2024届高考数学第一轮复习：文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案

专题四 三角函数与解三角形

第十一讲 三角函数的综合应用

答案部分

1．D【解析】，当 时，，时，，无零点，排除A,B；当时，，时，，有零点，排除C．故选D．

2．B【解析】，因为，所以当 时，取得最大值为，故选B．

3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．

4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当或时，，而由两个值，故C错误，选D．

5．B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．

6．C【解析】由题意知，，当时，

；当时，，故选C．

7．【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以

．

8．4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：

，

，

则：

，

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是.

9．；1【解析】，所以

10．【解析】∵，∴，∴，∵，

∴．

11．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．

过作⊥于，则∥，所以，

故，，

则矩形的面积为，

的面积为．

过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．

令，则，．

当时，才能作出满足条件的矩形，

所以的取值范围是．

答：矩形的面积为平方米，的面积为

，的取值范围是．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，

则年总产值为

，．

设，，

则．

令，得，

当时，，所以为增函数；

当时，，所以为减函数，

因此，当时，取到最大值．

答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

12．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，

所以平面平面，．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为，．

所以，从而．

记与水平的交点为，过作，为垂足，

则平面，故，

从而．

答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.

( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，，是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，⊥平面 ，

所以平面⊥平面，⊥.

同理，平面⊥平面，⊥.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

过作⊥，为垂足， 则==32.

因为= 14，= 62，

所以= ，从而.

设则.

因为，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因为，所以.

于是

.

记与水面的交点为，过作，为垂足，则 ⊥平面，故=12，从而 =.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

13．【解析】（Ⅰ）由题意

．

由，可得；

由，得；

所以的单调递增区间是；

单调递减区间是．

（Ⅱ），，

由题意是锐角，所以．

由余弦定理：，

，且当时成立．

．面积最大值为．

14．【解析】（Ⅰ）因为，

又，所以，，

当时，；当时，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为

（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.

由（1）得，

所以，即，

又，因此，即，

故在10时至18时实验室需要降温.

15．【解析】：（1）成等差数列，

由正弦定理得

（2）成等比数列，

由余弦定理得

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

即，所以的最小值为

16．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得

又曲线的一个对称中心为，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

（Ⅱ）当时，，

所以

问题转化为方程在内是否有解

设，

则

因为，所以，在内单调递增

又，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，

即存在唯一的满足题意

（Ⅲ）依题意，，令

当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，

现研究时方程解的情况

令，

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

，令，得或

当变化时，和变化情况如下表

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以

综上，当，时，函数在内恰有个零点．