2023届广东省深圳市高级中学高三模拟预测数学试题

深圳高级中学（集团）2023届高考适应性考试

数学试题答案

一、单选题

1．已知集合，，则集合等于（    ）

A．； B．； C．； D．．

【答案】D

【详解】当时，；当时，；

当时，，故，故，故选：D.

2．在复平面内，复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得：.故选：D.

3．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（    ）

A．    B．    C．3     D．8

【答案】A

【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.

【详解】设等差数列的公差，

∵等差数列的首项为1， 成等比数列，

∴，

∴，且，，

解得，

∴前6项的和为.

故选：A.

4．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ）

A． B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求

【详解】设

故选：C

5．已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则

 A．  B．

  C．  D．与的大小关系无法确定

【答案】A．

【解析】设棱柱的底面周长为，底面面积为，侧棱长为，斜棱柱的高为，

则，而，斜棱柱各侧面的高均不小于，所以，

于是，有，所以，．

6．已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.故选：D.

7．6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.

【详解】记 “两项竞赛参加人数相等”为事件A，

则

故选：B

8．已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系为

 A． B．  C． D．

【答案】C．

【解析】构造函数，得，，，．

当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增．

易知，所以，所以．

又，因为，所以，所以．

所以．

二、多选题

9．若函数（，，）的部分图象如图，则（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数

C．在上单调递减

D．的图象的对称中心为，

【答案】AC

【分析】首先根据函数图象得到，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，向左平移后得到，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据的图象的对称中心为，即可判断D错误.

【详解】由题图可知，因为当时，，所以.

因为，所以，所以.

由题图可知，所以，所以.

由题图可知，当时，取得最大值，

所以，，解得，.

又，所以，所以.

对于A，，则A正确.

对于B，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，

此函数不是奇函数，故B错误.

对选项C，，则，

所以在上单调递减，故C正确.

对选项D，，，得，，

所以的图象的对称中心为，，则D错误.

故选：AC.

10．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）

A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为

C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线

【答案】BCD

【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.

【详解】由双曲线的定义可得，

因为，所以，故A错误；

因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，

所以，所以的面积为，故B正确；

由勾股定理得，即，所以，故C正确

因为，所以，即

所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确

故选：BCD

11．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题意，易得，进而得到，结合含参函数，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.

【详解】由题意，可得，，

易知，则，，则在有解，

求导得：，令，解得，可得下表：

则当时，取得最大值为，

，

则的取值范围为，也即.

故选：BCD.

12．在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是

A．设平面平面，则

B．平面平面

C．设点，点，则的最小值为

D．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球

【答案】AB．

【解析】该四棱锥如图．

A：设平面平面，因为平面，

所以，所以A对；

B：∵平面平面，∴平面，∴．

又底面为矩形，所以，．

因为，，即，所以．

而，所以平面，平面平面，所以B对；

C：由B选项可知的最短距离就是，所以C错；

D：取、的中点，，则与平面、平面、平面都相切的球的半径即为的内切圆半径，

同理与平面、平面、平面都相切的球的半径即为的内切圆半径，所以，所以D错．

三、填空题

13．已知数列满足，，则______.

【答案】/

【分析】算出数列的前五项，找到数列的周期为3，则本题即可解决.

【详解】由，得.

因为，所以，，，，…，

所以是以3为周期的数列，则.

故答案为：

14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【分析】当时，代入条件即可得解.

【详解】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为            ．

【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，

则，，，，，，

任取一个零件是次品的概率为

如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为

，

16．已知动点到抛物线的焦点的距离为1，则的轨迹方程是         ；

若，是抛物线上的动点，则的最小值是           ．

【答案】，4

【解析】第二空解答：由题意可知，抛物线的焦点为．

设点，则由抛物线的定义得，

．

要使最小，则应有，此时有．

令，则，所以．

因为，显然有，则由基本不等式知，

当且仅当，即时等号成立．故的最小值为．

四、解答题

17．已知数列，的前n项和分别为，，且，，当时，满足．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由条件结合与的关系可求；

（2）由递推关系证明为等比数列，由此可求的通项公式，再利用错位相减法求和.

【详解】（1）因为，

所以，当时，，

又，当时，，

所以，当时，，

所以；

（2）因为，

所以，

所以，又，

所以数列为以为首项，公比为的等比数列，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以.

18．如图，三棱柱中，侧面是矩形，，，D是AB的中点.

(1)证明：；

(2)若平面，E是上的动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，根据线面垂直得出线线垂直；

（2）先设比值得出向量关系，根据空间向量法求已知二面角的值即可求出比值.

【详解】（1）取BC的中点F，连接，，记，

是AB的中点，，，，

在矩形中，，，

，，

，，平面 ,平面

，平面，

平面，；

（2）因为平面，，平面，所以，，

由矩形得，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，，则，，，，

所以

设是平面的一个法向量，则，

令，则.

设是平面的一个法向量，则

，令，则，，.

，或（舍去），

.

19．记的内角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)若点在边上，且，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；

（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.

【详解】（1）解：因为，

由余弦定理可得，

化简可得，由余弦定理可得，

因为，所以，.

（2）解：因为，则为锐角，所以，，

因为，所以，，

所以，，

设，则，

在和中，由正弦定理得，，

因为，上面两个等式相除可得，

得，即，

所以，.

20．锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．

(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；

(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．

㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）

㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．

附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．

【答案】(1)0.5632

(2)（1）0.001；（2）答案见解析

【分析】（1）先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得三种幼苗均成活的概率；

（2）㈠利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概率统计的原理，言之有理即可.

【详解】（1）由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，

包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，

故概率为，

即，解得或（舍去）

又，故p的取值范围为，故p的最大值为0.8，

记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A，经济作物幼苗成活为事件B，

则有，．

故所求概率为．

（2）㈠设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径为，

由题意可知，因为，

所以由正态分布的对称性及“”原则可知：

．

㈡理由①：农林管理员的判断是合理的．

如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由（1）可知，

随机抽取10棵梭梭树，树杆地径都小于235mm的概率约为，

为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，

所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的．

理由②：农林管理员的判断是不合理的．

由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因素比较多，

例如有可能这10颗树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是

自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致．（答案不唯一，言之有理即可）

21．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．

（1）求轨迹的方程；

（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．

（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）

【详解】（1）设的坐标为，显然有，且，

当时，点的坐标为，

当时，，由，

有，即，化简可得，，而点也在曲线，

综上可知，轨迹的方程为；

（2）由，消去并整理，得，

由题意，方程有两根且均在内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴，解得，且，

设，的坐标分别为，，由及方程有

，，

∴，

由，且，得且，

故的取值范围是．

22. ·（1）当时，求证：.

（2）已知函数有唯一零点，求证：且.

参考答案：

（1）设       

，       ……1分

在上单调递增 

，得，即.     ……3分

（2）

，得在单调递减，在单调递增.

当时，，

，，且，，单调递减，，，单调递增.为极小值点，  ……5分

若有唯一零点，则，即

，即，将①代入②，得

即，若，则，

设，，当时，，在单调递增.           ……7分

，

，

由，得，等式两边取自然对数，得

根据（1）中时，   

，得   ……9分

（另解：

）

先证明时，       ……10分

，得

由

得，，

，设，且

，得.

综上           ……12分

（另解1：，，）

（另解2，得）