人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明教课课件ppt
展开同位角相等,两直线平行.
内错角相等,两直线平行.
同旁内角互补,两直线平行.
1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.
2.能用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.
前面我们学习了平行线的判定方法和平行线的性质,实际上,在实际应用中,两者是相互结合使用的,下面我们就来看看应用平行线的判定和性质能解决哪些问题吧!
例1如图,在三角形 ABC 中,D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点,∠ADE=60°,∠B = 60°,∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行吗?为什么?
解:(1) DE∥BC. 理由如下: ∵ ∠ADE=60°,∠B = 60°, ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等,两直线平行)
知识点: 平行线的性质和判定及其综合应用
例1如图,在三角形 ABC 中,D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点,∠ADE=60°,∠B = 60°,∠AED=40°. (2)∠C 是多少度?为什么?
解:(2) ∠C =40°. 理由如下: 由(1)得 DE∥BC, ∴ ∠C=∠AED. (两直线平行,同位角相等) 又∵∠AED=40°, ∴ ∠C=∠AED =40°.
例2如图,AB∥CD,猜想∠A、∠P 与∠PCD 之间的关系,并说明理由.
解:如图,过点C作CE ∥ AP,交AB于点E.∴ ∠AEC=∠A,∠PCE =∠P,∴ ∠A+∠P=∠AEC+∠PCE.∵AB∥CD, ∴ ∠ECD=∠AEC.∴∠A+∠P =∠ECD+∠PCE=∠PCD.
还有其他作辅助线的方法吗?
解:如图,过点P作PE ∥ AB.∵AB∥CD,∴ PE ∥ AB ∥CD.∴∠EPC=∠PCD,∠APE =∠A.∴ ∠APE+∠APC=∠EPC= ∠PCD,∴∠A+∠APC = ∠PCD.
例3如图,若 AB//CD,你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗?说说你的看法.
解:如图,过点 E 作 EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF =∠DEB, 即∠B+∠D=∠DEB.
当AB与CD之间有一个拐点时:∠A+∠C= ∠E.
模型总结1:如图,AB∥CD,则:
当AB与CD之间有两个拐点时:∠A+∠F= ∠E +∠D.
当AB与CD之间有三个拐点时:∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2.
模型总结1:如图,AB∥CD,则:
思考:如下图,你能找到∠A,∠F1 ,∠F2 ,… , ∠Fn-1与∠E1 ,E2 ,…,∠Em-1,∠D之间的关系吗?
∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D
解:过点 E 作 EF//AB. ∴∠B+∠BEF=180°. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠D +∠DEF=180°, ∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF =360°,即∠B+∠D+∠DEB=360°.
例 4 如图,AB//CD,试说明∠B+∠D +∠DEB=360°.
模型总结2:如图,AB∥CD,则:
当有一个拐点时: ∠A+∠E+∠C= 360°.
当有两个拐点时: ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°.
当有三个拐点时:∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°.
当有 n 个拐点时: ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°.
思考:若有 n 个拐点,你能找到规律吗?
如图,已知∠BEF+∠EFD=180°,EM 平分∠BEF,FN 平分∠EFC.求证:∠M =∠N.
证明:∵ ∠BEF+∠EFD =180°(已知),∴ AB//CD (同旁内角互补,两直线平行),∴ ∠BEF=∠EFC (两直线平行,内错角相等).∵ EM 平分∠BEF,FN 平分∠EFC (已知),
此题求解思路的构建用到了“综合分析法” 详见《教材帮》数学RJ七下5.3节方法帮.
1.如图,如果∠1=∠3,∠2= 60°,那么,∠4的度数为( )A.60°B.100°C.120°D.130°
2.如图,点 E,F 分别在直线 AB,CD 上,点 G,H 在两直线之间,线段 EF 与 GH 相交于点 O,且有∠AEF + ∠CFE=180° ,∠AEF-∠1=∠2,则在图中相等的角共有( )A.5对B.6对C.7对D.8对
解析:∵∠AEF+∠CFE=180°,∴AB//CD,∴∠AEF =∠DFE,∠BEF=∠CFE.∵ ∠AEF-∠1=∠2,∠AEF-∠1=∠AEG,∴ ∠AEG=∠2.∴ ∠1=∠EFH,∠BEG =∠CFH.∴ GE//FH,∴ ∠G=∠H.又∠EOG =∠FOH, ∠EOH=∠GOF,∴ 图中相等的角共有 8 对.
2.如图,点 E,F 分别在直线 AB,CD 上,点 G,H 在两直线之间,线段 EF 与 GH 相交于点 O,且有∠AEF + ∠CFE=180° ,∠AEF-∠1=∠2,则在图中相等的角共有( )A.5对B.6对C.7对D.8对
3.把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 82.5°
解析:如图,过点 E 作 EF//AB,∵ AB//CD,∴ EF//CD,∴ ∠AEF =∠A=45°,∠FEC =∠C =30°,∴ ∠1=∠AEF +∠FEC =45°+30°=75°.
解: ∵ AB//CF,∠ABC =70°,∴ ∠BCF=∠ABC= 70°.∵ DE//CF,∴ ∠DCF+∠CDE =180°. 又∠CDE =130°,∴ ∠DCF =50°,∴ ∠BCD =∠BCF -∠DCF =70°- 50° =20°.
1.如图,已知 AB//DE//CF,若∠ABC= 70°,∠CDE= 130°,则∠BCD = .
2.如图,MN,EF 表示两面互相平行的镜面,光线 AB 照射到镜面 MN 上,反射光线为 BC,此时∠1=∠2;光线 BC 经过镜面 EF 反射后的光线为 CD,此时∠3=∠4.试判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由.
判断两直线的位置关系,一般考虑平行或垂直,观察图形猜想AB∥CD.
解:AB//CD.理由如下:∵ MN//EF(已知), ∴ ∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).∵ ∠1=∠2,∠3=∠4(已知),∴ ∠1=∠2=∠3=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4.∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°, ∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质),∴ ∠ABC=∠BCD(等量代换).∴ AB//CD(内错角相等,两直线平行).
∠P+∠A+∠C=360°
3.如图,AB//CD,分别探究下面四个图中∠P 与∠A,∠C之间的关系.
解:∠APC+∠A=∠C.理由如下:过点 P 作 PE//AB,则∠EPA+∠A=180°.∵ ∠EPA=∠APC+∠1,∴ ∠APC+∠1+∠A=180°,∴ ∠APC+∠A=180°-∠1.∵ AB//CD,∴ PE//CD, ∴ ∠1+∠C=180°,∴ ∠C= 180°-∠1.∴ ∠APC+∠A=∠C.
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