易错点02 常用逻辑用语-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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常用逻辑用语
混淆条件与结论致误
不对命题完全否定致误
已知命题真假求参数范围中忽视判别式等号取舍致错
已知命题真假求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
已知条件类型求参数范围中忽视等号取舍致错式
易错知识
1．有关充分必要条件的判断中，搞不清谁是条件，谁是结论，导致判断错误。
2．含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．而在做题时，往往顾此失彼致错。
3．处理已知条件类型求参数范围的问题时，对区间端点值处理不好而致错。
4.在命题真假与一元二次方程交汇的问题中，有关判别式是大于零还是大于等于零的处理不当而致错。
5. 在已知命题真假、条件类型求参数范围的问题中，忽视对高次项系数讨论致错
易错分析
一、混淆条件与结论致误
1．“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A．－10
C．－1【错解】ln(x＋1)<0等价于0【错因】本题中ln(x＋1)<0，即－1【正解】
【答案】D
【正解】ln(x＋1)<0等价于0二、不对命题完全否定致误
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数
C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【错解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方是有理数”，选B。
【错因】没有否定结论，
【正解】
【答案】A
【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【错解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”，选A。
【错因】没有改量词。
【正解】
【答案】C
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
三、已知条件类型求参数范围中忽视等号取舍致错
1．若不等式的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【错解】设，，因为不等式的必要不充分条件是，可得是的真子集，所以，解得，所以实数的取值范围是，选D.
【错因】忽略了对端点值和的判断。
【正解】
【答案】B
【解析】设，，因为不等式的必要不充分条件是，可得是的真子集，所以，解得：，经检验和符合题意，所以。
四、已知命题真假求参数范围中忽视判别式等号取舍致错
1．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【错解】由题意知不等式有解，，解得.因此，实数的取值范围是，选B.
【错因】不等式有解，则，而不是。
【正解】
【答案】A
【解析】已知命题，，若是真命题，则不等式有解，，解得.因此，实数的取值范围是.
五、已知命题真假求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
1．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【错解】由已知得，为真命题，所以，解得，
∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。
【正解】
【答案】C
【解析】由已知得，为真命题，
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，∴命题为真命题的的取值范围为，∴命题为假命题的的取值范围是.
六、已知条件类型求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
1．（多选题）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值是（ ）
A．﹣2B．C．0D．
【错解】由题意得，，因为p是q的必要不充分条件，所以 A，所以当或时，也满足题意，解得或，选BD。
【错因】没有对的系数a分情况讨论。
【正解】
【答案】BCD
【解析】由题意得，当时，，当时，，
因为p是q的必要不充分条件，所以 A，所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或.
2． “关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-4≤a≤0B．-4C．-4≤a<0D．-4【错解】若关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R，则，解得，
观察选项要找范围大的，可得−4【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。
【正解】
【答案】A
【解析】关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R，
（1）当时，，解集为R；
（2）当时，，解得，综合可得，观察选项要找范围大的，可得−4易错题通关
1．命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】 “a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：a，b>0，
a＋≥2和b＋≥2都不成立.
2．使“”成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A选项，若，则成立，即充分性成立，反之，若，则
不一定成立，所以是“”成立的一个充分不必要条件，对于B选项，当时，由得，则不成立，即不是充分条件，不满足条件；对于C选项，由，若，，则，则不一定成立，所以不是的充分条件，不满足条件，对于D选项，由可得，则是成立的充要条件，不满足题意。
3．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形
C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360°
【答案】D
【解析】对A，，一元二次方程有实根，其否定为：，一元二次方程无实根，由△，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题；对C，，，其否定为：，，由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题；对D，存在一个四边形，其内角和不等于，其否定为任意四边形，其内角和等于，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为，可得原命题为假命题，其否定为真命题．
4．“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为当直线m垂直于平面α内的所有直线时，才能得到m⊥α，所以由直线m垂直于平面α内的无数条直线不一定能推出m⊥α，但是由m⊥α一定能推出直线m垂直于平面α内的无数条直线，所以“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的必要不充分条件．
5．设x>0，y>0，则“x＋y＝1”是“xy≤eq \f(1,4)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当x＋y＝1时，xy≤eq \f(x＋y2,4)＝eq \f(1,4)，当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时取等号，
故“x＋y＝1”是“xy≤eq \f(1,4)”的充分条件；当xy≤eq \f(1,4)时，x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)满足xy≤eq \f(1,4)，
但不满足x＋y＝1，故“x＋y＝1”不是“xy≤eq \f(1,4)”的必要条件．
综上，“x＋y＝1”是“xy≤eq \f(1,4)”的充分不必要条件，故选A.
6．（多选）下列命题的否定中，真命题的是（ ）
A．，B．所有正方形既是矩形也是菱形
C．，D．所有三角形都有外接圆
【答案】AC
【详解】选项A，，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项A满足条件；选项B，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B不满足条件；选项C，当时，，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C满足条件；选项D，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D不满足条件.
7．（多选）下列选项中p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．p：两直线平行，q：内错角相等
【答案】AC
【解析】A:集合是集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件；B:,故不能推出，由，，所以是的必要不充分条件.C: 可得，集合是集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件；D:根据平面几何中平行直线的判定定理和性质定理可知，是充要条件.故选: AC。
8．已知命题p：x2－3x＋2≤0，命题q：x2－4x＋4－m2≤0.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
【答案】D
【解析】由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2，由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|，
若p是q的充分不必要条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))≤1，,2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))>2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－|m|<1，,2＋|m|≥2，))解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.
9．已知；，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，，即，解得：，设,，故是的必要不充分条件.
10．（多选）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤0B．a≥5C．a≥0D．a≤5
【答案】AB
【解析】因为命题“，”且命题p是假命题，可得命题“，”为真命题，即，恒成立，可得，即，解得或，即实数a的取值范围是或.
11．(多选)下列命题正确的是( )
A．“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】若eq \f(1,a)<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确；根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选A、B、D.
12．命题“，”的否定是___________.
【答案】“，”
【详解】命题“，”的否定为“，”
13．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，则A＝[－1,3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋2≥－1，,2a＋2≤3，))∴a≤eq \f(1,2)，又∵a>0，∴014．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．设．是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），．
15．命题“，”的否定是______．
【答案】，
【详解】∵命题“，”的否定是：，．
16．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由题意得不等式对恒成立．①当时，不等式在上恒成立，符合题意．②当时，若不等式对恒成立，则，解得．综上可得：，所以实数的取值范围是．
17．设，，，是的必要条件，但不是的充分条件，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由题意可知，是的必要不充分条件，所以，，
所以，解之得.因此，实数的取值范围是.
18．若“∃x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(35,6)，＋∞))
【解析】因为“∃x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，所以“∀x∈[4,6]，x2－ax－1≤0”为真命题，
即x－eq \f(1,x)≤a对∀x∈[4,6]恒成立，所以a≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))max且x∈[4,6]，
又因为f(x)＝x－eq \f(1,x)在[4,6]上是增函数，所以f(x)max＝f(6)＝6－eq \f(1,6)＝eq \f(35,6)，所以a≥eq \f(35,6).
19．在①，，②存在区间，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数．
问题：求解实数，使得命题，，命题______，都是真命题．
（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分.）
【答案】答案见解析.
【详解】
选条件① 由命题为真，可得不等式在上恒成立．因为，，所以，若命题为真，则方程有解．所以判别式，所以或．又因为，都为真命题，所以所以或．所以实数的取值范围是或．
选条件②
由命题为真，可得不等式在上恒成立．因为，．所以．因为集合必有，得或，即或，
又因为，都为真命题，所以，解得．所以实数的取值范围是．