数学第三章 概率的进一步认识2 用频率估计概率精品表格精练

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教师课件出示：

《红楼梦》第62回中有这样的情节：

当下宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。

袭人笑道: “这是他来给你拜寿，今儿也是他的生日，你也该给他拜寿.”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞。”平儿还福不迭。

探春忙问："原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。”

探春笑道: “倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。

学生置身于情境之中,并陷入思考:为什么“便这等巧? ”

以小说情节开篇,引人入胜,直接引入与生日有关的话题,激发学生的学习兴趣.

讲授新课

思考下面几个问题

问题1  400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？

师：一年最多366天， 400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日。

师：这就是抽屉原理：把m个物品任意放进几个空抽屉里(m>n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。

问题2  300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗？

问题3 “我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗?

概率具有随机性，50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同，也不能说明其相应的概率为0.

为了证明上述的说法是否正确，我们可以通过大量重复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.

请你设计试验方案.

【做一做】

（1）每个同学课外调查10个人的生日.

（2）从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在表格中.

“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表

通过观察上面的表格你能发现什么？

人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，通过观察上面的表格能发现：如果人数不少于是23人，这种可能性就达到50%.

当人数是50人时，“有2个人的生日相同”的频率高达97.04%.

总结归纳

用频率估计概率

1. 试验得出的频率只是概率的估计值.

2. 对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A) 不可能小于0，也不可能大于1.

3. 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.

【想一想】

（1）一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少?

（2）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？

方案一：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.

方案二：每次随机摸出6个球，并记录其中红球与白球的比例，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.

思考：频率与概率有什么区别与联系？

所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变.

而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.

方法总结

（1）一般地，当试验的可能结果有有限个且各种可能结果发生的可能性相等时，用列举法，利用概率公式P(A)= ，求出概率.

（2）当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率。即用在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.

总结归纳

从以上角度讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率.

对于问题1,学生能给予肯定的回答“一定”,对于能力比较强的学生可以用"抽屉原理”加以解释。

问题2  学生会给出“不一定”的答案

问题3  学生表示怀疑

学生们通过调查，分析，得出结果，与小组成员合作交流。

学生们总结归纳。

学生做课本做一做练习题，巩固所学知识。

学生思考频率与概率的区别与联系，师生共析。

通过具体收集数据、实验、统计结果过程,丰富学生的数学活动经验,对本节课有更直观的感知,经历用实验估计理论概率的过程,初步感受到生日相同的概率较大。

通过以上探索活动,经历了大量重复试验,能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.约0.9704,很大.

本问题与前面生日问题类似,借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算,丰富数学活动经验,直观感受较复杂事件的概率问题.

通过实验，经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果,合作交流的过程,知道了用大量的实验频率来估计,一些复杂的随机事件的概率,当试验次数较多时,实验频率稳定于理论概率,还知道了“直觉并不可靠",。

课堂练习

1.课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2个人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.

方案一：分小组试验（6人一组），要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果，最后根据全班收集的数据.估算出6个人中有2个人生肖相同的概率.

方案二：可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取.

6个人中有2个人生肖相同的概率约为0.78

2.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的数量最有可能是(　A　)

A．5  B．10  C．12  D．15

3.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：

由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为___0.9___．(精确到0.1)

4.下列说法合理的是(　D　)

A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%

B．掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上

C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖

D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51

5.一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是____0.33____(精确到0.01)，由此估计出红球有___2_____个；

(2)现从该袋中一次摸出2个球，请用画树状图法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率．

由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的结果有4种，所以从该袋中一次摸出2个球，恰好摸到1个白球，1个红球的概率为

6.【2020·营口】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是(　B　)

A．0.90     B．0.82    C．0.85     D．0.84

7.【2020·邵阳】如图①所示，平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规

则图案的面积大约为(　B　)

A．6 m2  B．7 m2

C．8 m2  D．9 m2

学生们做练习。

拓展巩固学生所学知识。

课堂小结

本节课你学到了哪些知识？

 1.频率与概率的关系.

2.方法：用大量重复试验的频率去估计概率.

3.思想：用频率估计概率.

板书

课题：3.2 用频率估计概率

一、频率与概率的关系

二、用频率估计概率