2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案

专题十三  推理与证明

第三十九讲  数学归纳法

答案部分

1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当时，

假设时，，

那么时，若，则，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因为

所以得

由得

所以

故

综上， ．

2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，，即．

令，得，即．  ①

（Ⅱ）；；

．

由此推测： ．  ②

下面用数学归纳法证明②．

（1）当时，左边右边，②成立．

（2）假设当时，②成立，即．

当时，，由归纳假设可得

．

所以当时，②也成立．

根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．

（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得

，即．

3．【解析】（Ⅰ）由已知，得

于是

所以

故

（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，

即，类似可得

，

，

.

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.

令，可得().

所以()．

4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明

（1）当时，，原不等式成立。

（2）假设时，不等式成立

当时，

所以时，原不等式成立。

综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。

（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。

（1）当时由假设知成立。

（2）假设时，不等式成立

由易知

当时

由得

由（Ⅰ）中的结论得

因此，即

所以当时，不等式也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。

再由得，即

综上所述，

证法2：设，则，并且

，

由此可见，在上单调递增，因而当时。

（1）当时由，即可知

，

并且，从而

故当时，不等式成立。

      （2）假设时，不等式成立，则

当时，即有，

所以当时原不等式也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。

5．【解析】：（Ⅰ）解法一：

再由题设条件知

从而是首项为0公差为1的等差数列，

故=，即

解法二：

可写为.因此猜想.

下用数学归纳法证明上式：

当时结论显然成立.

假设时结论成立，即.则

这就是说，当时结论成立.

所以

（Ⅱ）解法一：设，则.

令，即，解得.

下用数学归纳法证明加强命题：

当时，，所以，结论成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即

再由在上为减函数得.

故，因此，这就是说，当时结论成立.

综上，符合条件的存在，其中一个值为.

解法二：设，则

先证：…………………………①

当时，结论明显成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即这就是说，当时结论成立，故①成立.

再证：………………………………②

当时，，有，即当时结论②成立

假设时，结论成立，即

由①及在上为减函数，得

这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.

由②得，即

因此

又由①、②及在上为减函数得，即

所以解得.

综上，由②③④知存在使对一切成立.

6．【解析】（Ⅰ），令，解得.

当时，，所以在内是减函数；

当 时，，所以在内是增函数.

故函数在处取得最小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即   ①

若，中有一个为0，则成立；

若，均不为0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

综上，对，，为正有理数且，总有.   ②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设为非负实数，为正有理数.

若，则.            ③

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，有，③成立.

（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，

且，则.

当时，已知为非负实数，为正有理数，

且，此时，即，于是

=.

因，由归纳假设可得

，

从而.

又因，由②得

，

从而．

故当时，③成立．

由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.

7．【解析】（Ⅰ）由，而，

的一个零点，且在（1，2）内有零点。

因此至少有两个零点。

解法1：记则

当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，

所以，

当单调递减，而内无零点；

当单调递减，而内无零点；

当单调递增，而内至多只有一个零点。

从而内至多只有一个零点。

综上所述，有且只有两个零点。

解法2：由，则

当从而上单调递增，

则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。

综上所述，有且只有两个零点。

（Ⅱ）记的正零点为

   （1）当

而

由此猜测：。下面用数学归纳法证明。

①当显然成立。

②假设当时，由

因此，当成立。

故对任意的成立。

   （2）当，由（I）知，上单调递增，则，

即，

由此猜测：，下面用数学归纳法证明，

①当显然成立。

②假设当成立，则当时，

由

因此，当成立，

故对任意的成立

综上所述，存在常数，使得对于任意的