易错点11 立体几何-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错分析
一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错
1.如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值．
【错解】（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则..
则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【错因】混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系，实际上直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即。
【正解】
二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致
2、如图所示的几何体是由棱台ABC－A1B1C1和棱锥D－AA1C1C拼接
而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,
BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角A1-BD-C1的余弦值.
【错解】设交于点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,如图建立空间直角坐标系,轴显然平行于直由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,得,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则令,得,从而
同理,
设平面的一个法向量为,则
令,得,从而,则.
故二面角的余弦值为.
【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
【正解】
三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为( )
A.eq \f(3\r(70),70) B．－eq \f(3\r(70),70) C．－eq \f(\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70)
【错解】选B，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则eq \(BD1,\s\up7(―→))＝(－1，－3,2)，
eq \(B1C,\s\up7(―→))＝(－1,0，－2)，从而cs〈eq \(BD1,\s\up7(―→))，eq \(B1C,\s\up7(―→))〉＝eq \f(eq \(BD1,\s\up7(―→))·eq \(B1C,\s\up7(―→)),|eq \(BD1,\s\up7(―→))||eq \(B1C,\s\up7(―→))|)＝eq \f(－3,\r(14)·\r(5))＝－eq \f(3\r(70),70).
【错因】两异面直线所成角的范围，而两向量夹角的范围为，错解中误认为两向量夹角就是两异面直线所成角。
【正解】
四、忽视异面直线所成角的范围致错
4．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ）
A． B．C．D．
【错解】A，如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，，
【错因】忽略了异面直线所成角的范围，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.
【正解】
5．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________．
【错解】60°，如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EGeq \f(1,2)AB，FGeq \f(1,2)CD，∴∠EGF是AB和CD所成的角，∠GEF是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE. 因为∠EGF＝60°，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°。
【错因】∠EGF不一定是AB和CD所成的角，还有可能是AB和CD所成的角的补角。
【正解】
五、误用垂直性质定理致错
6、已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【错解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．
对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；
对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.
∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.故正确，故选B.
【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．
【正解】
六、判断线面、线线位置关系考虑不全致错
7．若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是________．
【错解】a∥
【错因】没考虑a⊂α的情况。
【正解】
8、已知直线a，b和平面，β，若a⊂，b⊂，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是________．
【错解】平行
【错因】没考虑直线a，b的位置关系，
【正解】
9、若∥β，直线a∥，则a与β的位置关系是________．
【错解】a∥β
【错因】没讨论直线a与β的位置关系，
【正解】
10．若直线l与平面内的一条直线平行，则l和的位置关系是（ ）
A．B．C．或D．l和相交
【错解】A
【错因】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，忽略了平面外这个重要条件，本题中直线l与平面内的一条直线平行，也可能.
【正解】
七、证明线面平行、面面平行条件表达不全致错
11．如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，，AD＝2，为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．证明：平面PAD；
【错解】∵E，F分别为PC，PB的中点，∴．，所以，
∴平面PAD；
【错因】证明过程中，没有说明平面PAD.
【正解】
12、如图,四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝eq \f(1,2)AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【错解】证明 (1)连接EC,∵AD∥BC,BC＝eq \f(1,2)AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
【错因】(1)中没有指出FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF；
(2) 中没有指出FH∩OH＝H.
【正解】
八、分析问题不全面致错
13．圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．
【错解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则体积V＝πr2h，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2πr＝6π，,h＝4π))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,h＝4π))所以V＝36π2.
【错因】错解中只考虑了6π为底面周长的情况，而4π也有可能为底面周长。
【正解】
14、长方体的长、宽、高分别为3、2、1,从到沿长方体的表面的最短距离为________．
【错解】根据题意,将长方体展开，如图所示，
由图可知线段的长为最短距离，
有勾股定理得，
【错因】长方体展开应有三种可能，错解中只考虑了一种，
【正解】
九、斜二测画法中混淆原图与直观图关系致错
15．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________．
【错解】在中，,
由余弦定理得：,
得；同理;
所以周长为：。
【错因】错把直观图直接当原图了.
【正解】
16．如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _____ .
【错解】，因为，，且三角形的面积为，所以，所以，三角形的原平面图形如下所示：所以，且，所以；
【错因】忽略了，长度应该变为原来的2倍.注意，在直观图还原原图时：与轴平行（重合）的线段长度不变；与轴平行（重合）的线段长度直观图是原图的一半.
【正解】
十、混淆几何体的表面积与侧面积致错
17.如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为( )
A．4eq \r(15)π B．(2eq \r(15)＋4)π
C．(3eq \r(15)＋4)π D．(4eq \r(15)＋4)π
【错解】选A，设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，
所以h＝eq \r(42－1)＝eq \r(15)，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4eq \r(15)π，
【错因】应求该粮仓的表面积，错解中只求了侧面积。
【正解】
18、把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
【错解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝eq \f(2,π)，h＝l＝2，
所以V圆柱＝πr2h＝eq \f(8,π).
【错因】错解中漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．
【正解】
易错题通关
1．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行
2．下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0B．1C．2D．3
3．已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A．若，则存在无数条直线，使得
B．若，则存在无数条直线，使得
C．若存在无数条直线，使得，则
D．若存在无数条直线，使得，则
4.如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.eq \r(2) C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
5、在高为的正三棱柱中,的边长为2,为棱的中点,若一只蚂蚁从点沿表面爬向点,则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．3B．C．D．2
6．如图,在四面体ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,若AB与CD所成角的大小为60°,则MN与CD所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或60°D．15°或60°
7．（多选题）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
8．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
10．下列条件中，能判断两个平面平行的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
11．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
B．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m∥α，n∥α，则m∥n
13．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.
14、某圆锥母线长为2，底面半径为eq \r(3)，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为________．
15.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
16．如图所示，已知斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，则原的面积为____________．
17．如图所示，表示水平放置的的斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为______．
18．如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为________．

19.如图,在四棱锥中,,．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
20、如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F－AB－P的余弦值．