山东省烟台市中英文高级中学2023届高考模拟预测数学试题（含解析）

这是一份山东省烟台市中英文高级中学2023届高考模拟预测数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省烟台市中英文高级中学2023届高考模拟预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）
A．i B． C．1 D．
2．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（    ）

A． B． C． D．
3．设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（    ）
A．15 B．16 C．17 D．18
4．在梯形中，则的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
5．某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
6．设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足，若，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ）

A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
10．已知，且，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
11．已知函数，满足，则下列结论正确的是（    ）
A．的值域为 B．的最小值为2
C．的图象关于直线对称 D．是偶函数
12．函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ）
A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期
C．一定存在零点 D．

三、填空题
13．已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差 ．
15．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为 ．


四、双空题
16．已知数列的前项和为，且，，，则 ；若数列的前项和为，且，，则 ．

五、解答题
17．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．
18．已知的三个角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
19．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变昰服从正态分布，则，
20．如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．

(1)证明：平面平面;
(2)判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长;若不存在，请说明理由．
21．已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求该双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.
22．已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：.

参考答案：
1．C
【分析】根据复数的除法法则得到，求出虚部.
【详解】由得，
故复数z的虚部为1
故选：C
2．A
【分析】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断.
【详解】由频率分布直方图可知众数为，即，
平均数，
显然第一四分位数位于之间，则，解得，
所以.
故选：A
3．A
【分析】根据韦达定理求出公差d的范围，再运用等差中项求解.
【详解】因为 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中项知：  ，  ，
， ，即使得 的成立的最大 ；
故选：A.
4．D
【分析】将 作为基底表达 和 ，根据条件按照数量积的运算规则计算.
【详解】
依题意做上图， ，

，
故选：D.
5．A
【分析】由棱台体积得到棱台的高，并作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设正四棱台形状的高为，
故，解得，
取正方形的中心为，正方形的中心为，则，
故该模型的外接球的球心在上，设为点，连接，
设上底面正方形的边长为，，则，解得，，
故，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径为，该模型的外接球的表面积为.

故选：A
6．D
【分析】作图，根据几何关系以及椭圆的定义求解.
【详解】
依题意作上图，因为 是 的角平分线，  ，  ，
又P点在圆 的圆周上， ， 是直角三角形，
根据椭圆的定义有 ，
由勾股定理得： ，整理得： ，
即 解得 或 （舍）；
故选：D.
7．D
【分析】由得函数在时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
【详解】因为满足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因为，，
所以，所以，，
，
因为，所以.
故选：D.
8．B
【分析】根据导数的正负可知不合题意，当时，导数等于0有两个根转化为两个函数有2个交点，求出的切线，利用数形结合求解即可.
【详解】由题意知，时，，
又，当时，时，，所以，
矛盾，故，
由有两不同实数根可知，有两个不同交点，
设过原点与相切的直线为，切点为，
因为，所以，解得，
即，如图，
  
所以与有两个不同交点则需，解得，
又，所以，此时满足极大值点为，极小值点为，且.
故选：B
9．AC
【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.
【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，
青年人人数为，中年人人数为，
由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，
其他人群中，女性人数为，
故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；
B选项，中年人中男性人数为，
故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；
C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，
故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；
D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，
则，，，D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.
【详解】因为，，，
，所以，当且仅当等号成立，故A正确，
当,,则,故B错误；
因为，所以，故C正确;
当时,则，故D错误；
故选：AC.
11．AC
【分析】利用辅助角公式化简，再利用，求出，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】依题意，，所以的值域为，故A正确；
因为，
所以，即,解得，又，
所以当时，的最小值为，故B错误；
由，得的图象关于直线对称，故C正确；
，
，
所以，
所以是奇函数，故D错误.
故选：AC.
12．ACD
【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合可求解ABD,由零点存在性定理即可判断C.
【详解】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，
由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，
所以的图象关于对称，
对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确
对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，
对于B，，所以8不是的周期，
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见的奇偶性与对称性结合的结论有：
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
13．60
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，令，求出，再代入计算可得.
【详解】因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中常数项为.
故答案为：
14．/
【分析】记4次取到白球的个数为，则，可求得，结合方差的性质即可求得答案.
【详解】由题意得从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球的概率为,
记4次取到白球的个数为，则，则,
故,则,
故答案为：
15．和
【分析】根据斜率公式可得点，将其代入双曲线方程中，结合结合，，即可解方程求解.
【详解】设双曲线的方程为，设，，
故，由此
所以,将其代入双曲线方程中得，结合，，
所以，解得或（舍去），因此，
所以渐近线方程为：和.
故答案为：和
16． 2143
【分析】根据已知条件及与的关系，利用等比数列的定义及等比数列的通项公式，结合对数的运算及分组求和法即可求解.
【详解】因为，，
所以，解得，
当时，由，得，
所以，即，
所以，即，
又因为，
所以
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以.
所以，
因为，
所以，解得
当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：利用与的关系及等比数列的定义，再利用数列求和中的分组求和法即可.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解，
（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由，得
所以数列为等差数列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）当为奇数时，．当为偶数时．
所以

18．(1)
(2)

【分析】（1）根据，将等式中角，再根据三角恒等变换可得到角的三角函数值，即可求角.
（2）将式中根据三角恒等变换，再利用正余弦定理化角为边可得.
【详解】（1）若，则．
因为，
所以，
，
整理得．
解得（舍），，
因为，所以．
（2）因为．
所以
，

整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以．
19．(1)62
(2)182
(3)

【分析】（1）由频率直方图平均数的计算公式求解即可；
（2）由分析知，则，由原则求解即可；
（3）由题意可得出，对求导，得到函数的单调性和最值，即可求出答案.
【详解】（1）设样本平均数的估计值为
则．
解得．所以样本平均数的估计值为62．
（2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中．
所以．所以．
所以估计能参加复试的人数为．
（3）由该学生获一等奖的概率为可知：．
则．
令．．
当时，;当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．所以的最小值为．
20．(1)证明见解析
(2)存在点，的长为．

【分析】（1）将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.
【详解】（1）证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径．
因为
所以为弦的中点，且．
因为平面．
所以平面．
因为平面．
所以平面平面．
（2）
设平面交圆柱上底面于，交于点．
则二面角的大小就是二面角的大小．
分别以下底面垂直于的直线、为轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为，底面圆半径为3，所以．
则，设．
所以，
．设平面的一个法向量为．
由得：即：
令则．
设平面的一个法向量为．
由得：即：
令可得
所以
化简得，解得：或(舍)．
即：．又因为平面平面，平面平面
所以，且为的中点．
所以．
所以存在点，使得二面角的余弦值为的长为．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出双曲线的方程；
（2）利用三角形面积公式可得，结合韦达定理可得出结果.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，
又，，联立解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由已知有，双曲线的右焦点为，直线过双曲线的右焦点．
则

直线与直线的倾斜角互补，．
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立得，
所以，
因为，所以．所以，
所以，整理得．
所以，化简得，即，
所以直线的方程为，恒过点．所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由有两个不相等正根转化为函数与函数有两个交点，研究函数的单调性，数形结合求出a的范围；
（2）求导，分与两种情况研究函数的单调性，然后利用分析法证明，构造函数，求导，研究函数单调性，利用函数最值证明不等式.
【详解】（1）由题意，有两个不相等正根，
所以有两个不相等正根，即有两个不相等正根，
记函数，则，
令，得，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
令得，且，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0，
作出函数的图象，如图

要使有两个不相等正根，
则函数与函数有两个交点，
由图知，
故实数a的取值范围.
（2）函数定义域为，
当时，，在上单调递增，不符合题意；
当时，
若时，，在上单调递减，
若时，，在上单调递增，
由题意，不妨设，
先证明.
要证，即证；
因为，且在上单调递增，
故只需证明，
令，
则，所以在上单调递增，
所以当时，，则有，
因为，所以，则，故；
再证，即证.
因为，且在上单调递增，
只需证明，即证，
因为，所以，
所以只需证明，
令，
则．令，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，于是，
从而可得在上单调递减，故，
所以成立，故.
综上，.
【点睛】极值点偏移问题的解法：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.