2023年湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验中学中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验中学中考模拟数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验中学中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．“你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了亿，数据用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下面四个立体图形中主视图是三角形的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（    ）
决赛成绩/分




人数/名




A．， B．， C．， D．，
6．不等式组的解集为（    ）
A． B． C． D．无解
7．如图，P是正内一点，若将绕点B旋转到，则'的度数为（　　）

A．45° B．
C． D．
8．下列函数图象中，表示直线的是（    ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（    ）

A． B．5 C．10 D．20

二、填空题
11．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝ cm．

14．分式方程的解是 .
15．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 度．

16．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为 ．
  

三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中，
19．如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若，求有效测温区间的长度．（参考数据：，，）

20．《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类——完全知晓；B类——知晓；C类——部分知晓；D类——不知晓．并根据调查结果制作了如下不完整的统计图．
知晓等级
频数（人）
频率
A
m
0.1
B
20
0.4
C
a
n
D
10
0.2
请根据图表中的数据回答下列问题：
(1)表中________，________，________；
(2)补全条形统计图；
(3)为了加大《民法典》的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
21．如图：已知点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与分别交于E，
  
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
22．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
23．如图所示，在矩形中，点E在线段上，点F在线段的延长线上，连接交线段于点G，连接，，．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
24．已知a、b是两个不相等的实数且，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有为正数，我们就称此函数是闭区间上的“t倍函数”．例如：正比例函数，当时，，则是上的“2倍函数”．
(1)已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，且，求的值；
(2)①已知正比例函数是闭区间上的“t倍函数”，求t；
②一次函数是闭区间上的“2倍函数”，求此函数的解析式．
(3)若二次函数是闭区间上的“7倍函数”，求实数a、b的值．
25．如图，在中，为直径，点，点P是上的一个动点．
      
(1)如图1，点P是弧上的一个动点，连接分别交直径于点F、
①如果，则______ ， ______ 填“>”或“<”或“=”；
②求证：
(2)如图2，点P是弧上的一个动点，连接交直径于点 E 作射线交的延长线于点图中有和相等的线段吗？如果有请写出并证明，如果没有请说明理由；
(3)如图1，点P是弧上的一个动点，连接分别交直径于点F、设的半径为r，，，求出的长（用含m，n，r的代数式表示）

参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2．B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、主视图是三角形，符合题意；
B、主视图是正方形，不符合题意；
C、主视图是圆形，不符合题意；
D、主视图是长方形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查三视图，熟知主视图是从物体正面看到的是解题关键．
4．C
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】根据中位数和众数的定义判断即可．
【详解】解：由题意得共有人进入决赛，
∴中位数为第人的成绩，为分；
∵数据出现了次，最多，
∴这组数据的众数为分．
故选：．
【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
6．A
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再利用不等式组解集的口诀“同小取小”得出解集．
【详解】解：
由①，得：x≤2，
由②，得：x＜1，
则不等式组的解集为：x＜1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，关键在于根据解集的特点确定解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解得到．
7．B
【分析】旋转的性质：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，进行解题即可．
【详解】由已知得，
所以，
所以



故选：B．
【点睛】本题考查旋转角，熟记旋转的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
9．D
【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点C为的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果．
【详解】解：∵四边形内接于⊙O，，
∴，
∵点C为中点，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和．
10．C
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
11．x≥3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
12．/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．4
【分析】根据圆周角定理，可得出∠C＝90°；在Rt△ABC中，已知特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°；
在Rt△ACB中，∠A＝30°，AB＝8cm；
因此BC＝AB＝4cm．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．x=2
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故答案为：x=2．
【点睛】考点：解分式方程．
15．90
【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；
【详解】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=90°，
故答案为90．
【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
【详解】解：的图象均在第一象限，
，
点，均在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值．
17．
【分析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18．，
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：

，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．
【分析】延长交于点，则，根据锐角三角函数即可求解．
【详解】如图，延长交于点，则．

．
在中，
，
在中，
，
．
．
答：有效测温区间的长度约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
20．(1)5；15；0.3
(2)见解析
(3)

【分析】（1）先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到m；总人数减去A、B、D的人数可得a；a除以总人数50可得n；
（2）根据人数补图即可；
（3）列树状图解答．
【详解】（1）解：总调查人数为人，
，
，
，
故答案为：5,15,0.3；
（2）补全条形统计图如图：

（3）由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为．
【点睛】此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)1

【分析】由“”证明；
由全等三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）证明：点C是线段的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．(1)20元
(2)2250元

【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，



解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据矩形的性质可得，再根据平行四边形的判定方法，即可证明结论；
（2）根据题意，得出，再根据矩形的性质，得到，，然后利用，得出，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
在中，
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
24．(1)2019
(2)①；②或
(3)，或者，

【分析】（1）根据新定义和函数增减性对应代入得到，利用完全平方公式求出的值；
（2）①根据新定义和正比例函数的增减性，发现当时，，得出t值；
②根据新定义和一次函数的增减性，分情况讨论和的x与y的对应变化，综合分析，得出函数的解析式；
（3）根据新定义和二次函数的增减性，分三种情况进行探讨，在各个区间段满足，综合分析得出a、b值．
【详解】（1）已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，
当时，，
当时，；当时，，
又，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，
，且，
，
又，
，

（2）①已知正比例函数，y随x的增大而增大，
且当时，；当时，，
当时，，
是闭区间上的“1倍函数”，即
②一次函数是闭区间上的“2倍函数”，
当时，，
若时，y随x的增大而增大，
当，则；当，则，
，
，将代入，得，

若时，函数解析式为
若时，y随x的增大而减小，
当时，；当时，，
，
若时，函数解析式为，
综合以上分析，函数的解析式为或．
（3）由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
二次函数是闭区间上的“7倍函数”，
当时，，
若时，
根据增减性，当时，；
当时，，
两式相减得：，
，
，
将代入得：
，
或，
当时，；当时，（舍去，）．
若时，当时，，
解得（舍去）或，
当时，
解得或，均不符合，舍去．
若，时，当时，，
，
则时，，若，，舍去，
当时，，则（舍去）或．符合题意．
综上分析，，或者，．
【点睛】本题综合考查了新定义下的一次函数性质，二次函数性质，反比例函数性质，综合性较强，分情况探讨是本题一大亮点．
25．(1)①，=；②见解析
(2)有，，见解析
(3)

【分析】①连接，由，，知是等边三角形，，故，又，可得；证明，可得；
②结合①知，又，故；
连接，证明，即得；
证明，得；证明∽，由，得，把代入可得
【详解】（1）①解：连接，如图：
  
，，
是等边三角形，
，
∵，
，
，
，
；
为直径，
，
，
为的直径，
，
∴，
，
，
；
故答案为：，；
②证明：如图：
  
，，
∽；
（2）解：图中有和相等的线段，证明如下：
连接，如图：
    
，，
是等边三角形，
，，
∵，
，
，
；
（3）解：如图：
  
，，
，
，即；
，，
，
，即，
，
把代入得：
，
解得：
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，相似三角形解决问题．