﹣1）；
（3）数形结合，对函数y1＝|x﹣m|进行分段．
【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，
∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；

（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②∵2x2﹣5x+2＝﹣，
∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，
∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，
∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，
∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0，
∴x＝或x＝．
故答案为：，．
（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，
x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，
∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，
∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．

【点评】本题在新定义下考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与方程的关系．解三次方程2x3﹣5x2+2x+1＝0时用因式分解法，关键是知道左边一定有因式（x﹣1）．第（3）问利用数形结合，对函数y1＝|x﹣m|进行分段．
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