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【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：8.2.4超几何分布 讲义
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这是一份【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：8.2.4超几何分布 讲义，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册824超几何分布原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册824超几何分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 超几何分布
定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（M注意：对超几何分布的理解
超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是M，N，n；
（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.
注意:超几何分布与二项分布的区别∶
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H（N，n，M），则E（X）=nMN
【即学即练1】（2021·全国·）（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（ ）
A．超几何分布的模型是不放回抽样B．超几何分布的总体里可以只有一类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，nD．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
【答案】ACD
【分析】根据超几何分布的概念及内涵，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；
超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M故选：ACD
【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.
故选：B.
能力拓展
◆考点01 超几何分布的分布列
【典例1】（2022·湖北孝感·高二期末）已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列.
【答案】 4895 1495
【分析】利用超几何分布求解即可
【详解】由题意可得Pξ=1=C81C121C202=8×12190=4895，Pξ=2=C82C202=28190=1495，
故答案为：4895；1495.
【典例2】（2022·全国·高二课时练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】(1)99100(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）根据超几何分布的分布列的计算公式，计算出X的分布列.
（1）高一高二共推荐6名男生和6名女生，高一没有学生入选代表队的概率为C33C43C63C63=4400=1100，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1−1100=99100.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
PX=1=C31C33C64=15，PX=2=C32C32C64=35，PX=3=C33C31C64=15，
所以X的分布列为
【典例3】（2022·北京延庆·高二期末）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列．
【答案】(1)49(2)答案见解析
【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.
（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.
（1）法一：有放回地抽取3次，取法总数为6×6×6=216种，设恰好取出一个黑球为事件A，
A中包含有3×2×4×4=96种取法，所以P(A)=96216=49．
法二：抽取1次取出黑球的概率为26=13，设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件A，
则P(A)=C31×(13)1×(23)2=3×13×49=49．
（2）从6个球中任意取出3个球的取法总数为C63=20，X的取值范围是0,1,2
P(X=0)=C20C43C63=15，P(X=1)=C21C42C63=35，P(X=2)=C22C41C63=15，
所以X的分布列为：
◆考点02 超几何分布的概率
【典例4】（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A．C804⋅C106C10010B．C806⋅C104C10010C．C804⋅C206C10010D．C806⋅C204C10010
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有C10010种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有C806⋅C204中，由古典概型的概率公式得概率为C806⋅C204C10010.
故选：D
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为______．
【答案】4960
【分析】确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】如下图所示，设AB为半圆弧的直径，C、D、E为半圆弧另外的三个四等分点，
从A、B、C、D、E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C53=10.
其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10−3=7，
由题意可知X∈0,1,2,3，PX=2=C72C31C103=63120，PX=3=C73C103=35120，
因此，所求概率为P=63+35120=4960.
故答案为：4960.
◆考点03 超几何分布的均值
【典例6】（2022·河南南阳·）袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则E(X)=13，且取出一红一蓝的概率为111，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（ ）
A．13B．724C．16D．748
【答案】B
【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得m,n，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可
【详解】P(X=0)=Cm+n2Cm+n+22=(m+n)(m+n−1)(m+n+2)(m+n+1)，P(X=1)=C21Cm+n1Cm+n+22=4(m+n)(m+n+2)(m+n+1)P(X=2)=C22Cm+n0Cm+n+22=2(m+n+2)(m+n+1)E(X)= (m+n)(m+n−1)(m+n+2)(m+n+1)×0 +4(m+n)(m+n+2)(m+n+1)×1 +2(m+n+2)(m+n+1)×2 =4m+n+2=13，故m+n=10，故C21Cm1C122=111，即m33=111，解得m=3，所以n=7.故若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为312×712+712×312=724
故选：B
【典例7】（2022·湖北·十堰东风高级中学）一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的均值EX=___________．
【答案】2
【分析】先求得X的可能取值为1，2，3对应的概率，进而利用期望的定义求得EX的值
【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3
则P(X=1)=C41C22C63=420=15P(X=2)=C42C21C63=1220=35,P(X=3)=C43C20C63=420=15
则EX=1×15+2×35+3×15=2
故答案为：2
◆考点04 超几何分布的方差
【典例8】（2022·吉林油田第十一中学）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.
【答案】(1)4960；(2)EX=65，DX=1425.
【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.
（2）由题可知P(X=k)=C4kC63−kC103(k=0,1,2,3)，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.
(1)设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则P(A)=C31C72+C30C73C103=4960；
(2)由题可知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.PX=0=C40C63C103=16,PX=1=C41C62C103=12,PX=2=C42C61C103=310,PX=3=C43C60C103=130,
∴X的分布列为：
∴ EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65
DX=0−652×16+1−652×12+2−652×310+3−652×130=1425.
【典例9】（2022·北京·）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.（直接写结果）
【答案】(1)72.6；(2)分布列见解析，EX=1；(3)DX=DY.
【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；
（2）由题可知X服从超几何分布，即求；
（3）由超几何分布即得.
(1)由直方图可得第二组的频率为1−0.06−0.18−0.32−0.20−0.10=0.14，
∴全校学生的平均成绩为：45×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0.32+85×0.20+95×0.10=72.6
(2)由题可知成绩在80分及以上的学生共有50×0.20+0.10=15人，其中90,100中的人数为5，
所以X可取0,1,2,3，则
PX=0=C103C153=2491，PX=1=C102C51C153=4591，
PX=2=C101C52C153=2091，PX=3=C53C153=291，
故X的分布列为：
EX=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1；
(3)DX=DY.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则EX=（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为15 ，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可.
【分析】由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为4040+60+100=15，
由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为15，
已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数，
则X服从超几何分布，且N=200，M=40，
n=10，由超几何分布的定义知，p=MN，EX=np．
所以EX=10×15=2；
故选：C．
2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则EX=（ ）
A．2B．1C．43D．23
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
P(X=1)=C22C41C63=15，
P(X=2)=C21C42C63=35，
P(X=3)=C43C63=15，
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
故选：A
3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）
A．C31C171C502B．C32C470C503C．C31C32C502D．C31C471+C32C470C502
【答案】D
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：从50件产品中，任取2件有C502种方法，
至少取到1件次品有C31C471+C32C470种方法，
所以至少取到1件次品的概率为p=C31C471+C32C470C502，
故选：D
4．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E(X)=（ ）
A．34B．89C．38D．45
【答案】D
【解析】随机变量X服从超几何分布X~H(2,4,10)，根据超几何分布期望公式即可求解.
【详解】法一：（公式）由题意得随机变量X~H(2,4,10)，
则E(X)=nMN=2×410=45．
法二：X~H(2,4,10)，分布列如下
PX=0=C62C102=1545,PX=1=C61C41C102=2445,PX=2=C60C42C102=645
E(X)=1×2445+2×645=45．
故选：D.
【点睛】本题考查超几何分布的期望，要掌握常用的随机变量的分布列和期望，减少计算量，属于基础题.
5．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于C64C96C1510的是
A．P(X=4)B．P(X≤4)
C．P(X=6)D．P(X≤6)
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．
【详解】X服从超几何分布，
因为有6个小镇不太方便，
所以从6个不方便小镇中取4个，
P(X=4)=C64C96C1510，
故选A．
【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.
6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A．27B．38C．37D．928
【答案】A
【详解】试题分析：包含恰摸到两个黑球，一个白球，或是恰好三个黑球，为互斥事件，所以概率是．
考点：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
二、多选题
7．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．P(X=k)【答案】ABD
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则E(X)=3⋅5M=15M，E(Y)=k=03kCM−53−kC5kCM3=k=13kCM−53−kC5kCM3 =15(M−1)(M−2)M(M−1)(M−2)=15M，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得E(X)故选：ABD.
8．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X的数学期望EX=4，则E2X−1=7
B．若随机变量Y的方差DY=3，D2Y+5=12
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布
【答案】ABCD
【分析】利用离散型随机变量的期望的性质可判断A，利用离散型随机变量的方差的性质可判断B，利用二项分布的概念可判断C，利用超几何分布的概念可判断D.
【详解】对于选项A：因为E2X−1=2EX−1=2×4−3=7，故A正确；
对于选项B：因为D2X+5=4DX=4×3=12，故B正确；
对于选项C：根据二项分布的概念可知随机变量X服从B3,12，故C正确；
对于选项D：根据超几何分布的概念可知X服从超几何分布，故D正确.
故选：ABCD.
9．在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X服从超几何分布
B．随机变量X服从二项分布
C．P(X=2)=12
D．E(X)=95
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解．
【详解】由题设描述知：随机变量X服从H(3,10,6)超几何分布，故A正确，B错误，
P(X=2)=C41C62C103=12，故C正确，
E(X)=n⋅NM=3×610=95，故D正确.
故选：ACD．
10．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（ ）
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为18
B．答对1题的概率为38
C．答对2题的概率为512
D．合格的概率为12
【答案】CD
【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.
【详解】选项A，答对0题和3题的概率为C53C103=10120=112，
所以选项A错误；
选项B，答对1题的概率为C51C52C103=10×5120=512
所以选项B错误；
选项C，答对2题的概率为C51C52C103=10×5120=512，
所以选项C正确；
选项D，至少答对2题的概率为512+112=12，
所以选项D正确.
故选:CD.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.
三、填空题
11．已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为_________．
【答案】1
【分析】根据题意结合超几何分布求n,a,b，再根据分布列求期望.
【详解】由题意可得：PX=1=Cn1C21Cn+22=4nn+2n+1=23，解得n=2或n=1（舍去），
则a=PX=0=C22C42=16,b=PX=2=C22C42=16，即X的分布列如下表所示：
故X的数学期望EX=0×16+1×23+2×16=1.
故答案为：1.
12．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.
【答案】C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4
【分析】根据超几何分布的概率公式即可得出答案.
【详解】解：由题意可知，X服从超几何分布，
则P(X＝r)＝C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4.
故答案为：C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4
13．若一个随机变量的分布列为P(ξ=r)=CMr⋅CN−Mn−rCNn，其中r=0,1,2,⋯,l,l=min(n,M)则称ξ服从超几何分布，记为ξ~H(n,M,N)，并将P(ξ=r)=CMr⋅CN−Mn−rCNn记为H(r;n,M,N)，则H(1;3,2,10)=___________.
【答案】715
【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.
【详解】根据题意，r=1，n=3，M=2，N=10∴H(1;3,2,10)=P(ξ=1)=C21·C82C103=715
故答案为：715.
四、解答题
14．某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.
【答案】(1)35
(2)分布列见详解，65
【分析】（1）根据题意利用对立事件求概率；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列，进而求期望.
【详解】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为P1=60180=13,P2=60150=25，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率P=1−1−P11−P2=35.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则X的可能取值有：0，1，2，可得：
PX=0=C20C33C53=110,PX=1=C21C32C53=35,PX=2=C22C31C53=310，
故X的分布列为：
∴EX=0×110+1×35+2×310=65.
15．北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布列与数学期望.
【答案】(1)600（人）
(2)分布列答案见解析，数学期望：2
【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；
(2)根据超几何分布计算概率.
【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，
其中男会员有10001800×36=20（人），女会员有16人，
所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有820×1000+416×800=600（人）.
（2）X可能的取值有0,1,2,3，
PX=0=C80C43C123=4220=155,PX=1=C81C42C123=48220=1255,
PX=2=C82C41C123=112220=2855,PX=3=C83C40C123=56220=1455
所以X的分布列为
所以X的期望EX=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2.
五、双空题
16．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件M为“甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发生的条件下，求事件N发生的概率PNM=____________.
【答案】 37； 23.
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以P(M)=C42+C32C72=921=37.
（2）P(MN)=C42C72⋅C31C51+C32C72⋅C41C51=621×35+321×45=27，PNM=PNMP(M)=2737=23.
故答案为：37；23.
17．袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2球，至少取到1个红球的概率为1318，则红球有______________个，在此情况下，若从袋中任意不放回地取出3球，记取到黑球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=____________
【答案】 4 1
【分析】（1）不放回的取出两个求，设红球m个，黑球7−m个，利用排列组合计算即可.
(2)超级和分布， 套入公式即可.
【详解】（1）设红球m个，黑球7−m个，至少取到1个红球的概率，就是取出一个是红色，另一个是其他色，共计Cm1C9−m1中情况，还有一个可能就是两个都是红色有Cm2种情况，所以Cm1C9−m1+Cm2C92=1318，化简得m=4.
（2）有上面可以红色球4个，白球2个，黑球3个，列式如下
P(ξ=0)=C63C93,P(ξ=1)=C62C31C93,P(ξ=2)=C61C32C93,P(ξ=3)=C33C93,
所以数学期望E(ξ)=0×C63C93+1×C62C31C93+2×C61C32C93+3×C33C93=45+36+384=1
故答案为：4；1.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．某班级要从4名男生，2名女生中随机选取3人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X，则EX=（ ）
A．43B．85C．65D．1
【答案】D
【分析】分析可知随机变量X可能的取值为0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得EX的值.
【详解】由题可知，X可能的取值为0、1、2，
且PX=0=C20C43C63=15，PX=1=C21C42C63=35，PX=2=C22C41C63=15，
所以EX=0×15+1×35+2×15=1.
故选：D.
2．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X=1)=25B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从几何分布D．EX=83
【答案】C
【分析】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，
P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，
∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，
故A，D错误．
故选：C．
3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（ ）
A．二项分布，且EX=8B．两点分布，且EX=12
C．超几何分布，且EX=8D．超几何分布，且EX=12
【答案】C
【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得X服从超几何分布，所以EX=40×20100=8.
故选：C
4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，
若任取3个数中有2个阳数，则P=C52C51C103=10×5120=512，
若任取3个数中有3个阳数，则P=C53C103=10120=112，
故这3个数中至少有2个阳数的概率P=512+112=12，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N个物品（包括M个指定物品）中抽取n个物品，若抽取的n个物品中有k个指定物品，则概率P=CMkCN−Mn−kCNn，考查计算能力，是中档题.
5．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【答案】A
【分析】当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ=2， Dξ=25；当n=4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出Eη=167， Dη=2449，即可得解．
【详解】当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3，
Pξ=1=C31⋅C33C64=15，Pξ=2=C32⋅C32C64=35，Pξ=3=C33⋅C31C64=15，
∴Eξ=15+2×35+3×15=2，Dξ=15+15=25；
当n=4时，η可取1，2，3，4，
Pη=1=C41⋅C33C74=435，Pη=2=C42⋅C32C74=1835，
Pη=3=C43⋅C31C74=1235，Pη=4=C44⋅C30C74=135，
∴Eη=435+2×1835+3×1235+4×135=167，
Dη=4351−1672+18352−1672+12353−1672+1354−1672=2449；
∴E(ξ)故选：A．
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
6．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）
A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村
【答案】B
【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，故PX=k=C3kC43−kC73，分别求得概率，再验证选项.
【详解】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布，
故PX=k=C3kC43−kC73，
所以PX=0=C43C30C73=435，
PX=1=C42C31C73=1835，
PX=2=C41C32C73=1235，
PX=3=C40C33C73=135，
PX=1+PX=2=67.
故选：B
【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.
二、多选题
7．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，3B．PX=0=13
C．EX=1.2D．DX=1425
【答案】ACD
【分析】根据题意分析X服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得X服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为PX=k=C4kC63−kC103k=0,1,2,3，
则PX=0=C40C63C103=16，故B错误；
EX=3×410=1.2，故C正确；
DX=0−1.22×16+1−1.22×C41C62C103+2−1.22×C42C61C103+3−1.22×C43C60C103=1425，故D正确；
故选：ACD.
8．已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，Pξ=1=1645，Pξ=2=145，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20%B．次品数为8件
C．Eξ=0.4D．Dξ=64225
【答案】ACD
【分析】假设次品为n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分别求的Eξ，Dξ即可得出结果.
【详解】假设10件产品中存在次品为n件，从中抽取2件，
Pξ=1=1645Pξ=2=145⇒Pξ=1=Cn1C10−n1C102=1645Pξ=2=Cn2C10−n0C102=145⇒n=2，则次品数为2件，B错误；
这10件产品的次品率为210×100%=20%，A正确；
10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，
Pξ=0=1−Pξ=1−Pξ=2=1−1645−145=2845；
则Eξ=0×2845+1×1645+2×145=0.4，C正确；
Dξ=0−0.42×2845+1−0.42×1645+2−0.42×145=64225，D正确.
故选：ACD.
9．下列结论正确的有（ ）
A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种．
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12
C．若随机变量X服从二项分布X~B(5,13)，则P(32≤X≤72)=8081
D．10个产品有3个次品，从中抽出2个，抽出次品个数的期望0.6个
【答案】BD
【分析】根据分步乘法计算原理可判断A；根据古典概型的概率公式及排列组合知识判断B；根据二项分布的概率公式计算C；利用超几何分布求得期望即可判断D．
【详解】对于A：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，则每个乘客由5种下车的方式，
则根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有510种，故A错误；
对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有A44=24（种)排法；两位女生不相邻的排法有A22A32=12（种)，故两位女生不相邻的概率是12，即B正确；
对于C：若随机变量X服从二项分布X~B(5,13)，则
P(32≤X≤72)=P(X=2)+P(X=3)=C52(13)2(1−13)3+C53(13)3(1−13)2=4081，故C错误；
对于D：有10件产品，其中有3件次品，从中不放回地抽2件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X~H(10,3,2)，
∴抽到的次品数的数学期望值E(X)=nMN=2×310=0.6，故D正确，
故选：BD．
三、填空题
10．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①EX=65，Eη=95；②EX2=Eη；③Eη2＝EX；④DX=Dη=925.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝2×35＝65，E(η)＝3×35＝95.
又X的分布列
∴E(X2)＝02×110＋12×35＋22×310＝95，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝95－(65)2＝925.
η的分布列为
∴E(η2)＝12×310＋22×35＋32×110＝185，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝185－(95)2＝925.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
11．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.
【答案】43120
【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率.
【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，
则：PA1=C22C62×C33123=1120，
PA2=C21C41C62×C3212212=24120=15，
PA3=C42C62×C3112122=18120=320，
PA=PA1+PA2+PA3=43120.
故答案为：43120
【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.
四、解答题
12．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X，求X的分布列及期望.
【答案】(1)75.4
(2)分布列见解析；期望EX=34
【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；
（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在50,60的总人数，进而确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.
【详解】（1）平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=75.4.
（2）由题意知：样本中竞赛成绩在50,60的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，
则X所有可能的取值为0,1,2，
∴PX=0=C63C83=2056=514；PX=1=C62C21C83=3056=1528；PX=2=C61C22C83=656=328；
∴X的分布列为
∴数学期望EX=0×514+1×1528+2×328=34.
13．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见表），且视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.
(1)求该网店询单转化率的平均值；
(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)72%；
(2)3742；
(3)18,13100.
【分析】（1）由已知分别求出A、B等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可；
（2）设A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，对应的询单转化率中位数分别为60%,60%,70%,80%,80%，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数12000a+6000，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，A等级客服的询单转化率为80%，B等级客服的询单转化率为60%，所以该网店询单转化率的平均值为80%×6+60%×410=72%.
（2）解：由（1）知：A、B等级客服的询单转化率分别为80%,60%.
设抽取4位客服中，A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
由题意可得，X服从超几何分布.
当X=0时，4人转化率为60%,60%,60%,60%，中位数为60%；
当X=1时，4人转化率为60%,60%,60%,80%，中位数为60%；
当X=2时，4人转化率为60%,60%,80%,80%，中位数为70%；
当X=3时，4人转化率为60%,80%,80%,80%，中位数为80%；
当X=4时，4人转化率为80%,80%,80%,80%，中位数为80%.
所以，当X≥2时，这4人的询单转化率的中位数不低于70%.
因为，X服从超几何分布，所以X的分布列为PX=k=C6k⋅C44−kC104，k=0,1,2,3,4.
所以PX≥2=1−PX=0−PX=1 =1−C60⋅C44C104−C61⋅C43C104=3742.
（3）解：设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y,Z.
则改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为P1=610=35，
所以Y∼B10000,35，则EY=10000×35=6000.
因为A，B等级客服的询单转化率分别为80%,60%，
所以改革前日均成交人数为6000×80%+10000−6000×60%=7200；
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为P2=6a，
所以Z∼B10000,6a，则EZ=10000×6a=60000a，
故改革后日均成交人数为60000a×80%+10000−60000a×60%=12000a+6000.
由12000a+6000≥7200+300得：a≥18，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为a，又6a+4b=1，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为b=1−6a4.
又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以10000a≤130010000⋅1−6a4≤1300，
解得：a≤13100a≥225，②
由①②得：18≤a≤13100，所以a应该控制在18,13100.
五、双空题
14．袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球.每次从中任取2个球，然后放回2个红球.设第一次取到白球的个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=___________；第二次取到1个白球1个红球的概率为___________.
【答案】 65 2750##0.54
【分析】分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可计算出Eξ的值；记事件Ai:第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，记事件B:第二次取到1个白球1个红球，利用全概率公式可求得PB的值.
【详解】解：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2，
则Pξ=0=C22C52=110，Pξ=1=C21C31C52=35，Pξ=2=C32C52=310，
所以，Eξ=0×110+1×35+2×310=65.
记事件Ai:第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，
则PA0=110，PA1=35，PA2=310，
记事件B:第二次取到1个白球1个红球，
则PBA0=C21C31C52=35，PBA1=C21C31C52=35，PBA2=C41C52=25，
由全概率公式可得PB=i=02PAi⋅PBAi=110×35+35×35+310×25=2750.
故答案为：65；2750.
题组C 培优拔尖练
1．设随机变量X∼H(10,M,1000)（2≤M≤992且M∈N∗），H(2;10,M,1000)最大时，E(X)=（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出H(2;10,M,1000)最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量X∼H(10,M,1000)，则H(2;10,M,1000)=P(X=2)=CM2C1000−M8C100010，
因H(2;10,M,1000)最大，则有H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M+1,1000)H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M−1,1000)，
即CM2C1000−M8C100010≥CM+12C999−M8C100010CM2C1000−M8C100010≥CM−12C1001−M8C100010，M(M−1)2⋅(1000−M)!8!(992−M)!≥M(M+1)2⋅(999−M)!8!(991−M)!M(M−1)2⋅(1000−M)!8!(992−M)!≥(M−1)(M−2)2⋅(1001−M)!8!(993−M)!，
整理得(M−1)(1000−M)≥(M+1)(992−M)M(993−M)≥(M−2)(1001−M)，解得199.2≤M≤200.2，
而M∈N∗，则M=200，所以E(X)=10M1000=10×2001000=2.00.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式Cnm=n!m!n−m!，这是正确计算的关键．
2．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为23，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】(1)29
(2)113
(3)6
【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.
(2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.
(3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望.
（1）
由题设, X 服从参数为 23 的两点分布, PX=1=23,PX=0=13.EX=23，DX=1−232×23+0−232×13=29.
（2）
记 A 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 B 表示事件: “甲投中花球”, 则
PA=C421−2322321−23+C441−23423=26243PAB=C441−23423=2243
于是 PB∣A=PABPA=113.
（3）由题设 Y 值可取 5,6,7, 则PY=5=C20C85C105=29；PY=6=C21C84C105=59；PY=7=C22C83C105=29.
于是 EY=5×29+6×59+7×29=6课程标准
重难点
1.结合生活中的实例，了解超几何分布.
2.了解超几何分布的均值及其意义.
重点：超几何分布的理解；
难点：超几何分布的均值及其意义.
ξ=k
0
1
2
Pξ=k
3395
___________
___________
X
1
2
3
P
15
35
15
X
0
1
2
P
15
35
15
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
0
1
2
3
P
2491
4591
2091
291
冰淇淋口味
草莓味
巧克力味
原味
销量（个）
40
60
100
X
0
1
2
P
1545
2445
645
X
0
1
2
P
a
23
b
X
0
1
2
P
16
23
16
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50
X
0
1
2
P
110
35
310
X
0
1
2
3
P
155
1255
2855
1455
X
0
1
2
P
110
35
310
η
1
2
3
P
310
35
110
竞赛成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频率
0.08
0.24
0.36
0.20
0.12
X
0
1
2
P
514
1528
328
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
目标导航
知识精讲
知识点01 超几何分布
定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（M
超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是M，N，n；
（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.
注意:超几何分布与二项分布的区别∶
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H（N，n，M），则E（X）=nMN
【即学即练1】（2021·全国·）（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（ ）
A．超几何分布的模型是不放回抽样B．超几何分布的总体里可以只有一类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，nD．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
【答案】ACD
【分析】根据超几何分布的概念及内涵，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；
超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M
【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.
故选：B.
能力拓展
◆考点01 超几何分布的分布列
【典例1】（2022·湖北孝感·高二期末）已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列.
【答案】 4895 1495
【分析】利用超几何分布求解即可
【详解】由题意可得Pξ=1=C81C121C202=8×12190=4895，Pξ=2=C82C202=28190=1495，
故答案为：4895；1495.
【典例2】（2022·全国·高二课时练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】(1)99100(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）根据超几何分布的分布列的计算公式，计算出X的分布列.
（1）高一高二共推荐6名男生和6名女生，高一没有学生入选代表队的概率为C33C43C63C63=4400=1100，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1−1100=99100.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
PX=1=C31C33C64=15，PX=2=C32C32C64=35，PX=3=C33C31C64=15，
所以X的分布列为
【典例3】（2022·北京延庆·高二期末）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列．
【答案】(1)49(2)答案见解析
【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.
（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.
（1）法一：有放回地抽取3次，取法总数为6×6×6=216种，设恰好取出一个黑球为事件A，
A中包含有3×2×4×4=96种取法，所以P(A)=96216=49．
法二：抽取1次取出黑球的概率为26=13，设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件A，
则P(A)=C31×(13)1×(23)2=3×13×49=49．
（2）从6个球中任意取出3个球的取法总数为C63=20，X的取值范围是0,1,2
P(X=0)=C20C43C63=15，P(X=1)=C21C42C63=35，P(X=2)=C22C41C63=15，
所以X的分布列为：
◆考点02 超几何分布的概率
【典例4】（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A．C804⋅C106C10010B．C806⋅C104C10010C．C804⋅C206C10010D．C806⋅C204C10010
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有C10010种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有C806⋅C204中，由古典概型的概率公式得概率为C806⋅C204C10010.
故选：D
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为______．
【答案】4960
【分析】确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】如下图所示，设AB为半圆弧的直径，C、D、E为半圆弧另外的三个四等分点，
从A、B、C、D、E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C53=10.
其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10−3=7，
由题意可知X∈0,1,2,3，PX=2=C72C31C103=63120，PX=3=C73C103=35120，
因此，所求概率为P=63+35120=4960.
故答案为：4960.
◆考点03 超几何分布的均值
【典例6】（2022·河南南阳·）袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则E(X)=13，且取出一红一蓝的概率为111，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（ ）
A．13B．724C．16D．748
【答案】B
【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得m,n，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可
【详解】P(X=0)=Cm+n2Cm+n+22=(m+n)(m+n−1)(m+n+2)(m+n+1)，P(X=1)=C21Cm+n1Cm+n+22=4(m+n)(m+n+2)(m+n+1)P(X=2)=C22Cm+n0Cm+n+22=2(m+n+2)(m+n+1)E(X)= (m+n)(m+n−1)(m+n+2)(m+n+1)×0 +4(m+n)(m+n+2)(m+n+1)×1 +2(m+n+2)(m+n+1)×2 =4m+n+2=13，故m+n=10，故C21Cm1C122=111，即m33=111，解得m=3，所以n=7.故若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为312×712+712×312=724
故选：B
【典例7】（2022·湖北·十堰东风高级中学）一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的均值EX=___________．
【答案】2
【分析】先求得X的可能取值为1，2，3对应的概率，进而利用期望的定义求得EX的值
【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3
则P(X=1)=C41C22C63=420=15P(X=2)=C42C21C63=1220=35,P(X=3)=C43C20C63=420=15
则EX=1×15+2×35+3×15=2
故答案为：2
◆考点04 超几何分布的方差
【典例8】（2022·吉林油田第十一中学）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.
【答案】(1)4960；(2)EX=65，DX=1425.
【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.
（2）由题可知P(X=k)=C4kC63−kC103(k=0,1,2,3)，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.
(1)设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则P(A)=C31C72+C30C73C103=4960；
(2)由题可知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.PX=0=C40C63C103=16,PX=1=C41C62C103=12,PX=2=C42C61C103=310,PX=3=C43C60C103=130,
∴X的分布列为：
∴ EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65
DX=0−652×16+1−652×12+2−652×310+3−652×130=1425.
【典例9】（2022·北京·）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.（直接写结果）
【答案】(1)72.6；(2)分布列见解析，EX=1；(3)DX=DY.
【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；
（2）由题可知X服从超几何分布，即求；
（3）由超几何分布即得.
(1)由直方图可得第二组的频率为1−0.06−0.18−0.32−0.20−0.10=0.14，
∴全校学生的平均成绩为：45×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0.32+85×0.20+95×0.10=72.6
(2)由题可知成绩在80分及以上的学生共有50×0.20+0.10=15人，其中90,100中的人数为5，
所以X可取0,1,2,3，则
PX=0=C103C153=2491，PX=1=C102C51C153=4591，
PX=2=C101C52C153=2091，PX=3=C53C153=291，
故X的分布列为：
EX=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1；
(3)DX=DY.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则EX=（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为15 ，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可.
【分析】由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为4040+60+100=15，
由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为15，
已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数，
则X服从超几何分布，且N=200，M=40，
n=10，由超几何分布的定义知，p=MN，EX=np．
所以EX=10×15=2；
故选：C．
2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则EX=（ ）
A．2B．1C．43D．23
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
P(X=1)=C22C41C63=15，
P(X=2)=C21C42C63=35，
P(X=3)=C43C63=15，
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
故选：A
3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）
A．C31C171C502B．C32C470C503C．C31C32C502D．C31C471+C32C470C502
【答案】D
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：从50件产品中，任取2件有C502种方法，
至少取到1件次品有C31C471+C32C470种方法，
所以至少取到1件次品的概率为p=C31C471+C32C470C502，
故选：D
4．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E(X)=（ ）
A．34B．89C．38D．45
【答案】D
【解析】随机变量X服从超几何分布X~H(2,4,10)，根据超几何分布期望公式即可求解.
【详解】法一：（公式）由题意得随机变量X~H(2,4,10)，
则E(X)=nMN=2×410=45．
法二：X~H(2,4,10)，分布列如下
PX=0=C62C102=1545,PX=1=C61C41C102=2445,PX=2=C60C42C102=645
E(X)=1×2445+2×645=45．
故选：D.
【点睛】本题考查超几何分布的期望，要掌握常用的随机变量的分布列和期望，减少计算量，属于基础题.
5．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于C64C96C1510的是
A．P(X=4)B．P(X≤4)
C．P(X=6)D．P(X≤6)
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．
【详解】X服从超几何分布，
因为有6个小镇不太方便，
所以从6个不方便小镇中取4个，
P(X=4)=C64C96C1510，
故选A．
【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.
6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A．27B．38C．37D．928
【答案】A
【详解】试题分析：包含恰摸到两个黑球，一个白球，或是恰好三个黑球，为互斥事件，所以概率是．
考点：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
二、多选题
7．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．P(X=k)
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则E(X)=3⋅5M=15M，E(Y)=k=03kCM−53−kC5kCM3=k=13kCM−53−kC5kCM3 =15(M−1)(M−2)M(M−1)(M−2)=15M，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得E(X)
8．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X的数学期望EX=4，则E2X−1=7
B．若随机变量Y的方差DY=3，D2Y+5=12
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布
【答案】ABCD
【分析】利用离散型随机变量的期望的性质可判断A，利用离散型随机变量的方差的性质可判断B，利用二项分布的概念可判断C，利用超几何分布的概念可判断D.
【详解】对于选项A：因为E2X−1=2EX−1=2×4−3=7，故A正确；
对于选项B：因为D2X+5=4DX=4×3=12，故B正确；
对于选项C：根据二项分布的概念可知随机变量X服从B3,12，故C正确；
对于选项D：根据超几何分布的概念可知X服从超几何分布，故D正确.
故选：ABCD.
9．在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X服从超几何分布
B．随机变量X服从二项分布
C．P(X=2)=12
D．E(X)=95
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解．
【详解】由题设描述知：随机变量X服从H(3,10,6)超几何分布，故A正确，B错误，
P(X=2)=C41C62C103=12，故C正确，
E(X)=n⋅NM=3×610=95，故D正确.
故选：ACD．
10．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（ ）
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为18
B．答对1题的概率为38
C．答对2题的概率为512
D．合格的概率为12
【答案】CD
【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.
【详解】选项A，答对0题和3题的概率为C53C103=10120=112，
所以选项A错误；
选项B，答对1题的概率为C51C52C103=10×5120=512
所以选项B错误；
选项C，答对2题的概率为C51C52C103=10×5120=512，
所以选项C正确；
选项D，至少答对2题的概率为512+112=12，
所以选项D正确.
故选:CD.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.
三、填空题
11．已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为_________．
【答案】1
【分析】根据题意结合超几何分布求n,a,b，再根据分布列求期望.
【详解】由题意可得：PX=1=Cn1C21Cn+22=4nn+2n+1=23，解得n=2或n=1（舍去），
则a=PX=0=C22C42=16,b=PX=2=C22C42=16，即X的分布列如下表所示：
故X的数学期望EX=0×16+1×23+2×16=1.
故答案为：1.
12．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.
【答案】C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4
【分析】根据超几何分布的概率公式即可得出答案.
【详解】解：由题意可知，X服从超几何分布，
则P(X＝r)＝C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4.
故答案为：C5rC54−rC104，r＝0,1,2,3,4
13．若一个随机变量的分布列为P(ξ=r)=CMr⋅CN−Mn−rCNn，其中r=0,1,2,⋯,l,l=min(n,M)则称ξ服从超几何分布，记为ξ~H(n,M,N)，并将P(ξ=r)=CMr⋅CN−Mn−rCNn记为H(r;n,M,N)，则H(1;3,2,10)=___________.
【答案】715
【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.
【详解】根据题意，r=1，n=3，M=2，N=10∴H(1;3,2,10)=P(ξ=1)=C21·C82C103=715
故答案为：715.
四、解答题
14．某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.
【答案】(1)35
(2)分布列见详解，65
【分析】（1）根据题意利用对立事件求概率；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列，进而求期望.
【详解】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为P1=60180=13,P2=60150=25，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率P=1−1−P11−P2=35.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则X的可能取值有：0，1，2，可得：
PX=0=C20C33C53=110,PX=1=C21C32C53=35,PX=2=C22C31C53=310，
故X的分布列为：
∴EX=0×110+1×35+2×310=65.
15．北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布列与数学期望.
【答案】(1)600（人）
(2)分布列答案见解析，数学期望：2
【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；
(2)根据超几何分布计算概率.
【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，
其中男会员有10001800×36=20（人），女会员有16人，
所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有820×1000+416×800=600（人）.
（2）X可能的取值有0,1,2,3，
PX=0=C80C43C123=4220=155,PX=1=C81C42C123=48220=1255,
PX=2=C82C41C123=112220=2855,PX=3=C83C40C123=56220=1455
所以X的分布列为
所以X的期望EX=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2.
五、双空题
16．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件M为“甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发生的条件下，求事件N发生的概率PNM=____________.
【答案】 37； 23.
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以P(M)=C42+C32C72=921=37.
（2）P(MN)=C42C72⋅C31C51+C32C72⋅C41C51=621×35+321×45=27，PNM=PNMP(M)=2737=23.
故答案为：37；23.
17．袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2球，至少取到1个红球的概率为1318，则红球有______________个，在此情况下，若从袋中任意不放回地取出3球，记取到黑球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=____________
【答案】 4 1
【分析】（1）不放回的取出两个求，设红球m个，黑球7−m个，利用排列组合计算即可.
(2)超级和分布， 套入公式即可.
【详解】（1）设红球m个，黑球7−m个，至少取到1个红球的概率，就是取出一个是红色，另一个是其他色，共计Cm1C9−m1中情况，还有一个可能就是两个都是红色有Cm2种情况，所以Cm1C9−m1+Cm2C92=1318，化简得m=4.
（2）有上面可以红色球4个，白球2个，黑球3个，列式如下
P(ξ=0)=C63C93,P(ξ=1)=C62C31C93,P(ξ=2)=C61C32C93,P(ξ=3)=C33C93,
所以数学期望E(ξ)=0×C63C93+1×C62C31C93+2×C61C32C93+3×C33C93=45+36+384=1
故答案为：4；1.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．某班级要从4名男生，2名女生中随机选取3人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X，则EX=（ ）
A．43B．85C．65D．1
【答案】D
【分析】分析可知随机变量X可能的取值为0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得EX的值.
【详解】由题可知，X可能的取值为0、1、2，
且PX=0=C20C43C63=15，PX=1=C21C42C63=35，PX=2=C22C41C63=15，
所以EX=0×15+1×35+2×15=1.
故选：D.
2．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X=1)=25B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从几何分布D．EX=83
【答案】C
【分析】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，
P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，
∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，
故A，D错误．
故选：C．
3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（ ）
A．二项分布，且EX=8B．两点分布，且EX=12
C．超几何分布，且EX=8D．超几何分布，且EX=12
【答案】C
【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得X服从超几何分布，所以EX=40×20100=8.
故选：C
4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，
若任取3个数中有2个阳数，则P=C52C51C103=10×5120=512，
若任取3个数中有3个阳数，则P=C53C103=10120=112，
故这3个数中至少有2个阳数的概率P=512+112=12，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N个物品（包括M个指定物品）中抽取n个物品，若抽取的n个物品中有k个指定物品，则概率P=CMkCN−Mn−kCNn，考查计算能力，是中档题.
5．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【答案】A
【分析】当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ=2， Dξ=25；当n=4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出Eη=167， Dη=2449，即可得解．
【详解】当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3，
Pξ=1=C31⋅C33C64=15，Pξ=2=C32⋅C32C64=35，Pξ=3=C33⋅C31C64=15，
∴Eξ=15+2×35+3×15=2，Dξ=15+15=25；
当n=4时，η可取1，2，3，4，
Pη=1=C41⋅C33C74=435，Pη=2=C42⋅C32C74=1835，
Pη=3=C43⋅C31C74=1235，Pη=4=C44⋅C30C74=135，
∴Eη=435+2×1835+3×1235+4×135=167，
Dη=4351−1672+18352−1672+12353−1672+1354−1672=2449；
∴E(ξ)
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
6．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）
A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村
【答案】B
【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，故PX=k=C3kC43−kC73，分别求得概率，再验证选项.
【详解】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布，
故PX=k=C3kC43−kC73，
所以PX=0=C43C30C73=435，
PX=1=C42C31C73=1835，
PX=2=C41C32C73=1235，
PX=3=C40C33C73=135，
PX=1+PX=2=67.
故选：B
【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.
二、多选题
7．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，3B．PX=0=13
C．EX=1.2D．DX=1425
【答案】ACD
【分析】根据题意分析X服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得X服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为PX=k=C4kC63−kC103k=0,1,2,3，
则PX=0=C40C63C103=16，故B错误；
EX=3×410=1.2，故C正确；
DX=0−1.22×16+1−1.22×C41C62C103+2−1.22×C42C61C103+3−1.22×C43C60C103=1425，故D正确；
故选：ACD.
8．已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，Pξ=1=1645，Pξ=2=145，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20%B．次品数为8件
C．Eξ=0.4D．Dξ=64225
【答案】ACD
【分析】假设次品为n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分别求的Eξ，Dξ即可得出结果.
【详解】假设10件产品中存在次品为n件，从中抽取2件，
Pξ=1=1645Pξ=2=145⇒Pξ=1=Cn1C10−n1C102=1645Pξ=2=Cn2C10−n0C102=145⇒n=2，则次品数为2件，B错误；
这10件产品的次品率为210×100%=20%，A正确；
10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，
Pξ=0=1−Pξ=1−Pξ=2=1−1645−145=2845；
则Eξ=0×2845+1×1645+2×145=0.4，C正确；
Dξ=0−0.42×2845+1−0.42×1645+2−0.42×145=64225，D正确.
故选：ACD.
9．下列结论正确的有（ ）
A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种．
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12
C．若随机变量X服从二项分布X~B(5,13)，则P(32≤X≤72)=8081
D．10个产品有3个次品，从中抽出2个，抽出次品个数的期望0.6个
【答案】BD
【分析】根据分步乘法计算原理可判断A；根据古典概型的概率公式及排列组合知识判断B；根据二项分布的概率公式计算C；利用超几何分布求得期望即可判断D．
【详解】对于A：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，则每个乘客由5种下车的方式，
则根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有510种，故A错误；
对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有A44=24（种)排法；两位女生不相邻的排法有A22A32=12（种)，故两位女生不相邻的概率是12，即B正确；
对于C：若随机变量X服从二项分布X~B(5,13)，则
P(32≤X≤72)=P(X=2)+P(X=3)=C52(13)2(1−13)3+C53(13)3(1−13)2=4081，故C错误；
对于D：有10件产品，其中有3件次品，从中不放回地抽2件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X~H(10,3,2)，
∴抽到的次品数的数学期望值E(X)=nMN=2×310=0.6，故D正确，
故选：BD．
三、填空题
10．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①EX=65，Eη=95；②EX2=Eη；③Eη2＝EX；④DX=Dη=925.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝2×35＝65，E(η)＝3×35＝95.
又X的分布列
∴E(X2)＝02×110＋12×35＋22×310＝95，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝95－(65)2＝925.
η的分布列为
∴E(η2)＝12×310＋22×35＋32×110＝185，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝185－(95)2＝925.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
11．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.
【答案】43120
【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率.
【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，
则：PA1=C22C62×C33123=1120，
PA2=C21C41C62×C3212212=24120=15，
PA3=C42C62×C3112122=18120=320，
PA=PA1+PA2+PA3=43120.
故答案为：43120
【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.
四、解答题
12．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X，求X的分布列及期望.
【答案】(1)75.4
(2)分布列见解析；期望EX=34
【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；
（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在50,60的总人数，进而确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.
【详解】（1）平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=75.4.
（2）由题意知：样本中竞赛成绩在50,60的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，
则X所有可能的取值为0,1,2，
∴PX=0=C63C83=2056=514；PX=1=C62C21C83=3056=1528；PX=2=C61C22C83=656=328；
∴X的分布列为
∴数学期望EX=0×514+1×1528+2×328=34.
13．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见表），且视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.
(1)求该网店询单转化率的平均值；
(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)72%；
(2)3742；
(3)18,13100.
【分析】（1）由已知分别求出A、B等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可；
（2）设A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，对应的询单转化率中位数分别为60%,60%,70%,80%,80%，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数12000a+6000，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，A等级客服的询单转化率为80%，B等级客服的询单转化率为60%，所以该网店询单转化率的平均值为80%×6+60%×410=72%.
（2）解：由（1）知：A、B等级客服的询单转化率分别为80%,60%.
设抽取4位客服中，A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
由题意可得，X服从超几何分布.
当X=0时，4人转化率为60%,60%,60%,60%，中位数为60%；
当X=1时，4人转化率为60%,60%,60%,80%，中位数为60%；
当X=2时，4人转化率为60%,60%,80%,80%，中位数为70%；
当X=3时，4人转化率为60%,80%,80%,80%，中位数为80%；
当X=4时，4人转化率为80%,80%,80%,80%，中位数为80%.
所以，当X≥2时，这4人的询单转化率的中位数不低于70%.
因为，X服从超几何分布，所以X的分布列为PX=k=C6k⋅C44−kC104，k=0,1,2,3,4.
所以PX≥2=1−PX=0−PX=1 =1−C60⋅C44C104−C61⋅C43C104=3742.
（3）解：设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y,Z.
则改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为P1=610=35，
所以Y∼B10000,35，则EY=10000×35=6000.
因为A，B等级客服的询单转化率分别为80%,60%，
所以改革前日均成交人数为6000×80%+10000−6000×60%=7200；
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为P2=6a，
所以Z∼B10000,6a，则EZ=10000×6a=60000a，
故改革后日均成交人数为60000a×80%+10000−60000a×60%=12000a+6000.
由12000a+6000≥7200+300得：a≥18，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为a，又6a+4b=1，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为b=1−6a4.
又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以10000a≤130010000⋅1−6a4≤1300，
解得：a≤13100a≥225，②
由①②得：18≤a≤13100，所以a应该控制在18,13100.
五、双空题
14．袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球.每次从中任取2个球，然后放回2个红球.设第一次取到白球的个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=___________；第二次取到1个白球1个红球的概率为___________.
【答案】 65 2750##0.54
【分析】分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可计算出Eξ的值；记事件Ai:第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，记事件B:第二次取到1个白球1个红球，利用全概率公式可求得PB的值.
【详解】解：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2，
则Pξ=0=C22C52=110，Pξ=1=C21C31C52=35，Pξ=2=C32C52=310，
所以，Eξ=0×110+1×35+2×310=65.
记事件Ai:第一次取到的白球有i个，其中i=0、1、2，
则PA0=110，PA1=35，PA2=310，
记事件B:第二次取到1个白球1个红球，
则PBA0=C21C31C52=35，PBA1=C21C31C52=35，PBA2=C41C52=25，
由全概率公式可得PB=i=02PAi⋅PBAi=110×35+35×35+310×25=2750.
故答案为：65；2750.
题组C 培优拔尖练
1．设随机变量X∼H(10,M,1000)（2≤M≤992且M∈N∗），H(2;10,M,1000)最大时，E(X)=（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出H(2;10,M,1000)最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量X∼H(10,M,1000)，则H(2;10,M,1000)=P(X=2)=CM2C1000−M8C100010，
因H(2;10,M,1000)最大，则有H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M+1,1000)H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M−1,1000)，
即CM2C1000−M8C100010≥CM+12C999−M8C100010CM2C1000−M8C100010≥CM−12C1001−M8C100010，M(M−1)2⋅(1000−M)!8!(992−M)!≥M(M+1)2⋅(999−M)!8!(991−M)!M(M−1)2⋅(1000−M)!8!(992−M)!≥(M−1)(M−2)2⋅(1001−M)!8!(993−M)!，
整理得(M−1)(1000−M)≥(M+1)(992−M)M(993−M)≥(M−2)(1001−M)，解得199.2≤M≤200.2，
而M∈N∗，则M=200，所以E(X)=10M1000=10×2001000=2.00.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式Cnm=n!m!n−m!，这是正确计算的关键．
2．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为23，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】(1)29
(2)113
(3)6
【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.
(2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.
(3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望.
（1）
由题设, X 服从参数为 23 的两点分布, PX=1=23,PX=0=13.EX=23，DX=1−232×23+0−232×13=29.
（2）
记 A 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 B 表示事件: “甲投中花球”, 则
PA=C421−2322321−23+C441−23423=26243PAB=C441−23423=2243
于是 PB∣A=PABPA=113.
（3）由题设 Y 值可取 5,6,7, 则PY=5=C20C85C105=29；PY=6=C21C84C105=59；PY=7=C22C83C105=29.
于是 EY=5×29+6×59+7×29=6课程标准
重难点
1.结合生活中的实例，了解超几何分布.
2.了解超几何分布的均值及其意义.
重点：超几何分布的理解；
难点：超几何分布的均值及其意义.
ξ=k
0
1
2
Pξ=k
3395
___________
___________
X
1
2
3
P
15
35
15
X
0
1
2
P
15
35
15
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
0
1
2
3
P
2491
4591
2091
291
冰淇淋口味
草莓味
巧克力味
原味
销量（个）
40
60
100
X
0
1
2
P
1545
2445
645
X
0
1
2
P
a
23
b
X
0
1
2
P
16
23
16
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50
X
0
1
2
P
110
35
310
X
0
1
2
3
P
155
1255
2855
1455
X
0
1
2
P
110
35
310
η
1
2
3
P
310
35
110
竞赛成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频率
0.08
0.24
0.36
0.20
0.12
X
0
1
2
P
514
1528
328
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
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