初一数学秋季讲义 第13讲 平行线的性质及判定

            猩猩最讨厌什么线？

【例1】         ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（    ）

A．同位角相等   B．内错角相等   C．同旁内角互补   D．以上都不对

⑵ 和是同旁内角，若，则的度数是（    ）

A．   B．   C．或   D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（    ）

A．∵，∴

B．∵，∴

C．∵，∴

D．∵，∴

(北京三帆中学期中)

⑷ 如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（    ）

A．50°　　　B．40°　　　C．150°　　　D．130°

(北京101中期中)

⑸ 如图，直线，，为垂足，如果 

，则的度数是（    ）

A．  B．  C．  D．

   (北京八中期中)

⑹ 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______

   (北京八十中期中)

⑺ 如图，和互补，那么图中平行的直线有（    ）

A．   B．   C．   D．

(北京十三分期中)

⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

(北京十三分期中)

⑼ 如图，直线，，，那么的度数是        ．

(北京一六一中期中)

⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于          ．

(北京一六一中期中)

【解析】     ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.

【铺垫】多选题：下列说法错误的有（           ）

A：不相交的两条直线是平行线．

B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

C：三条直线、、．若，，则；同理，若，，则．

D：已知的两边与的两边平行，若，则．

E：若，，则．理由是等量代换．

F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．

G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．

【解析】       ABCDEF  

【例2】         ⑴ 如图，,,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵，

∴（                               ）．

∵，

∴            （等量代换）．

∴         （同旁内角互补，两直线平行）．

∴（                               ）．

（北京市海淀区期末）

⑵ 填空，完成下列说理过程.

如图，平分交于点，，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.

解：∵平分，        

∴∠3＝∠      （                          ）

∵=       °，且，

∴∠1＋∠2＝90°.

又∵∠1＋∠3＝90°，

∴∠2＝∠3. （                          ）

∴∠2＝∠4.

（北京市朝阳区期末）

⑶ 如图,已知，，求度数．

解：∵（        　     ），

∴      （        　     ），

      （        　     ）

又∵（        　     ）

∴      （        　     ）

      （        　     ）

∴（        　     ）

∴      （        　     ）

【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．

【解析】       ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等

⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等

⑶ 已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．

【例3】         ⑴ 如图，已知直线， ，，则 

的度数为        度．

⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的

条件：                   .

⑶ 如图，点在的延长线上，给出下列条件：

① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；

⑥ ；⑦ .

能说明的条件有           .

⑷ 如图，直线分别与直线、相交于点、，

已知，平分交直线于点．

则（    ）

A．    B．    

C．     D．

【解析】 ⑴ ∵，（已知），

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∴（对顶角相等）．

∵（已知），

∴（三角形内角和）．

⑵ （）等（答案不唯一）

⑶ ②④⑤；   ⑷ A．

【例4】         ⑴ 已知：如图1，平分，，，求．

⑵ 已知：如图2，，和互余，于．求证：．

 (北京八中期中)

图1                                  图2

【解析】       ⑴ ∵

∴

∵CD平分

∴

⑵ 证明：∵（已知）

∴（同位角相等，两直线平行）

又∵（已知）

∴（两直线平行，同位角相等）

∴（平角定义）

又∵（已知）

∴（等量代换）

∴（内错角相等，两直线平行）

【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果，则的度数是        .

⑵如图2，把一张四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，，，则     .

⑶如图3，直线、分别和、相交，若与互余，与的余角互补，， 那么      .

图1                图2                 图3

⑷如右图，已知，，，，

则      .

【解析】       ⑴50°；⑵150°；⑶70°；⑷70°.

【备选2】已知，如图，于，于，．求证：.

【解析】       ，，∵

∴

∴（同旁内角互补，两直线平行）

【备选3】如图，已知、分别垂直于、，且，，求证：.

【解析】       ∵、分别垂直于、

∴

∴（两直线平行，同位角相等）

（垂直的定义）

∴

∴（内错角相等，两直线平行）

【备选4】如图，已知，，试判断与的大

小关系，并对结论进行证明．

【解析】       法一：∵，∴

∴，∴

∵，∴

∴，∴

法二：延长，找的同位角，证出，再找的内错角，证出即可．

【例5】         如图，已知：，直线分别交、于点、，

、分别平分、. 求证：．

从本题我能得到的结论是：

【解析】       ∵，∴

又∵、分别平分、

∴，∴

从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.

引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；

两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.

【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（    ）

①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线.

A．①②    B．③④    C．①⑤    D．②⑤

【解析】       D. 在同一条直线上的是①，位置关系是平行的是③④.

【例6】         已知：如图,点为其内部任意一点，

求证：．

【解析】       过点作,

∵,（已知）

∴（平行于同一条直线的两直线平行）

∵,（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵,（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵

∴（等量代换）

【例7】         如图，已知，，，

求的度数．

【解析】       过点作．

∵且（已知）

∴（平行于同一条直线的两直线平行）

∵且（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵且（已知）

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∴

【拓展】如图所示，已知直线，直线和直线、交于、两点，在、之间有一点，如果点在、之间运动，问、、之间有怎样的关系？

这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.

【解析】       . 关系不变.

提示：过点做直线.

【例8】         如图，已知，，

，求的度数．

【解析】       如图延长交直线于点

∵，（已知）

（对顶角相等）

∴（等量代换）

∴，（同旁内角互补，两直线平行）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵，（已知）

∴（等量代换）

∴，（同位角相等，两直线平行）

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∵，

∴

【点评】通过辅助线将相关角联系起来.

训练1.  已知的两边，分别与的两边，平行，问与有何关   

系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？

【解析】       与相等或互补.

证明：根据同向与反向平行，可以分四种情况，如下图所示.

⑴ 若，分别与，，同向平行，如图(1)，则；

⑵ 若，分别与，，反向平行，如图(2)，则；

⑶若与同向平行，与反向平行，如图(3)，则，，；

⑷ 若与反向平行，与同向平行，如图(4)，得；

综上所述，当与两边分别对应平行时，与或者相等，或者互补.

从本题我能得到的结论是：  若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 

训练2.  如图，,,,则         ．

【解析】       60°

训练3.　已知：如图，、被所截，平分，

平分，且．

证明：．

【解析】       ∵平分，平分（已知），

∴,（角平分线性质）．

又∵（已知），

∴（等量代换）．

∴．

即

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

训练4.  已知：如图，于点，于点，．

证明：平分．

【解析】       ∵且（已知）

∴（垂直于同一条直线的两直线平行）

∴（两直线平行，内错角相等）

（两直线平行，同位角相等）

又∵（已知）

∴（等量代换）

∴平分.

题型一  平行线的定义、性质及判定 巩固练习

【练习1】   已知如图，，，与平行吗？为什么？

【解析】       ∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）

∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）

∴（平行于同一条直线的两直线平行）

【练习2】   ⑴ 如图1，，，，则的度数是    ．

⑵ 如图2，直线与直线，相交．若，，则的度数是    ．

⑶ 如图3，直线，，，则的度数为（    ）

A．    B．    C．    D．

【解析】       ⑴ ；⑵ ；⑶ C．

【练习3】   ⑴ 已知：如图1，，，，求证：．

 (北京三帆中学期中)

证明：∵，（已知）

∴

∴     （                         ）

又∵（已知）

∴          （                        ）

∴            （                    ）

∴（    ）

⑵ 如图2，，，．将求的过程填写完整．

(北京四中期中)

解：∵，

∴        （                               ）

又∵

∴（                                ）

∴      （                                      ）

∴      （                             ）

又∵

∴      ．

【解析】 ⑴；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；

平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．

⑵；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；;

两直线平行，同旁内角互补；110°．

【练习4】   如图，已知，平分，平分，

，求证：．

【解析】 ∵平分，平分，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，即

题型二  基本模型中平行线的证明  巩固练习

【练习5】   已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：.

【解析】       如图过点做,

∵

∴,

∵

∴

∴

又∵

∴