【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：8.2.1随机变量及其分布列 讲义

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知识精讲
知识点01 随机变量的概念
概念：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一
确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量
表示：随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，…表示
取值：随机变量的取值由随机试验的结果决定
取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围
分类：离散型随机变量：随机变量的所有可能取值可以一一列举出来
连续型随机变量：随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来
注意：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.
注意：在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件.
【即学即练1】（2021·浙江浙江·）设在30件产品中有3件是次品，其中A表示“随机地抽取1件是次品”，B表示“随机地抽取4件都是次品”，则A是__________事件，B是__________事件.
【答案】 随机 不可能
【解析】结合随机事件及不可能事件的概念即可得解.
【详解】解：随机地抽取1件是次品是随机事件；由于在30件产品中有3件是次品，所以随机地抽取4件都是次品是不可能事件.故答案为：随机；不可能.
【点睛】本题考查了随机事件及不可能事件的概念，属基础题.
【即学即练2】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高二期中（理））袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数D．取到球的个数
【答案】C
【分析】由随机变量的含义可知.
【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
知识点02 离散型随机变量
定义∶取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量.
注意：离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如取值为1，2，…，n，…
离散型随机变量的特征∶
（1）可用数值表示；
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；
（3）试验之前不能确定取何值；
（4）试验结果能一一列出.
2. 连续型随机变量∶与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个区间.
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）①某座大桥一天经过的车辆数为X；
②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；
③一天之内的温度为X；
④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.
上述问题中的X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.
【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，
②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，
③一天之内的温度是连续型变量，
④一次射击中的得分是可一一列举，
由离散随机变量的定义知：①②④.
故选：B
【即学即练4】（2022·山东·高二阶段练习）下列X是离散型随机变量的是（ ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④B．①②④
C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，
故选：B.
知识点03 离散型随机变量的分布列
1.定义∶一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2……xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率p（X=xk） =pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示.
此表称为X的概率分布或分布列.
性质∶
(1)pk≥0，k=1,2，3...，n;
(2)k=1npk=p1+p2+...+pn=1
注意：(1)pi表示的是事件X=xi∶发生的概率，因此每一个pi都是非负数；
(2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1+p2+...+pn应该等于1；
另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
【即学即练5】（2022·江苏·金沙中学）已知离散型随机变量X的分布列如表：
则实数c等于（ ）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】A
【分析】根据概率之和等于1，列方程求解即可.
【详解】解：由题可知0.1+0.24+0.36+c=1，解得c=0.3.故选：A.
【即学即练6】（2022·河北沧州·）已知随机变量X的分布列如表所示，其中a,b,c成等差数列，则abc的最大值是（ ）
A．19B．116C．127D．132
【答案】C
【分析】由题设条件可得b=13,a+c=23，再利用均值不等式即可求解
【详解】由分布列的性质得，a+b+c=1，又a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，所以b=13,a+c=23，所以abc=13ac⩽13a+c22=127，当且仅当a=c=13时等号成立，所以abc的最大值是127.
故选：C.
知识点04 两点分布与伯努利试验
1.两点分布∶如果随机变量X的分布列为
则这个随机变量服从参数为p的两点分布（或0- 1分布）.
2.伯努利试验∶一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.
两点分布也常称为伯努利分布，p常常被称为成功概率.
注意：
(1)两点分布中，随机试验X的取值只有两个可能性∶0或1，且其概率之和为1；
(2)由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率.
【即学即练7】（2022·全国·）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）．
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】CD
【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.
【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；
某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．
故选：CD
【即学即练8】（2022·全国·高二课时练习）下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是______．
①某运动员射击一次，击中目标的次数为随机变量X；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X；
③抛掷一颗骰子，所得点数为随机变量X；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=1，取出白球；X=0，取出红球．
【答案】③
【分析】分析随机变量X的可能取值是否为两种情况，从而作出判断.
【详解】伯努利型分布即两点分布，
其中①某运动员射击一次，击中目标的次数有两种可能，故为伯努利型；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为两种可能，故为伯努利型；
③抛掷一颗骰子，所得点数可能为1,2,3,4,5,6，故不是伯努利型；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=1，取出白球；X=0，取出红球，两种可能，故为伯努利型.
故答案为：③
能力拓展
◆考点01 判断随机试验中的随机变量
【典例1】（2022·江苏·）（多选）如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数B．ξ取所有可能值的概率之和是1
C．ξ的取值与自然数一一对应D．ξ的取值是实数
【答案】ABD
【分析】根据随机变量及其分布列性质即可判断.
【详解】根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；
ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；
ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】此题考查随机变量概念辨析，需要数量掌握随机变量及其分布列的性质，根据性质辨析得解.
【典例2】（2022·全国·高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）最大号码数ξ可取3、4、5，分析可得试验的结果；
（2）呼叫次数η可取0、1、2、…、n，即得答案.
(1)最大号码数ξ可取3、4、5，
ξ=3，表示取出的3个球的编号为：1、2、3，
ξ=4，表示取出的3个球的编号为：1、2、4或1、3、4或2、3、4，
ξ=5，表示取出的3个球的编号为：
1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5；
(2)某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η可取0、1、2、…、n，n∈N+，
表示被呼叫i次，其中i=0、1、2、….
【典例3】（2022·全国·）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故ξ=3表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
◆考点02 由离散型随机变量的分布列求概率
【典例4】（2023·全国·）袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率.
【答案】分布列见解析；至少有一个红球的概率为2328
【分析】由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，分别求解PX=0，PX=1，PX=2，PX=3，由此能求出X的概率分布，进而求得至少有一个红球的概率.
【详解】由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，
PX=0=C30C53C83=1056=528，PX=1=C31C52C83=3056=1528，PX=2=C32C51C83=1556，PX=3=C33C50C83=156
所以X的概率分布如下表：
设“求至少有一个红球的概率”为事件M，则PM=PX≥1=1−PX=0=1−528=2328，
故求至少有一个红球的概率为2328.
【典例5】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知随机变量X的分布列如表所示：若Y=2X+1，则P(Y=3)的值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】A
【分析】利用Y=2X+1，求出X的值，根据随机变量X的分布列即可求解.
【详解】解：因为Y=2X+1，则当Y=3时，X=1，所以P(Y=3)=P(X=1)=0.1.
故选：A.
◆考点03 两点分布的分布列
【典例6】（2022·全国·高二课时练习）对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”．定义X=1,A发生0，A发生，如果PA=p，那么X的分布为______．
【答案】011−pp
【分析】根据两点分布的定义即可得到结果.
【详解】由题意可知，因为PA=p，则PA=1−p故答案为:011−pp
【典例7】（2022·全国·高二课时练习）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X=0,两球全是白球,1,两球不全是白球,求X的分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】由X服从两点分布求解.
【详解】解：由题设知X服从两点分布，且PX=0=C52C152=221，PX=1=1−PX=0=1921．
所以X的分布列为
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia（i=1，2，3，4），则P(2≤X<4)=（ ）
A．12B．35C．710D．910
【答案】A
【分析】利用分布列的性质求出常数a，再利用分布列计算概率作答.
【详解】依题意，1a+2a+3a+4a=1，解得a=10，即P(X=i)=i10(i=1,2,3,4)，
所以P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)=210+310=12.
故选：A
2．设随机变量X的分布列为PX=i=iai=1,2,3,4，则P12A．25B．12C．35D．710
【答案】C
【分析】根据PX=1+PX=2+PX=3+PX=4=1运算可得a=10，再分析理解12【详解】由题意：PX=i=iai=1,2,3,4
所以PX=1+PX=2+PX=3+PX=4=1a+2a+3a+4a=1，得a=10
所以P12故选：C．
3．某射击运动员射击一次所得环数ξ的分布列如下表所示.
则Pξ>6=（ ）A．0.72B．0.75C．0.85D．0.90
【答案】C
【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a，再计算P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)即可求解.
【详解】由题意0.03+0.05+0.07+0.08+0.26+a+0.23=1，解得a=0.28.
∴P(ξ>6)= P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)＝
0.08+0.26+0.28+0.23=0.85．
故选：C
4．若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=1)=p,4−5P(X=0)=p，则p=（ ）
A．23B．12C．13D．14
【答案】D
【分析】根据两点分布的特点，得到P(X=0)+P(X=1)=1，从而解方程可得答案.
【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)+P(X=1)=1，
由P(X=1)=p,4−5P(X=0)=p，
所以4−51−PX=1=p，所以p=14，
故选：D
5．若离散型随机变量X的分布列如下图所示．
则实数a的值为（ ）A．a=−2或a=13B．a=−2C．a=13D．a=2或a=−13
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意，4a−1≥03a2+a≥0(4a−1)+3a2+a=1，解得a=13，
所以实数a的值为13.
故选：C
6．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.
【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以ξ=3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
二、多选题
7．下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）．
A．某机场明年5月1日运送乘客的数量
B．某办公室一天中接到电话的次数
C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数
D．一瓶净含量为500±2mL的果汁的容量
【答案】ABC
【分析】根据离散型随机变量的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：某机场明年5月1日运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故A正确；
某办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故B正确；
某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确；
果汁的容量在498mL～502mL之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误．
故选：ABC．
8．如果Ⅹ是一个离散型随机变量，那么下列命题中为真命题的是（ ）
A．X取每一个可能值的概率都是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【答案】BC
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，每一个变量对应的概率都非负，判断A;
所有变量对应的概率之和是1，判断B;
X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和,判断C;
X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，判断D．
【详解】对于A，X取每一个可能值的概率都是非负数，所以A是假命题．
对于B，X取所有可能值的概率和为1，所以B是真命题．
对于C，X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和，所以C是真命题．
对于D．X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D是假命题,
故选:BC．
9．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的分布列中概率值的一组数据是（ ）
A．12，0，12B．－0.2，0.2，－0.4，0.4
C．p，1−p（0【答案】BD
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且0≤pk≤1，k=1,2,⋅⋅⋅,n．
对于A，因为12+0+12=1，满足0≤pk≤1，所以A选项能成为X的分布列的一组数据；
对于B，因为−0.2+0.2−0.4+0.4=0，且不满足0≤pk≤1，所以B选项不能成为X的分布列的一组数据；
对于C，因为p+1−p=1，且满足0≤pk≤1，所以C选项能成为X的分布列的一组数据；
对于D，因为11×2+12×3+⋅⋅⋅+17×8=1−18=78，所以D选项不能成为X的分布列的一组数据．
故选：BD．
10．下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射击手射击一次，击中目标的次数X
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设X=1,取出白球0,取出红球
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】BCD
【分析】由两点分布的定义依次判断，即得解
【详解】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
三、填空题
11．离散型随机变量X的概率分布规律为PX=k=akk+1，k=1,2,3,4,5,6，其中a是常数，则P12【答案】78##0.875
【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数a，在求出满足条件的概率即可.
【详解】因为PX=k=akk+1，
k=1,2,3,4,5,6，
所以a2+a6+a12+a20+a30+a42=1，
所以a=76，
所以P12=712+736+772=78，
故答案为：78.
12．随机变量X的概率分布满足PX=k=C10kM（k=0，1，2，…，10），则M的值为___________.
【答案】1024
【分析】由分布列的概率之和为1即可求得答案.
【详解】由题意C100+C101+C102+⋯+C1010M=1024M=1⇒M=1024.
故答案为：1024.
13．设随机变量X的分布列为PX=t5=att=1,2,3,4,5，则常数a=______，PX≥35=______，P110【答案】 115 45##0.8 25##0.4
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质计算概率．
【详解】由题意，知所给分布列为
由离散型随机变量分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1，解得a=115．
PX≥35=PX=35+PX=45+PX=1=315+415+515=45．
∵110∴P110四、解答题
14．设随机变量X的概率分布PX=k6=ak，k=1,2,3,4,5,6．
(1)求常数a的值；
(2)求PX≥23和P27【答案】(1)a=121
(2)57；23
【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；
【详解】（1）解：由a+2a+3a+4a+5a+6a=1，得a=121．
（2）解：由题知：PX≥23=PX=46+PX=56+PX=66=4a+5a+6a=15a=57．
P2715．2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占13.
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.
【答案】(1)2328；
(2)分布列见解析.
【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.
（2）由题意X可能值为{0,1,2}，分别求出对应值的概率，即可得分布列.
【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率P=C31C52C83+C32C51C83+C33C50C83=3056+1556+156=2328.
（2）由题设，X可能值为{0,1,2}，则P(X=1)=C32C51C83=1556，P(X=2)=C33C50C83=156，
P(X=0)=1−P(X=1)−P(X=2)=57，
所以X的分布列如下：
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知等差数列an的公差为d，随机变量X满足P(X=i)=ai0A．−12,12B．−12,16C．−16,12D．−16,16
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
【详解】因为随机变量X满足P(X=i)=ai0所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1，
也即a1+a2+a3+a4=1，又因为an是公差为d的等差数列，
所以an=a1+(n−1)d，则有a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，
所以a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=1，则a1=14−32d，
a2=a1+d=14−12d，a3=a1+2d=14+12d，a4=a1+3d=14+32d
因为0故选：D.
2．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.
【详解】易知X的可能取值为0，1，2，PX=0=0.2×0.3=0.06，PX=1=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38，PX=2=0.8×0.7=0.56，
故X的分布列为
故选：D.
3．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1；
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2；
③某同学射击3次，命中的次数X3；
④某电子元件的寿命X4；
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y=2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C.
4．设随机变量X的概率分布列如下：则PX−1≤1=（ ）
A．14B．13C．23D．56
【答案】C
【分析】根据分布列的性质求得m的值，由X−1<1确定变量的取值，结合分布列求得答案.
【详解】由分布列性质可得：13+m+14+16=1 ，则m=14 ，
由PX−1≤1=P0≤X≤2=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=14+14+16=23,
故选：C
5．已知ξ的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则1a+1b的最小值是（ ）
A．12B．6C．83D．176
【答案】B
【分析】由分布列的性质可得a+b=23，利用1a+1b=321a+1ba+b结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】根据分布列的性质知a>0，b>0．且a+b=1−16−16=23，
所以1a+1b=321a+1ba+b=32ba+ab+2≥322ba⋅ab+2=6，
当且仅当a=b=13时等号成立,
故选:B．
6．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1，X2，记X=minX1,X2，则P2≤X≤4=（ ）
A．512B．712C．13D．12
【答案】B
【分析】分别求出随机变量X=2、X=3、X=4时的概率，再利用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解】依题意，随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4的3个互斥事件的和，
而P(X=2)=C22+4C2162，P(X=3)=C22+3C2162，P(X=4)=C22+2C2162，
所以P2≤X≤4=C22+4C2162+C22+3C2162+C22+2C2162=9+7+536=712.
故选：B
二、多选题
7．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为23，游览B，C和D的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为14
B．PX=2=38
C．PX=4=124
D．PX=1=18
【答案】AB
【分析】根据题设确定随机变量X的可能取值，结合各选项的描述，结合对立、互斥事件概率及独立事件乘法公式求出对应P(X)，即可判断A、B、C，D.
【详解】解：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
A：游客至多游览一个景点，即游览0个或1个景点，即X=0或1，
PX=0=1−23×1−123=124，
PX=1= 23×1−123+1−23×C31×12×1−122=524，
游客至多游览1个景点概率为PX=0+PX=1=124+524=14，正确；
B：PX=2=23×C31×12×1−122+1−23×C32×122× 1−12=38，正确；
C：PX=4=23×123=112，错误；
D：由于PX=1= 23×1−123+1−23×C31×12×1−122=524，故错误．
故选：AB．
8．已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．则下列结论正确的是（ ）
A．共有24对相交棱B．Pξ=0=611
C．Pξ=2=111D．Pξ=1=511
【答案】AC
【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝2的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有C81C32=24对相交棱，因此Pξ=0=24C122=2466=411，故A正确，B错误；
若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故Pξ=2=6C122=111，于是Pξ=1=1−Pξ=0 −Pξ=2=1−411−111=611，故C正确，D错误．
故选：AC．
9．口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量ξ，若P(ξ=3)=27343则随机变量ξ的取值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BCD
【分析】由题设可知摸到红球、白球的概率分别是p=4n+4、p=nn+4，结合题设ξ=3对应为3次摸的都是白球，利用独立事件乘法公式列方程求n，进而判断ξ的取值可能值.
【详解】口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，
∴摸到红球的概率是p=4n+4，白球的概率是p=nn+4，而ξ=3即得3分：表示这3次摸的都是白球且P(ξ=3)=27343，
∴(nn+4)3=27343，解得n=3，
∴ξ的可能取值为3，4，5，6.
故选：BCD.
三、填空题
10．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=csx，f6(x)=2|x|+1．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则X<3的概率为___________．
【答案】45##0.8
【分析】由题可知X的取值范围是1,2,3,4，而PX<3=PX=1+PX=2，分别求出X=1,2概率，即可求出答案.
【详解】易判断f2x=x2，f5x=csx，f6(x)=2|x|+1为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X的取值范围是1,2,3,4．
PX=1=C31C61=12，PX=2=C31C31C61C51=310，
所以PX<3=PX=1+PX=2=12+310=810=45．
故答案为：45
11．袋中装有4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率为__________．
【答案】5370
【分析】根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解】依题意，ξ≥8的事件是ξ=8，ξ=10，ξ=12的三个互斥事件的和，
ξ=8的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，P(ξ=8)=C42C42C84=1835，
ξ=10的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，P(ξ=10)=C43C41C84=835，
ξ=12的事件是取出4只红球的事件，P(ξ=12)=C44C84=170，
因此，P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=10)+P(ξ=12)=1835+835+170=5370，
所以ξ≥8的概率为5370.
故答案为：5370
12．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
【答案】
【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】由题意知X的可能取值为1，2，3
PX=1=A4343=38； PX=2=C32A4243=916；PX=3=A4143=116
故答案为：
四、解答题
13．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
【答案】(1)516
(2)分布列见解析
【分析】(1)先求出甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14,再计算租车费用相同的概率；
(2) ξ可能取得值为0，2，4，6，8，分别计算对应的概率，再写出分布列.
【详解】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．
记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A，则P(A)=14×12+12×14+14×14=516．
所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为516．
（2）设甲、乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可能取得值为0，2，4，6，8
P(ξ=0)=18,P(ξ=2)=14⋅14+12⋅12=516,P(ξ=4)=14⋅14+12⋅14+12⋅14=516，
P(ξ=6)=14⋅14+12⋅14=316，P(ξ=8)=14⋅14=116，
分布列
14．甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲乙对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为35,若乙发球,则甲得分的概率为13.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.
(1)求在前4球中,甲领先的概率;
(2)12球过后,双方战平(6:6),已知继续对战奇数球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为X(甲,乙的得分之差),求X的分布列.
【答案】(1)1975
(2)分布列见解析
【分析】（1）分甲乙比分为4:0和3:1两种情况计算，然后再求和即可
（2）12球过后至少再比5场,甲连胜率先取得11分赢得比赛,或者再比7场,这时甲乙比分为11:8,如果再比9场,甲11分的话，乙这时10分甲还需再赢一场才能获胜,所以该情况排除.继续对战5局,分别是甲发三球乙发两球,甲连赢,计算概率即可，继续对战7局, 最后一球是乙发球且最后一球一定是甲赢，前6局分别是甲发四球乙发两球,甲赢4局乙赢2局,分为三种情况，乙在甲发的四球里赢了两球、乙在乙发的两球里赢了两球、乙在甲发的四球和乙发的两球中各赢了一球,计算概率即可.
【详解】（1）甲与乙的比分是4:0的概率为35×35×13×13=125
比分是3:1的概率为2×35×25×13×13+2×35×35×23×13=1675
故前4球中,甲领先的概率P=125+1675=1975
（2）依题意,接下来由甲先发球.继续对战奇数球后,甲获得11分胜利,即甲11:6或11:8获胜,即在接下来的比赛中,甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.
记比分为5:0为事件A,则
P(A)=352×132×35=3125
记比分为5:2为事件B,即前6场比赛中,乙获胜两场,期间甲发球4次,乙发球两次
P(B)=C42×352×252×132+C22×232×354+C41×25×353×C21×23×13×13=52625故甲依题意获胜的概率为3125+52625=67625
X的所有可能取值为3,5
由条件概率有,P(X=3)=5267,P(X=5)=1567,故X的分布列为
题组C 培优拔尖练
1．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记PX=a,Y=b表示X=a，Y=b同时发生的概率，则（ ）
A．当n=3时，PX=2,Y=1=13
B．当n=4时，PX+Y=4=524
C．当n=k（k≥2且k∈N∗）时，PX=k,Y=1=1k2
D．当n=2时，Y的均值为54
【答案】BCD
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于A：当n=3时，PX=2=13，PY=1|X=2=12，则PX=2,Y=1=PX=2⋅PY=1|X=2=13×12=16，选项A错误；
对于B，当n=4时，由X+Y=4，X≥Y，可得X=3，Y=1或X=2，Y=2，
所以PX+Y=4=PX=3,Y=1+PX=2,Y=2=14×13+14×12=524，选项B正确；
对于C，当n=k（k≥2且k∈N∗）时，PX=k=1k，PY=1|X=k=1k，则PX=k,Y=1=1k2，选项C正确；
对于D，当n=2时，Y的可能取值为1，2，
则PY=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=12×1+12×12=34，
PY=2=PX=2,Y=2=12×12=14，则Y的均值为1×34+2×14=54，选项D正确．
故选：BCD课程标准
重难点
借助具体实例，了解离散型随机变量及其分布列.
2.体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异.
重点：离散型随机变量及其分布列的了解；
难点：连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异.
X
x1
x2
...
xk
...
xn
p
p1
p2
...
pk
...
pn
X
0
1
2
3
P
0.1
0.24
0.36
c
X
1
2
3
P
a
b
c
X
1
0
p
p
1-p
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
X
1
2
3
4
5
p
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
X
0
1
P
221
1921
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
a
0.23
X
0
1
p
4a−1
3a2+a
X
15
25
35
45
1
P
a
2a
3a
4a
5a
X
0
1
2
P
57
1556
156
X
0
1
2
P
0.08
0.14
0.78
X
0
1
2
P
0.06
0.24
0.70
X
0
1
2
P
0.06
0.56
0.38
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
X
－1
0
1
2
P
13
m
14
16
ξ
1
2
3
4
P
16
16
a
b
X
1
2
3
P
38
916
116
X
1
2
3
P
38
916
116
ξ
0
2
4
6
8
P
18
516
516
316
116
X
3
5
P
5267
1567