安徽省合肥市庐阳中学2021-2022学年中考联考数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,把△ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上,点O都落在直线MN上,直线MN∥AB,则点O是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.三条中线的交点 D.三条高的交点
2.某校举行运动会,从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元,且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元,则下列所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠COB内一点,且OE⊥AB,∠AOC=35°,则∠EOD的度数是( )
A.155° B.145° C.135° D.125°
4.一元二次方程x2-2x=0的解是( )
A.x1=0,x2=2 B.x1=1,x2=2 C.x1=0,x2=-2 D.x1=1,x2=-2
5.化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.二元一次方程组的解为( )
A. B. C. D.
7.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若,AC=3,则CD的长为
A.6 B. C. D.3
8.下列方程有实数根的是( )
A. B.
C.x+2x−1=0 D.
9.2016的相反数是( )
A. B. C. D.
10.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1,图2所示,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC.D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
12.若关于x的不等式组恰有3个整数解,则字母a的取值范围是_____.
13.如果a2﹣a﹣1=0,那么代数式(a﹣)的值是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动一个单位,依次得到点P1(0,1);P2(1,1);P3(1,0);P4(1,﹣1);P5(2,﹣1);P6(2,0)……,则点P2019的坐标是_____.
15.分解因式:___.
16.若点A(1,m)在反比例函数y=的图象上,则m的值为________.
17.若2a﹣b=5,a﹣2b=4,则a﹣b的值为________.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图,在中,,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点,、的延长线交于点.
求证:是⊙的切线;若,且,求⊙的半径与线段的长.
19.(5分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(﹣3,n)两点.求一次函数与反比例函数的解析式;根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
20.(8分)如图,在菱形ABCD中,E、F分别为AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G,求证:点G在BD上.
21.(10分)反比例函数的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)请判断点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由.
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点F,C是⊙O上两点,且,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,求⊙O的半径.
23.(12分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证:
(1)直线DC是⊙O的切线;
(2)AC2=2AD•AO.
24.(14分)某门市销售两种商品,甲种商品每件售价为300元,乙种商品每件售价为80元.该门市为促销制定了两种优惠方案:
方案一:买一件甲种商品就赠送一件乙种商品;
方案二:按购买金额打八折付款.
某公司为奖励员工,购买了甲种商品20件,乙种商品x()件.
(1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式;
(2)若该公司共需要甲种商品20件,乙种商品40件.设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品,其余按方案二的优惠办法购买.请你写出总费用w与m之间的关系式;利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠.
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、B
【解析】
利用平行线间的距离相等,可知点到、、的距离相等,然后可作出判断.
【详解】
解:如图,过点作于,于,于.
图1
,
(夹在平行线间的距离相等).
如图:过点作于,作于E,作于.
由题意可知: ,,,
∴ ,
∴图中的点是三角形三个内角的平分线的交点,
点是的内心,
故选B.
【点睛】
本题考查平行线间的距离,角平分线定理,三角形的内心,解题的关键是判断出.
2、B
【解析】
试题分析:设每个笔记本的价格为x元,根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可.
考点:由实际问题抽象出分式方程
3、D
【解析】
解:∵
∴
∵EO⊥AB,
∴
∴
故选D.
4、A
【解析】
试题分析:原方程变形为:x(x-1)=0
x1=0,x1=1.
故选A.
考点:解一元二次方程-因式分解法.
5、D
【解析】
将除法变为乘法,化简二次根式,再用乘法分配律展开计算即可.
【详解】
原式=×=×(+1)=2+.
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算,掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.
6、C
【解析】
利用加减消元法解这个二元一次方程组.
【详解】
解:
①-②2,得:y=-2,
将y=-2代入②,得:2x-2=4,
解得,x=3,
所以原方程组的解是.
故选C.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点,解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程,题目比较典型,难度适中.
7、D
【解析】
解:因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD,,所以在Rt△AEC 中,∠A=30°,又AC=3,所以CE=AB=,所以CD=2CE=3,
故选D.
【点睛】
本题考查圆的基本性质;垂经定理及解直角三角形,综合性较强,难度不大.
8、C
【解析】
分析:根据方程解的定义,一一判断即可解决问题;
详解:A.∵x4>0,∴x4+2=0无解;故本选项不符合题意;
B.∵≥0,∴=﹣1无解,故本选项不符合题意;
C.∵x2+2x﹣1=0,△=8=4=12>0,方程有实数根,故本选项符合题意;
D.解分式方程=,可得x=1,经检验x=1是分式方程的增根,故本选项不符合题意.
故选C.
点睛:本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9、C
【解析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知:2016的相反数是-2016.
故选C.
10、A
【解析】
根据图形,结合题目所给的运算法则列出方程组.
【详解】
图2所示的算筹图我们可以表述为:.
故选A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程组.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、或
【解析】
因为,, ,所以 ,欲使与相似,只需要与相似即可,则可以添加的条件有:∠A=∠BDF,或者∠C=∠BDF,等等,答案不唯一.
【方法点睛】在解决本题目,直接处理与,无从下手,没有公共边或者公共角,稍作转化,通过,与相似.这时,柳暗花明,迎刃而解.
12、﹣2≤a<﹣1.
【解析】
先确定不等式组的整数解,再求出a的范围即可.
【详解】
∵关于x的不等式组恰有3个整数解,
∴整数解为1,0,﹣1,
∴﹣2≤a<﹣1,
故答案为:﹣2≤a<﹣1.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用,能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关键.
13、1
【解析】
分析:先由a2﹣a﹣1=0可得a2﹣a=1,再把(a﹣ )的第一个括号内通分,并把分子分解因式后约分化简,然后把a2﹣a=1代入即可.
详解:∵a2﹣a﹣1=0,即a2﹣a=1,
∴原式=
=
=a(a﹣1)
=a2﹣a=1,
故答案为1
点睛:本题考查了分式的化简求值,解题的关键是正确掌握分式混合运算的顺序:先算乘除,后算加减,有括号的先算括号里,整体代入法是求代数式的值常用的一种方法.
14、(673,0)
【解析】
由P3、P6、P9 可得规律:当下标为3的整数倍时,横坐标为,纵坐标为0,据此可解.
【详解】
解:由P3、P6、P9 可得规律:当下标为3的整数倍时,横坐标为,纵坐标为0,
∵2019÷3=673,
∴P2019 (673,0)
则点P2019的坐标是 (673,0).
故答案为 (673,0).
【点睛】
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题,找到某种循环规律之后,可以得解.本题难度中等偏上.
15、
【解析】
先提取公因式,再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
故答案为:.
【点睛】
本题考查了分解因式,熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别,根据题目选择合适的方法是解题的关键.
16、3
【解析】
试题解析:把A(1,m)代入y=得:m=3.
所以m的值为3.
17、1.
【解析】
试题分析:把这两个方程相加可得1a-1b=9,两边同时除以1可得a-b=1.
考点:整体思想.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)证明参见解析;(2)半径长为,=.
【解析】
(1)已知点D在圆上,要连半径证垂直,连结,则,所以,∵,∴.∴,∴∥.由得出,于是得出结论;(2)由得到,设,则.,,,由,解得值,进而求出圆的半径及AE长.
【详解】
解:(1)已知点D在圆上,要连半径证垂直,如图2所示,连结,∵,∴.∵,∴.∴,∴∥.∵,∴.∴是⊙的切线;(2)在和中,∵,∴. 设,则.∴,.∵,∴.∴,解得=,则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为,=.
【点睛】
1.圆的切线的判定;2.锐角三角函数的应用.
19、(1)反比例函数的解析式为:y=,一次函数的解析式为:y=x+1;
(2)﹣3<x<0或x>2;
(3)1.
【解析】
(1)根据点A位于反比例函数的图象上,利用待定系数法求出反比例函数解析式,将点B坐标代入反比例函数解析式,求出n的值,进而求出一次函数解析式
(2)根据点A和点B的坐标及图象特点,即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围
(3)由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10,从而求得三角形ABC 的面积
【详解】
解:(1)∵点A(2,3)在y=的图象上,∴m=6,
∴反比例函数的解析式为:y=,
∴n==﹣2,
∵A(2,3),B(﹣3,﹣2)两点在y=kx+b上,
∴,
解得:,
∴一次函数的解析式为:y=x+1;
(2)由图象可知﹣3<x<0或x>2;
(3)以BC为底,则BC边上的高为3+2=1,
∴S△ABC=×2×1=1.
20、见解析
【解析】
先连接AC,根据菱形性质证明△EAC≌△FCA,然后结合中垂线的性质即可证明点G在BD上.
【详解】
证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,∴DA=DC,BD与AC互相垂直平分,
∴∠EAC=∠FCA.
∵AE=CF,AC=CA, ∴△EAC≌△FCA,
∴∠ECA=∠FAC, ∴GA=GC,
∴点G在AC的中垂线上,
∴点G在BD上.
【点睛】
此题重点考察学生对菱形性质的理解,掌握菱形性质和三角形全等证明方法是解题的关键.
21、(1)y= (2)点B(1,6)在这个反比例函数的图象上
【解析】
(1)设反比例函数的解析式是y=,只需把已知点的坐标代入,即可求得函数解析式;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.
【详解】
设反比例函数的解析式是,
则,
得.
则这个函数的表达式是;
因为,
所以点不在函数图象上.
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式:设出含有待定系数的反比例函数解析式y=(k为常数,k≠0);把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程;解方程,求出待定系数;写出解析式.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征.
22、(2)1
【解析】
试题分析:(1)连结OC,由=,根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC,而∠OAC=∠OCA,则∠FAC=∠OCA,可判断OC∥AF,由于CD⊥AF,所以OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线;
(2)连结BC,由AB为直径得∠ACB=90°,由==,得∠BOC=60°,则∠BAC=30°,所以
∠DAC=30°,在Rt△ADC中,利用含30°的直角三角形三边的关系得AC=2CD=1,在Rt△ACB中,利用含30°的直角三角形三边的关系得BC=AC=1,AB=2BC=8,所以⊙O的半径为1.
试题解析:(1)证明:连结OC,如图,
∵=
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA
∴OC∥AF
∵CD⊥AF
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线
(2)解:连结BC,如图
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵==
∴∠BOC=×180°=60°
∴∠BAC=30°
∴∠DAC=30°
在Rt△ADC中,CD=2
∴AC=2CD=1
在Rt△ACB中,BC=AC=×1=1
∴AB=2BC=8
∴⊙O的半径为1.
考点:圆周角定理, 切线的判定定理,30°的直角三角形三边的关系
23、(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】
分析:(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;
(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.
详解:(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,
∴OC⊥DC,
∴DC是⊙O的切线;
(2)连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AB=2AO,∠ACB=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴,即AC2=AB•AD,
∵AB=2AO,
∴AC2=2AD•AO.
点睛:本题主要考查圆的切线,解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质.
24、(1)y1=80x+4400;y2=64x+4800;(2)当m=20时,w取得最小值,即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时,总费用最低.
【解析】
(1)根据方案即可列出函数关系式;
(2)根据题意建立w与m之间的关系式,再根据一次函数的增减性即可得出答案.
解:(1) 得:;
得:;
(2)
,
因为w是m的一次函数,k=-4<0,
所以w随的增加而减小,m当m=20时,w取得最小值.
即按照方案一购买20件甲种商品;按照方案二购买20件乙种商品.
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