广东省汕头市澄海中学2021届高三上学期第一次学段考试数学试题 Word版含答案

这是一份广东省汕头市澄海中学2021届高三上学期第一次学段考试数学试题 Word版含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

澄海中学2020-2021学年度第一学期第一次学段考试
数学科试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（　 　）
A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
2．已知复数，则|z|＝（　 　）
A． B． C． D．
3．设，，，则（　 　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有f（x）＝10×lg，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为（　　）
A．10 B．100 C．1000 D．10000
5．已知函数f（x）是偶函数，当0时，，则曲线y＝f（x）在
x＝1处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2 C．y＝x D．y＝x﹣2
6．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．600种
7．如图所示，在棱锥中，底面是正方形，
边长为，.在这个四棱锥中放入
一个球，则球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直
于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，
若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　）
A．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B．若x＞5，则x＞10
C．若ac＝bc，则a＝b D．若sinα＝sinβ，则α＝β
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）的最小正周期是
C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）的图象关于点对称
11．下列命题不正确的是（ ）
A．过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直
B．如果平面平面，平面平面，那么平面平面
C．已知，为直线，为平面，若，，则
D．，，为直线，为平面，，.“”的充要条件是“，且”
12．对于函数，下列结论正确的是（ 　）
A．任取x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立
B．对于一切x∈，都有f（x）＝2kf（x+2k）（k∈N*）
C．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣）有3个零点
D．对任意x＞0，不等式f（x）≤ 恒成立，则实数k的取值范围是[）
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为 ．
14．已知，展开式的常数项为15，则 ．
15．如右图所示，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，
边 上有3个不同的点, 则
=_______．

16．设函数f（x）＝|ln（﹣x）|+x2，
则使得f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．(10分) 在等差数列{an}中，已知a6＝16，a16＝36．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若_____，求数列{bn}的前n项和Sn．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

18．(12分)某市规划一个平面示意图为如图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，
CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE
＝，DE＝4km，BC＝CD＝km．
（1）求服务通道BE的长度；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？

19．（12分）三棱锥平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，
∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝＝1，．
（1）证明：BC⊥A1D；
（2）求二面角A﹣CC1﹣B的余弦值．




20．（12分）某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按（7，8]，（8，9]，（9，10]，（10，11]，（11，12]分组进行统计，甲地的实验结果整理为如图的频率分布直方图（其中a，b，c成等差数列，且2c＝3b），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．
抗疲劳次数（单位：万次）
（7，8]
（8，9]
（9，10]
（10，11]
（11，12]
频数
10
15
30
25
20
（1）求a，b，c的值并计算甲地实验结果的平均数．
（2）如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的2×2列联表：

质量不优秀
质量优秀
总计
甲地



乙地



总计



试根据上面完成的2×2列联表，通过计算分析判断，能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？
附：临界值表
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中K2的观测值k＝
（3）如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为
特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机
打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的
个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
21．（12分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），上顶点为B（0，1），离心率为，直线l：y＝kx﹣2交y轴于C点，交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求证：S△BOM•S△BCN为定值．

22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣alnx，g（x）＝ax．
（1）若a为负实数, 求函数F（x）＝f（x）+g（x）的极值；
（2）若不等式对x≥0恒成立，求a的取值范围．
澄海中学2020-2021学年度第一学期第一次学段考试数学试卷
评分标准
一、选择题答案(每小题5分，共40分;1-8题为单选题，9-12为多选题, 全部选对的得
5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
D
C
C
D
A
BCD
AD
BCD
ABC
6．【解析】根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为a、b、c，分2步进行分析：
①，甲乙两人均在丙领导人的同侧，考虑甲乙两人的顺序，有2×2＝4种情况，
②，三人排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排a，有4种情况，
四人排好后，有5个空位，在5个空位中任选1个，安排b，有5种情况，
五人排好后，有6个空位，在6个空位中任选1个，安排c，有6种情况，则
剩余3人的安排方法有4×5×6＝120种，则6人不同的安排方法有4×120＝480种；故选：C．
7．【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为，连接，，则
把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为，求出四棱锥的
表面积,
以及四棱锥的体积，
利用公式，即可计算.
故选：D

8．【解析】由题意，△ABF2的周长为24， ∵|AF2|+|BF2|+|AB|＝24，
∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，|AB|＝， ∴＝24﹣4a，∴b2＝a（6﹣a），
∴y＝a2b2＝a3（6﹣a），∴y′＝2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，
∴a＝4.5时，y＝a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b＝，∴c＝3，
∴e＝＝， 故选：A．
11．【解析】对于，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，
有且仅有一条．由此可得正确；在中，如果平面平面，平面平面，
那么平面与平面相交或平行，故错误；在中，若，，则与可能平行，可能异面，可能相交，故错误；在中，，，“”可得到“，且”， ，，“，且”不能得到“”，故错． 故选：．
12．【解析】函数f（x）的图象如上图所示，由图象可知f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴A选项正确；又由图可知
f（x+2k）＝（）kf（x）（kN*）
即f（x）＝2kf（x+2k），∴B选项正确；
由图象知y＝f（x）与y＝ln（x﹣）有3个交点，
∴C选项正确；又由图象知对任意x＞0，不等式
f（x）≤ 恒成立须≥（）n在n∈N*时恒成立，即k≥1，故D选项错误．故选：ABC．
二、填空题答案(每小题5分，共20分)
13． 5 14． 1 15． 16．（﹣∞，）∪（1，+∞）
15．【解析】由图可知,∠FAC=30°,∠ACF=60°，∴
∴即；
则.
同理
所以.
故答案为18.
16．【解析】根据题意，函数f（x）＝|ln（﹣x）|+x2，其定义域为R，
有f（﹣x）＝|ln（+x）|+x2＝|﹣ln（﹣x）|+x2＝f（x），即f（x）的偶函数，
当x≥0时，﹣x＝，则有0＜﹣x＝＜1，则有
ln（﹣x）＜0，则当x≥0时，f(x)＝|ln（﹣x）|+x2＝﹣ln（﹣x）+x2
＝ln（+x）+x2，函数y＝ln（+x）和y＝x2在区间[0，+∞）上都是增函数，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2x）＞f（x+1）⇒f（|2x|）＞f（|x+1|）⇒|2x|＞|x+1|，
变形可得：4x2＞x2+2x+1，即3x2﹣2x﹣1＞0，解可得：x＜﹣或x＞1，
即x的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；
四、解答题(共6道题，满分70分)
17．解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，解得， …………3分
故an＝6+（n﹣1）×2＝2n+4，n∈N*． …………5分
（2）方案一：选条件①
由（1）知，＝，
………………7分
则Sn＝b1+b2+…+bn＝＝＝．……10分
方案二：选条件②
由（1）知，，
（i）当n为偶数时，n﹣1为奇数，
Sn＝b1+b2+…+bn ＝﹣6+8﹣10+12﹣…﹣（2n+2）+（2n+4）
＝（﹣6+8）+（﹣10+12）+…+[﹣（2n+2）+（2n+4）]
＝2+2+…+2＝2×＝n， ………………7分
（ii）当n为奇数时，n﹣1为偶数，
Sn＝b1+b2+…+bn＝﹣6+8﹣10+12﹣…﹣2n+（2n+2）﹣（2n+4）
＝（﹣6+8）+（﹣10+12）+…+[﹣2n+（2n+2）]﹣（2n+4）
＝2+2+…+2﹣（2n+4）＝2×﹣（2n+4）＝﹣n﹣5， ………………9分
∴． ……10分
方案三：选条件③
由（1）知，＝（2n+4）•22n+4，
则Sn＝b1+b2+…+bn＝6•26+8•28+10•210+…+（2n+4）•22n+4，
，………………6分
两式相减，可得
………………7分
＝＝，……9分
∴． ……10分

18． 解：（1）∵连接BD，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，DE＝4km，BC＝CD＝km
∴在△BCD中，由余弦定理可得：
BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝3+3+2×＝9，∴BD＝3，……2分
∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝，
又∵∠CDE＝， ∴∠BDE＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝5． ……6分
（2）在△BAE中，∠BAE＝，BE＝5，
由余弦定理可得：BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE，
即：25＝AB2+AE2+AB•AE， ……7分
可得：（AB+AE）2﹣25＝AB•AE≤（）2，
从而（AB+AE）2≤25，即：AB+AE≤， ……10分
当且仅当AB＝AE时，等号成立， ……11分
即设计为AB＝AE时，折线段赛道BAE最长．……12分

19．（1）证明：∵A1A⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴A1A⊥BC， ……1分
在Rt△ABC中，BC＝，
由，得， ……2分
又，∴△DBA∽△ABC，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，
即AD⊥BC， ……3分
又AD∩A1A＝A，故BC⊥平面A1AD，
A1D平面A1AD，所以BC⊥A1D；……5分
（2）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ……6分
则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），
平面ACC1A1的法向量为， ……7分
设平面BCC1B1的法向量为，，
由，得，故， ……9分
所以，……11分
故二面角A﹣CC1﹣B的余弦值为．……12分
20．解：（1）由频率分布直方图的性质可得，0.05+a+b+c+0.35＝1，即a+b+c＝0.6，
∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a+c，∴b＝0.2，
又2c＝3b，∴a＝0.1，c＝0.3， ……2分
∴3 ，
故抗疲劳次数的平均数为9.3万次． ……3分
（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：
抗疲劳次数超过9万次的零件数为100×（0.35+0.2+0.05）＝60件，
不超过9万次的件数为100﹣60＝40件，
由乙地试验结果的分布表可得：
抗疲劳次数超过9万次的零件数为41+25+9＝75件, 不超过9万次的件数为100﹣75＝25件，
∴补充完整的2×2列联表为

质量不优秀
质量优秀
总计
甲地
40
60
100
乙地
25
75
100
总计
65
135
200
……………………4 分
∴， ……………5分
∴有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关． ……………6分
（3）在甲地试验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为（0.2+0.05）×1＝0.25，
以频率估计概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率为， ……7分
而ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，
P（ξ＝4）＝ ……10分
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P





数学期望E（ξ）＝．……12分

21． 解：（1）由题意可知：，解得，
∴椭圆G的方程为：； ……3分
（2）设点P（x1，y1），点Q（x2，y2），
联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣8kx+6＝0，……4分
∴，①， ……5分
∵点P（x1，y1），B（0，1），
∴直线BP的方程为：y﹣1＝x，令y＝0得，x＝，
∴M（，0）， ……7分
同理可得N（，0），……8分
∴S△BOM•S△BCN＝＝×|xM•xN|＝×
＝×＝ ……10分
把①式代入上式得：
S△BOM•S△BCN＝×＝×＝，
∴S△BOM•S△BCN为定值． ……12分

22．解：（1）F（x）＝x2﹣2x﹣alnx+ax， F（x）的定义域为（0，+∞）
， …1分
①，即﹣2＜a＜0时，F（x）在和（1，+∞）上递增，在上递减，，F（x）极小＝F（1）＝a﹣1； ……2分
②，即a＝﹣2时，F（x）在（0，+∞）上递增，F（x）没有极值；……3分
③，即a＜﹣2时，F（x）在（0，1）和上递增，F（x）在上递减，∴F（x）极大＝F（1）＝a﹣1，．…4分
综上可知：当a＝﹣2时，F（x）没有极值；
当﹣2＜a＜0时，，F（x）极小＝F（1）＝a﹣1；
当a＜﹣2时，F（x）极大＝F（1）＝a﹣1，．
……5分
（2）设（x≥0），， ……6分
设t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，，
， ……7分
∴φ（t）在[﹣1，1]上递增，∴φ（t）的值域为，
①当时，h'(x)≥0，h（x）为[0，+∞）上的增函数，
∴h(x)≥h（0）＝0，适合条件； ……8分
②当a≤0时，∵，∴不适合条件； ……9分
③当时，对于，，
令,,存在,使得x∈(0，x0)时，T'(x)＜0.
∴T（x）在（0，x0）上单调递减，∴T（x0）＜T（0）＝0，
即在x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴不适合条件． ……11分
综上，a的取值范围为． ……12分
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想的应用，难度比较大．