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2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的数是( )
A. −3 B. 0 C. 5 D. 2
2. 一个几何体如图水平故置，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 春季是各种传染病的高发期，尤其是病毒性感冒，一般病毒的直径在100nm(1nm=10−9m)，较大的病毒直径为300至450nm，450nm用科学记数法表示为( )
A. 450×10−9m B. 45×10−8m C. 4.5×10−11m D. 4.5×10−7m
4. 化简a2⋅(−a)4的结果是( )
A. −a6 B. a6 C. a8 D. −a8
5. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M.若BC//EF，则∠BMD的大小为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 82.5°
6. 王刚同学记录了最近一周每天进行家务劳动的时间(单位：分钟)，并制作了折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 众数是25 B. 中位数是15 C. 平均数是25 D. 方差是40
7. 由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设备进行技术升级，边升级边生产.去年1−10月其利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，设备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的是( )
A. 由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利
B. 由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元
C. 由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元
D. 由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月
8. 如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=( )
A. 103
B. 5
C. 53
D. 6
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当y<0时，自变量x的取值范围为1
10. 已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC=6，S正方形EFGH=4，则AB+AC的最小值为( )
A. 6 2 B. 37 C. 3 5 D. 10
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算： 9−(12)−1= ______ ．
12. 分解因式：a2b−b= ．
13. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD//AB，CD=8，AB=10，则BC的长为______ ．
14. 如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，且∠BCD=90°．
(1)若AB=1，则BD= ______ ；
(2)连接AD，交BC于点E，则AEED= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解不等式组：x−1>02x+13≤3．
16. (本小题8.0分)
在边长为1的正方形网格中有格点△ABC(顶点均是网格线的交点)和格点M、N、P．
(1)以MN为对称轴作出△ABC的轴对称图形△A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出△A1B1C1；
(2)以P为旋转中心将△ABC顺时针旋转一定角度得到△A2B1C2，且B的对称点为B1，请画出△A2B1C2．
17. (本小题8.0分)
观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22−32=1×a−b，
第2个等式：22+32−42=2×0−b，
第3个等式：32+42−52=3×1−b，
第4个等式：42+52−62=4×2−b．
…
(1)根据以上等式规律：a= ______ ，b= ______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与去年9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
19. (本小题10.0分)
如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为18km.一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？(结果取整数)
(参考数据：sin67.4°=1213，cos67.4°=513，tan67.4°=125，sin37.0°=35，cos37.0°=45，tan37.0°=34)
20. (本小题10.0分)
已知⊙O与矩形ABCD的三边相切，CD边的切点为H，与AD交于E，F两点，EG为⊙O的直径，连接EH．
(1)求证：∠DEH=∠HEG；
(2)若∠DEG=∠DHE，求ABBC的值．
21. (本小题12.0分)
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在八年级共650名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)本次抽样调查中读了两部的学生有______ 人，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______ 度；
(2)估计八年级有多少学生读完了“四大名著”？
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从“四大名著”中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
22. (本小题12.0分)
纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？(不考虑墙壁的厚度)
(3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？
23. (本小题14.0分)
如图1，已知△ABC为等边三角形，D，E分别在AC，AB上，且BE=2CD，连接DE，过D点作DF⊥DE交BC于F点，连接EF．
(1)若E点和A点重合，则∠EFD= ______ ；
(2)若DF//AB，如图2，求证：四边形AEFD为平行四边形；
(3)猜想线段AE，EF，CF之间的数量关系，并利用图1给出证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5>2>0>−3，
∴所给的四个数中，最大的数是 5．
故选：C．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握主视图的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵1nm=10−9m，
∴450nm=450×10−9m=4.5×10−7m.
故选：D．
首先根据1nm=10−9m，把450nm表示成以m为单位的量，然后根据用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，把450nm用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：a2⋅(−a)4=a2⋅a4=a2+4=a6，
故选：B．
根据负数的偶次幂是正数，可得同底数的幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，先化成同底数的幂，再求同底数幂的乘法．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】
解：在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，
∴∠B=90°−∠C=60°，
∠F=90°−∠E=45°，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45°，
在△BMD中，∠BMD=180°−∠B−∠MDB=75°．
6.【答案】C
【解析】解：A、由图可知，最近一周每天进行家务劳动的时间出现20和25都是两次，所以众数是20和25，故不符合题意；
B、把数据从小到大排列，中位数是第4个数，所以中位数是25，故不符合题意；
C、平均数是(15+20+20+25+25+30+40)÷7=25，故符合题意；
D、方差为17×[(15−25)2+2×(20−25)2+2×(25−25)2+(30−25)2+(40−25)2]=3007，故不符合题意．
故选：C．
根据众数，中位数，平均数、方差的定义解答即可．
此题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了方差、中位数、平均数、众数的相关知识．
7.【答案】C
【解析】解：由函数图象可知，设备技术升级完成前和设备技术升级完成后都处于盈利状态，故A选项错误，不符合题意；
设反比例函数的解析式为y=ax，
将(1,200)代入，得a=200，
∴设备技术升级完成前y关于x的函数解析式为y=200x，
将x=100代入得，y=200100=2，
∴设备技术升级完成前后1、8、9、10月，共4个月利润超过100万元，故B选项错误，不符合题意；
将x=5代入y=200x得，y=2005=40，
∴设备技术升级完成后，从5月到7月，利润从40万元增长到100万元，即每月利润比前一月增加100−402=30(万元)，故C选项正确，符合题意；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
将(5,40)，(7,100)代入，得5k+b=407k+b=100，
解得：k=30b=−110，
∴设备技术升级完成后y关于x的函数解析式为y=3x−110，
将x=10代入y=3x−110，得y=300−110=190，
∴备技术升级完成后最大利润未超过200万元/月，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，再结合函数图象逐项判断即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法正确求出反比例函数和一次函数的解析式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AC，交EF于点M，BD于O，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴AECF=EMFM，
∵AE=1，EF=4，CF=2，
∴EM=43，MF=83，
在Rt△AEM中，AM= AE2+EM2= 12+(43)2=53，
在Rt△CFM中，MC= CF2+MF2= 22+(83)2=103，
∴AC=AM+CM=53+103=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5，
故选：B．
连接AC，交EF于点M，BD于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．
本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(c,0)，
∴a>0，−b2a=1+c2>0，
∴b<0，故A错误，不符合题意；
∵−b2a>1，a>0，
∴−b>2a，
∴2a+b<0，故B错误，不符合题意；
把(c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2+bc+c=0，
∴ac+b+1=0①，即ac+b=−1，故C错误，不符合题意；
把(1,0)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=0②，
①−②得ac−a+1−c=0，即a(c−1)−(c−1)=0，
∴a=1，故D正确，符合题意．
故选：D．
由题意可知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(c,0)，即可得出a>0，−b2a>0，进一步得出b<0，即可判断A错误；
由−b2a>1，a>0即可判断B错误；
把(c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2+bc+c=0，即可判断C错误；
由ac+b+1=0，a+b+c=0两式相减即可判断D正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点A作AM⊥BC，
∵S正方形EFGH=4，
∴EF=GF=HG=HE=2，GH//BC，
∴△AHG∽△ACB，
∴AGAB=HGBC=13，
∴BGAB=23，
∵GF//AM，
∴△BGF∽△BAM，
∴GFAM=BGAB=23，
∴AM=3，
作直线l//BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，
此时AB+AC=AB+AD=BD取得最小值，
∴CD=2AM=6，
∴BD= BC2+CD2=6 2，
∴AB+AC的最小值为6 2，
故选：A．
过点A作AM⊥BC，根据相似三角形的判定和性质得出AM=3，作直线l//BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可．
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
11.【答案】1
【解析】解：原式=3−2
=1．
故答案为：1．
直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】b(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：a2b−b
=b(a2−1)
=b(a+1)(a−1)．
故答案为：b(a+1)(a−1)．
13.【答案】 10
【解析】解：过点O作OH⊥CD于H，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，连接OC，如图，
则CH=DH=12CD=4，
在Rt△OCH中，OC=12AB=5，
∴OH= OC2−CH2= 52−42=3，
∵CD//AB，OH⊥CD，CE⊥AB，
∴OH//CE，
又∠CEO=90°，
∴四边形HOEC是矩形，
∴CE=OH=3，OE=CH=4，
∴BE=OB−OE=1，
∴BC= CE2+BE2= 10，
故答案为： 10．
过点O作OH⊥CD于H，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH=DH=4，再利用勾股定理计算出OH=3，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14.【答案】 10 25
【解析】解：(1)∵AB=1，
∴AC=2AB=2，
∵∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 1+4= 5，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD= 2BC= 10，
故答案为： 10；
(2)如图，过点D作DH⊥直线AC于H，交BC的延长线于N，
∴∠DHC=90°=∠BAC=∠BCD，
∴∠ACB+∠ABC=90°=∠ACB+∠DCH，AB//DH，
∴∠ABC=∠DCH，
又∵BC=CD，
∴△ABC≌△HCD(AAS)，
∴AB=CH，AC=DH，
∵AC=2AB，
∴设AB=a=CH，
则AC=2a=BH，
∵AB//DH，
∴△ABC∽△HNC，
∴ABAC=NHCH=12，
∴NH=12a，
∴DN=52a，
∵AB//DH，
∴△ABE∽△DNE，
∴AEDE=ABDN=25，
故答案为：25．
(1)由勾股定理可求BC的长，由等腰直角三角形的性质可求解；
(2)由“AAS”可证△ABC≌△HCD，可得AB=CH，AC=DH，通过证明△ABC∽△HNC，可求DN的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
15.【答案】解：由x−1>0得：x>1，
由2x+13≤3得：x≤4，
则不等式组的解集为1
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B1C2即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质．
17.【答案】−1 3
【解析】解：(1)等式右边由两部分组成，前面部分是序号与比序号小2的数的积，
∴a=−1，
由22+32−42=2×0−b，
解得b=3，
故答案为：−1，3；
(2)等式左边是连续的三个整数平方组成，前两个和减去第3个，且第1个底数与序号相同，可表示为：n2+(n+1)2−(n+2)2，
等式右边由两部分的差，第一部分为序号乘以比序号小2的数，第二部分为3，可表示为：n(n−2)−3，
因此，猜想的第n个等式为：n2+(n+1)2−(n+2)2=n(n−2)−3，
证明：左边=n2+(n2+2n+1)−(n2+4n+4)
=n2+n2+2n+1−n2−4n−4
=n2−2n−3，
右边=n2−2n−3，
∵左边=右边，
∴n2+(n+1)2−(n+2)2=n(n−2)−3．
(1)由等式的规律，可以发现a的取值，由其中任一等式可以得到b的值；
(2)根据等式中各部分与序号间的关系，猜想出第n个等式，然后证明左右两边相等即可．
本题考查数字变化类规律探究，解题时涉及列代数式，完全平方公式，发现变化部分与等式序号间的关系是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意得350(1+x)2=504，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【解析】本题考查一元二次方程的应用．
(1)根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
19.【答案】解：延长CB交DA的延长线于E，
由题意得，∠E=90°，∠BAE=67.4°，
设AB=x km，
∴BE=AB⋅sin67.4°=1213x(km)，AE=AB⋅cos67.4°=513x(km)，
∵BC=18km，
∴CE=BE+BC=(1213x+18)km，
∴DE=CE÷tan37°=43(1213x+18)(km)，
∴AD=DE−AE=43(1213x+18)−513x=46，
解得x=26，
答：港口A距离灯塔B有26km．
【解析】延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OH，如图：
∵H为CD边的切点，
∴OH⊥CD，
∴OH//AD，
∴∠DEH=∠OHE，
又∵OE=OH，
∴∠HEG=∠OHE，
∴∠DEH=∠HEG．
(2)解：由(1)知，∠1=∠2，∠2=∠3，
又∵∠DEG=∠DHE，即∠1+∠2=∠4，
∴∠4=2∠3，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠2=∠1=30°，∠4=60°，
设⊙O的半径为r，连接HG，如图：
∴EH⊥HG
∴HG=12EG=r，
由勾股定理可得EH= 3r，
同理，在△EDH中，DH=12EH= 32r，
∴AB=DC=DH+HC= 32r+r，
由图可知，BC=2r，
∴ABBC=( 32+1)r2r=2+ 32．
【解析】(1)根据题意，连接半径，由切线和平行线的性质即可证明．
(2)由题意先求出角度的大小，再利用勾股定理表示出AB、BC的长即可解答．
本题考查圆的切线的性质和矩形的性质，勾股定理，熟悉性质是解题关键．
21.【答案】6 72
【解析】解：(1)本次调查的人数为：10÷25%=40(人)，
读2部的学生有：40−2−14−10−8=6(人)，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×840=72°，
故答案为：6，72°；
(2)650×840=130(人)．
估计读完的有130人；
(4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是416=14，
即他们恰好选中同一名著的概率是14．
(1)根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
(3)根据(1)中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；
(4)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)由题意得，抛物线和y轴的交点为：(0,1.9)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−3)2+2.8，
将(0,1.9)代入上式得：1.9=a(0−3)2+2.8，
解得：a=−0.1，
则抛物线的表达式为：y=−0.1(x−3)2+2.8；
(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，
解得：x=3− 3(不合题意的值已舍去)，
即小明至少距离墙壁3− 3m时纸飞机才会顺利飞过墙壁；
(3)设纸飞机开始滑行时的高度为h米，则滑行的距离为2.5h，
则h=−0.1(x−3)2+2.8，
解得：h=3+ 28−10h(不合题意的值已舍去)，
则x+2.5h=10，
即3+ 28−10h+2.5h=10，
解得：h=145(舍去)或1.2，
即纸飞机开始滑行时的高度为1.2米时，才能使水平飞行距离至少为10米．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，即可求解；
(3)设纸飞机开始滑行时的高度为h米，则滑行的距离为2.5h，则h=−0.1(x−3)2+2.8，解得：h=3+ 28−10h(不合题意的值已舍去)，则x+2.5h=10，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、新定义、二次函数的图象和性质等，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】30°
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵BE=2CD，
∴AC=2CD，
当E点和A点重合时，如图，
则BD⊥DE，
∵DF⊥DE，
∴点B与点F重合，
∴∠EFD=∠CFD=12∠ABC=30°；
故答案为：30°；
(2)证明：∵DF//AB，
∴∠CFD=∠B=60°，∠CDF=∠A=60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD=DF=CF，
如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵DF⊥DE，FG⊥AB，DF//AB，
∴∠EDF=∠DEG=∠EGF=∠DFG=90°，
∴四边形DEGF为矩形，
∴EG=DF=CD，
∵BE=2CD，
∴BE=2EG，即EG=BG=12BE，
∴FG垂直平分BE，
∴△BEF为等腰三角形，
∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，∠BEF=60°，
∵∠BEF=∠A=60°，
∴EF//AD，
∴四边形AEFD为平行四边形；
(3)解：AE+CF=EF，理由如下：
如图，过点E作EH//BC，交AC于点M，交FD的延长线于点H，
则∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°，
∴△AEM为等边三角形，AE=EM=AM，
∴AB−AE=AC−AM，即BE=CM，
∵BE=2CD，
∴CM=2CD，
∴CD=DM，
∵EH//BC，
∴∠HMD=∠FCD，
在△MDH和△CDF中，
∠HMD=∠FCDDM=CD∠MDH=∠CDF，
∴△MDH≌△CDF(ASA)，
∴DH=DF，MH=CF，
∵DF⊥DH，DH=DF，
∴△EFH为等腰三角形，EH=EF，
∴AE+CF=EM+MH=EH=EF，即AE+CF=EF．
(1)当E点和A点重合时，可得BE=AC=2CD，再根据等边三角形的“三线合一”性质即可求解；
(2)由平行线的性质可得∠CFD=∠B=60°，∠CDF=∠A=60°，进而得到△CDF为等边三角形，CD=DF=CF，过点F作FG⊥AB于点G，则四边形DEGF为矩形，得到EG=DF=CD，由BE=2CD可得EG=BG=12BE，由DF⊥DE和∠B=60°可得△BEF为等边三角形，∠BEF=60°，以此得到EF//AD，即可证明四边形AEFD为平行四边形；
(3)过点E作EH//BC，交，AC于点M，交FD的延长线于点H，由平行线的性质可得∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°，则△AEM为等边三角形，AE=EM=AM，进而可得到BE=CM，由BE=2CD得到CD=DM，以此可通过ASA证明△MDH≌△CDF，得到DH=DF，MH=CF，由DF⊥DH可得△EFH为等腰三角形，EH=EF，于是利用线段之间的关系即可得到结论．
本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是理清题意，正确作出辅助线，学会利用数形结合思想解决问题．
2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的数是( )
A. −3 B. 0 C. 5 D. 2
2. 一个几何体如图水平故置，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 春季是各种传染病的高发期，尤其是病毒性感冒，一般病毒的直径在100nm(1nm=10−9m)，较大的病毒直径为300至450nm，450nm用科学记数法表示为( )
A. 450×10−9m B. 45×10−8m C. 4.5×10−11m D. 4.5×10−7m
4. 化简a2⋅(−a)4的结果是( )
A. −a6 B. a6 C. a8 D. −a8
5. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M.若BC//EF，则∠BMD的大小为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 82.5°
6. 王刚同学记录了最近一周每天进行家务劳动的时间(单位：分钟)，并制作了折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 众数是25 B. 中位数是15 C. 平均数是25 D. 方差是40
7. 由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设备进行技术升级，边升级边生产.去年1−10月其利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，设备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的是( )
A. 由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利
B. 由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元
C. 由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元
D. 由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月
8. 如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=( )
A. 103
B. 5
C. 53
D. 6
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当y<0时，自变量x的取值范围为1
10. 已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC=6，S正方形EFGH=4，则AB+AC的最小值为( )
A. 6 2 B. 37 C. 3 5 D. 10
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算： 9−(12)−1= ______ ．
12. 分解因式：a2b−b= ．
13. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD//AB，CD=8，AB=10，则BC的长为______ ．
14. 如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，且∠BCD=90°．
(1)若AB=1，则BD= ______ ；
(2)连接AD，交BC于点E，则AEED= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解不等式组：x−1>02x+13≤3．
16. (本小题8.0分)
在边长为1的正方形网格中有格点△ABC(顶点均是网格线的交点)和格点M、N、P．
(1)以MN为对称轴作出△ABC的轴对称图形△A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出△A1B1C1；
(2)以P为旋转中心将△ABC顺时针旋转一定角度得到△A2B1C2，且B的对称点为B1，请画出△A2B1C2．
17. (本小题8.0分)
观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22−32=1×a−b，
第2个等式：22+32−42=2×0−b，
第3个等式：32+42−52=3×1−b，
第4个等式：42+52−62=4×2−b．
…
(1)根据以上等式规律：a= ______ ，b= ______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与去年9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
19. (本小题10.0分)
如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为18km.一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？(结果取整数)
(参考数据：sin67.4°=1213，cos67.4°=513，tan67.4°=125，sin37.0°=35，cos37.0°=45，tan37.0°=34)
20. (本小题10.0分)
已知⊙O与矩形ABCD的三边相切，CD边的切点为H，与AD交于E，F两点，EG为⊙O的直径，连接EH．
(1)求证：∠DEH=∠HEG；
(2)若∠DEG=∠DHE，求ABBC的值．
21. (本小题12.0分)
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在八年级共650名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)本次抽样调查中读了两部的学生有______ 人，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______ 度；
(2)估计八年级有多少学生读完了“四大名著”？
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从“四大名著”中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
22. (本小题12.0分)
纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？(不考虑墙壁的厚度)
(3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？
23. (本小题14.0分)
如图1，已知△ABC为等边三角形，D，E分别在AC，AB上，且BE=2CD，连接DE，过D点作DF⊥DE交BC于F点，连接EF．
(1)若E点和A点重合，则∠EFD= ______ ；
(2)若DF//AB，如图2，求证：四边形AEFD为平行四边形；
(3)猜想线段AE，EF，CF之间的数量关系，并利用图1给出证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5>2>0>−3，
∴所给的四个数中，最大的数是 5．
故选：C．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握主视图的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵1nm=10−9m，
∴450nm=450×10−9m=4.5×10−7m.
故选：D．
首先根据1nm=10−9m，把450nm表示成以m为单位的量，然后根据用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，把450nm用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：a2⋅(−a)4=a2⋅a4=a2+4=a6，
故选：B．
根据负数的偶次幂是正数，可得同底数的幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，先化成同底数的幂，再求同底数幂的乘法．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】
解：在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，
∴∠B=90°−∠C=60°，
∠F=90°−∠E=45°，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45°，
在△BMD中，∠BMD=180°−∠B−∠MDB=75°．
6.【答案】C
【解析】解：A、由图可知，最近一周每天进行家务劳动的时间出现20和25都是两次，所以众数是20和25，故不符合题意；
B、把数据从小到大排列，中位数是第4个数，所以中位数是25，故不符合题意；
C、平均数是(15+20+20+25+25+30+40)÷7=25，故符合题意；
D、方差为17×[(15−25)2+2×(20−25)2+2×(25−25)2+(30−25)2+(40−25)2]=3007，故不符合题意．
故选：C．
根据众数，中位数，平均数、方差的定义解答即可．
此题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了方差、中位数、平均数、众数的相关知识．
7.【答案】C
【解析】解：由函数图象可知，设备技术升级完成前和设备技术升级完成后都处于盈利状态，故A选项错误，不符合题意；
设反比例函数的解析式为y=ax，
将(1,200)代入，得a=200，
∴设备技术升级完成前y关于x的函数解析式为y=200x，
将x=100代入得，y=200100=2，
∴设备技术升级完成前后1、8、9、10月，共4个月利润超过100万元，故B选项错误，不符合题意；
将x=5代入y=200x得，y=2005=40，
∴设备技术升级完成后，从5月到7月，利润从40万元增长到100万元，即每月利润比前一月增加100−402=30(万元)，故C选项正确，符合题意；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
将(5,40)，(7,100)代入，得5k+b=407k+b=100，
解得：k=30b=−110，
∴设备技术升级完成后y关于x的函数解析式为y=3x−110，
将x=10代入y=3x−110，得y=300−110=190，
∴备技术升级完成后最大利润未超过200万元/月，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，再结合函数图象逐项判断即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法正确求出反比例函数和一次函数的解析式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AC，交EF于点M，BD于O，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴AECF=EMFM，
∵AE=1，EF=4，CF=2，
∴EM=43，MF=83，
在Rt△AEM中，AM= AE2+EM2= 12+(43)2=53，
在Rt△CFM中，MC= CF2+MF2= 22+(83)2=103，
∴AC=AM+CM=53+103=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5，
故选：B．
连接AC，交EF于点M，BD于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．
本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(c,0)，
∴a>0，−b2a=1+c2>0，
∴b<0，故A错误，不符合题意；
∵−b2a>1，a>0，
∴−b>2a，
∴2a+b<0，故B错误，不符合题意；
把(c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2+bc+c=0，
∴ac+b+1=0①，即ac+b=−1，故C错误，不符合题意；
把(1,0)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=0②，
①−②得ac−a+1−c=0，即a(c−1)−(c−1)=0，
∴a=1，故D正确，符合题意．
故选：D．
由题意可知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(c,0)，即可得出a>0，−b2a>0，进一步得出b<0，即可判断A错误；
由−b2a>1，a>0即可判断B错误；
把(c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2+bc+c=0，即可判断C错误；
由ac+b+1=0，a+b+c=0两式相减即可判断D正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点A作AM⊥BC，
∵S正方形EFGH=4，
∴EF=GF=HG=HE=2，GH//BC，
∴△AHG∽△ACB，
∴AGAB=HGBC=13，
∴BGAB=23，
∵GF//AM，
∴△BGF∽△BAM，
∴GFAM=BGAB=23，
∴AM=3，
作直线l//BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，
此时AB+AC=AB+AD=BD取得最小值，
∴CD=2AM=6，
∴BD= BC2+CD2=6 2，
∴AB+AC的最小值为6 2，
故选：A．
过点A作AM⊥BC，根据相似三角形的判定和性质得出AM=3，作直线l//BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可．
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
11.【答案】1
【解析】解：原式=3−2
=1．
故答案为：1．
直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】b(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：a2b−b
=b(a2−1)
=b(a+1)(a−1)．
故答案为：b(a+1)(a−1)．
13.【答案】 10
【解析】解：过点O作OH⊥CD于H，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，连接OC，如图，
则CH=DH=12CD=4，
在Rt△OCH中，OC=12AB=5，
∴OH= OC2−CH2= 52−42=3，
∵CD//AB，OH⊥CD，CE⊥AB，
∴OH//CE，
又∠CEO=90°，
∴四边形HOEC是矩形，
∴CE=OH=3，OE=CH=4，
∴BE=OB−OE=1，
∴BC= CE2+BE2= 10，
故答案为： 10．
过点O作OH⊥CD于H，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH=DH=4，再利用勾股定理计算出OH=3，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14.【答案】 10 25
【解析】解：(1)∵AB=1，
∴AC=2AB=2，
∵∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 1+4= 5，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD= 2BC= 10，
故答案为： 10；
(2)如图，过点D作DH⊥直线AC于H，交BC的延长线于N，
∴∠DHC=90°=∠BAC=∠BCD，
∴∠ACB+∠ABC=90°=∠ACB+∠DCH，AB//DH，
∴∠ABC=∠DCH，
又∵BC=CD，
∴△ABC≌△HCD(AAS)，
∴AB=CH，AC=DH，
∵AC=2AB，
∴设AB=a=CH，
则AC=2a=BH，
∵AB//DH，
∴△ABC∽△HNC，
∴ABAC=NHCH=12，
∴NH=12a，
∴DN=52a，
∵AB//DH，
∴△ABE∽△DNE，
∴AEDE=ABDN=25，
故答案为：25．
(1)由勾股定理可求BC的长，由等腰直角三角形的性质可求解；
(2)由“AAS”可证△ABC≌△HCD，可得AB=CH，AC=DH，通过证明△ABC∽△HNC，可求DN的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
15.【答案】解：由x−1>0得：x>1，
由2x+13≤3得：x≤4，
则不等式组的解集为1
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B1C2即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质．
17.【答案】−1 3
【解析】解：(1)等式右边由两部分组成，前面部分是序号与比序号小2的数的积，
∴a=−1，
由22+32−42=2×0−b，
解得b=3，
故答案为：−1，3；
(2)等式左边是连续的三个整数平方组成，前两个和减去第3个，且第1个底数与序号相同，可表示为：n2+(n+1)2−(n+2)2，
等式右边由两部分的差，第一部分为序号乘以比序号小2的数，第二部分为3，可表示为：n(n−2)−3，
因此，猜想的第n个等式为：n2+(n+1)2−(n+2)2=n(n−2)−3，
证明：左边=n2+(n2+2n+1)−(n2+4n+4)
=n2+n2+2n+1−n2−4n−4
=n2−2n−3，
右边=n2−2n−3，
∵左边=右边，
∴n2+(n+1)2−(n+2)2=n(n−2)−3．
(1)由等式的规律，可以发现a的取值，由其中任一等式可以得到b的值；
(2)根据等式中各部分与序号间的关系，猜想出第n个等式，然后证明左右两边相等即可．
本题考查数字变化类规律探究，解题时涉及列代数式，完全平方公式，发现变化部分与等式序号间的关系是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意得350(1+x)2=504，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【解析】本题考查一元二次方程的应用．
(1)根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
19.【答案】解：延长CB交DA的延长线于E，
由题意得，∠E=90°，∠BAE=67.4°，
设AB=x km，
∴BE=AB⋅sin67.4°=1213x(km)，AE=AB⋅cos67.4°=513x(km)，
∵BC=18km，
∴CE=BE+BC=(1213x+18)km，
∴DE=CE÷tan37°=43(1213x+18)(km)，
∴AD=DE−AE=43(1213x+18)−513x=46，
解得x=26，
答：港口A距离灯塔B有26km．
【解析】延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OH，如图：
∵H为CD边的切点，
∴OH⊥CD，
∴OH//AD，
∴∠DEH=∠OHE，
又∵OE=OH，
∴∠HEG=∠OHE，
∴∠DEH=∠HEG．
(2)解：由(1)知，∠1=∠2，∠2=∠3，
又∵∠DEG=∠DHE，即∠1+∠2=∠4，
∴∠4=2∠3，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠2=∠1=30°，∠4=60°，
设⊙O的半径为r，连接HG，如图：
∴EH⊥HG
∴HG=12EG=r，
由勾股定理可得EH= 3r，
同理，在△EDH中，DH=12EH= 32r，
∴AB=DC=DH+HC= 32r+r，
由图可知，BC=2r，
∴ABBC=( 32+1)r2r=2+ 32．
【解析】(1)根据题意，连接半径，由切线和平行线的性质即可证明．
(2)由题意先求出角度的大小，再利用勾股定理表示出AB、BC的长即可解答．
本题考查圆的切线的性质和矩形的性质，勾股定理，熟悉性质是解题关键．
21.【答案】6 72
【解析】解：(1)本次调查的人数为：10÷25%=40(人)，
读2部的学生有：40−2−14−10−8=6(人)，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×840=72°，
故答案为：6，72°；
(2)650×840=130(人)．
估计读完的有130人；
(4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是416=14，
即他们恰好选中同一名著的概率是14．
(1)根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
(3)根据(1)中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；
(4)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)由题意得，抛物线和y轴的交点为：(0,1.9)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−3)2+2.8，
将(0,1.9)代入上式得：1.9=a(0−3)2+2.8，
解得：a=−0.1，
则抛物线的表达式为：y=−0.1(x−3)2+2.8；
(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，
解得：x=3− 3(不合题意的值已舍去)，
即小明至少距离墙壁3− 3m时纸飞机才会顺利飞过墙壁；
(3)设纸飞机开始滑行时的高度为h米，则滑行的距离为2.5h，
则h=−0.1(x−3)2+2.8，
解得：h=3+ 28−10h(不合题意的值已舍去)，
则x+2.5h=10，
即3+ 28−10h+2.5h=10，
解得：h=145(舍去)或1.2，
即纸飞机开始滑行时的高度为1.2米时，才能使水平飞行距离至少为10米．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，即可求解；
(3)设纸飞机开始滑行时的高度为h米，则滑行的距离为2.5h，则h=−0.1(x−3)2+2.8，解得：h=3+ 28−10h(不合题意的值已舍去)，则x+2.5h=10，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、新定义、二次函数的图象和性质等，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】30°
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵BE=2CD，
∴AC=2CD，
当E点和A点重合时，如图，
则BD⊥DE，
∵DF⊥DE，
∴点B与点F重合，
∴∠EFD=∠CFD=12∠ABC=30°；
故答案为：30°；
(2)证明：∵DF//AB，
∴∠CFD=∠B=60°，∠CDF=∠A=60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD=DF=CF，
如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵DF⊥DE，FG⊥AB，DF//AB，
∴∠EDF=∠DEG=∠EGF=∠DFG=90°，
∴四边形DEGF为矩形，
∴EG=DF=CD，
∵BE=2CD，
∴BE=2EG，即EG=BG=12BE，
∴FG垂直平分BE，
∴△BEF为等腰三角形，
∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，∠BEF=60°，
∵∠BEF=∠A=60°，
∴EF//AD，
∴四边形AEFD为平行四边形；
(3)解：AE+CF=EF，理由如下：
如图，过点E作EH//BC，交AC于点M，交FD的延长线于点H，
则∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°，
∴△AEM为等边三角形，AE=EM=AM，
∴AB−AE=AC−AM，即BE=CM，
∵BE=2CD，
∴CM=2CD，
∴CD=DM，
∵EH//BC，
∴∠HMD=∠FCD，
在△MDH和△CDF中，
∠HMD=∠FCDDM=CD∠MDH=∠CDF，
∴△MDH≌△CDF(ASA)，
∴DH=DF，MH=CF，
∵DF⊥DH，DH=DF，
∴△EFH为等腰三角形，EH=EF，
∴AE+CF=EM+MH=EH=EF，即AE+CF=EF．
(1)当E点和A点重合时，可得BE=AC=2CD，再根据等边三角形的“三线合一”性质即可求解；
(2)由平行线的性质可得∠CFD=∠B=60°，∠CDF=∠A=60°，进而得到△CDF为等边三角形，CD=DF=CF，过点F作FG⊥AB于点G，则四边形DEGF为矩形，得到EG=DF=CD，由BE=2CD可得EG=BG=12BE，由DF⊥DE和∠B=60°可得△BEF为等边三角形，∠BEF=60°，以此得到EF//AD，即可证明四边形AEFD为平行四边形；
(3)过点E作EH//BC，交，AC于点M，交FD的延长线于点H，由平行线的性质可得∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°，则△AEM为等边三角形，AE=EM=AM，进而可得到BE=CM，由BE=2CD得到CD=DM，以此可通过ASA证明△MDH≌△CDF，得到DH=DF，MH=CF，由DF⊥DH可得△EFH为等腰三角形，EH=EF，于是利用线段之间的关系即可得到结论．
本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是理清题意，正确作出辅助线，学会利用数形结合思想解决问题．
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