山西省太原市2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份山西省太原市2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷
（考试时间：上午8:00—10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次不等式的求解以及对数函数定义域的求解，结合集合运算，可得答案.
【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则；
由函数，可得，解得，则；
综上可得.
故选：B.
2. 设复数满足为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限；
故选：D
3. 已知，则向量与的夹角为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积的性质求得，再代夹角公式即可求解
【详解】



所以
所以向量与的夹角为
故选：C
4. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式可知弧所在圆和弧所在圆的半径之间关系为，结合可求得，再根据柱体的体积计算公式，采用切割的方式可求得结果.
【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，
因为弧的长度是弧长度的2倍，所以，即，
又，则，
所以该曲池的体积，
故选：.
5. 某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 96 B. 120 C. 240 D. 360
【答案】B
【解析】
分析】有特殊要求得位置优先考虑，先排最后一首歌曲，再排前三首歌曲
【详解】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后方法有种
第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种
则不同的安排方法种数为：
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，结合二倍角公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：C
7. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（ ）
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
12
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
1
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数阵中数的规律逐项进行检验即可求解.
【详解】对于，表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差数列，则第18个数字为，故选项错误；
对于，表示第6行第8个数字，由数阵可知：第6行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则第8个数字为，故选项错误；
对于，表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则第7个数字为，故选项错误；
对于，表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数列，则第4个数字为，故选项正确，
故选：.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，当时，，且，则（ ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由题知函数图象关于对称，，进而得也为周期函数，周期为，再根据周期性求解即可.
【详解】解：因为均为偶函数，
所以
所以，函数图象关于对称，函数图象关于对称，
因为，
所以，为常数，即，
因为，
所以，令得，即
因为当时，且，
所以，即，解得，
所以，当时，，，
因为函数图象关于对称，所以，
因为，即，
所以，
令，则，
所以，即函数为周期函数，周期为，
所以也为周期函数，周期为.
因为函数图象关于对称，所以，
所以，
所以，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据奇偶函数的定义式推导得到函数的对称性，进而根据对称性与周期性的关系求得函数的周期性，将问题转化为函数一个周期内的函数值的求解问题.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值是1 B. 的最小值是4
C. 的最大值是 D. 的最小值是1
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判断；对于C：利用二次函数求最值.
【详解】正数x，y满足.
对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.
所以的最大值是1.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；
对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，
所以，
所以当时，的最大值是.故C正确；
对于D：因为正数x，y满足，所以，
所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.
故选：AC
10. 已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）

A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 将函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像
D. 方程在上有7个不相等的实数根
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意得，再结合三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知，，即，故，解得，
所以，
再将代入解析式得，解得，
因为，所以，即，
对于A选项，当时，，由于是函数的一条对称轴，故的图像关于直线对称，正确；
对于B选项，当时，，由于是函数的一个对称中心，故的图像关于点对称，正确；
对于C选项，函数的图像向左平移个单位长度，故错误；
对于D选项，，即，故或，即或，
所以，当时，的实数根为，，共个不相等的实数根，故错误.
故选：AB
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点，则的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 若，则直线的斜率为
D. 过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断A；根据判断B；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断D.
【详解】解：由题知，，准线方程为，
对于A选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故正确；
对于B选项，设，故，故错误；
对于C选项，当直线的斜率不存在时，，不成立；
故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立得，
所以，
因为，
所以，即，解得，故正确；
对于D选项，设过点与抛物线相切的直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以，整理得，
所以，故即为，整理得
同理得过点与抛物线相切的直线方程为，
所以，联立方程，解方程得，
因为，所以
所以，即点的横坐标为，故正确.
故选：ACD

12. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，M为棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值1
B. 当直线与平面所成角为时，点P的轨迹长度为
C. 若直线平面，则线段长度的最小值为
D. 直线被正四棱柱外接球所截得线段长度的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项：P在上底面上运动，则点到底面的距离为定值，体积公式计算可求出结果；B选项：利用为定值，可求出点的轨迹为圆的一部分，从而求出轨迹长度；C选项：直线平面，则所在的平面与平面平行，可发现，计算到的距离再勾股运算，可求出的最小值；D选项：结合弦长最短和P在上底面上运动，可知在中点时，弦长最短，直线过球心时，弦长最长，从而求出范围.
【详解】解：A选项：P在上底面上运动，点到底面的距离为定值3，所以，故A正确；
B选项：

连接，直线与平面所成角为，即，则有为定值，即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，所以点P的轨迹长度为，故B错误；
C选项：


因为平面平面，所以若直线平面，则有，到的距离为，所以，故C正确；
D选项：


正四棱柱外接球的半径为，因为P在上底面上运动，所以弦最短时在上底面的边上，当在中点时，直线被球截得的弦最短，此时弦长为，当直线过球心时，弦长最长为，所以线段长度的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数____________．
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.
【详解】因为，所以，

所以，又，
所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，
解得：．
故答案为：.
14. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理，写出通项，根据多项式乘法，结合赋值法，可得答案.
【详解】由，根据二项式定理，其展开式的通项为，
由，其展开式的通项可表示为，整理可得，
显然当时，取得常数项，其为.
故答案为：.
15. 在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示，．已知某地人群中患有此种癌症的概率为，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出，与，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.
【详解】由题意可得：
，，，
，
，
故答案为：.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，，，，进而结合双曲线的性质，余弦定理得，故且，进而得，再根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，因为过作圆的切线，切点为，
所以，，
所以，在中，，，，，
因为，延长交双曲线的左支于点，
所以，即，
所以，在中，，整理得，
所以，即，所以
因为，即，整理得，即
所以，
综上，双曲线离心率的取值范围是
故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的前n项和为．
（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．
条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）选择条件①，结合题意得，进而得为公比的等比数列，再根据等比数列求得，进而求解通项公式；
选择条件②，由题知，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由题知，进而根据裂项求和法得，进而得.
【小问1详解】
解：选择条件①，且，
由题意可得，
∴，即，
∴为公比的等比数列，
∵，∴，解得，
∴；
选择条件②为等比数列，且满足，
由题意可得，
∴，∴；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴不等式恒成立时，，即的最小值为．
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解
【小问1详解】
由余弦定理得，

∵，
∴
∴
∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，∴
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∵，又，∴，∴，
函数在上单调递减，在上单调递增
，
∴，
∴的取值范围为．
19. 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求．
附：；若，则．
【答案】（1）200；150
（2）（ⅰ）；（ⅱ）95.44
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均数与方差即可；
（2）（i）由题知，进而根据正态分布求解即可；
（ii）由题知，进而根据二项分布求解即可；
【小问1详解】
解：由题意得，

【小问2详解】
解：由题意得，
（ⅰ）∵，
∴；
（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间的概率为，
∴，
∴．
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形中线就是高,得到,然后利用面面垂直的性质,得到平面,从而得到
（2）取的中点,因为为正三角形,所以,过作与交于点,则,所以两两垂直,以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量及二面角的大小为求得,可得点坐标,求出平面的一个法向量及,即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
∵O为的中点，，∴，
∵平面平面，且平面平面，平面
∴平面，又平面
∴
【小问2详解】
由（1）得平面，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得，

设是平面的一个法向量，则
∴，令，则，∴，
由题意可知是平面一个法向量，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直线，与圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据椭圆过点可得，然后再利用直线与圆相切得到，进而求解方程；
(2)由已知条件可得：，进而得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式得到点横坐标的表达式，根据直线的方程和基本不等式即可求出点横坐标的取值范围.
【小问1详解】
∵椭圆C经过点，∴，
由题意得直线的方程为，即，
∵直线与圆相切，∴，∴，
∴，∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设，点是的中点，
由得，∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴直线的方程为，
∴点M的横坐标为，
∵，∴，∴．
∴“点M的横坐标的取值范围为．
22. 已知函数．
（1）若在处取得极大值，求的单调区间；
（2）若恰有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为和；
（2）
【解析】
【分析】（1）求导之后，分解因式求出导函数的零点，按零点的大小分类讨论即可求解（2），显然是的零点，
则问题转化为方程，即恰有两个不为2的实数根，构造函数数形结合即可求解
【小问1详解】
由题意得，
令，则或，
①当时，即时，
令，则：令，则，或，
∴在上递减，在上递增，
∴在处取得极小值，此时不符合题意；
②当时，即时，则，
∴在上递增，
∴在处不取极值，比时不符合题意
③当时，即时，
令，则；令，则，或，
∴在和上递增，在上递减，
∴在处取得极大值，此时符合题意；
综上，单调减区间为，单调增区间为和
【小问2详解】
由题意得，显然是的零点，
则方程，即恰有两个不为2的实数根，
令，则，
令，则；令，则，
∴在上递增，在上递减，
当时，的值域为；当时，的值域为，
∴，且，∴，且，
综上，实数a的取值范围为．