中考数学真题汇编第1期08 三角形

这是一份中考数学真题汇编第1期08 三角形，共51页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。











数学

中考数学真题汇编第1期
专题08 三角形
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　）
  
A． B． C． D．
4．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（    ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·湖南·统考中考真题）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（    ）．
  
A． B． C． D．
7．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）
  
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ）
  
A． B． C． D．一定经过的内心
11．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
12．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　）
  
A． B． C． D．
13．（2023·天津·统考中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）
  
A．9 B．8 C．7 D．6
15．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）
  
A． B． C． D．
16．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．
  
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
18．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
19．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（    ）
  
A． B． C． D．
20．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   )
A．1 B．2 C．6 D．8
21．（2023·浙江温州·统考中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（    ）
  
A． B． C． D．
22．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为(    )
  
A． B．1 C． D．2
23．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，，平分，则（    ）
  
A． B． C． D．
24．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）
  
A．12 B．14 C．18 D．24
25．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（　　）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
27．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）
  
A． B． C． D．
28．（2023·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ）
A． B． C． D．
29．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（    ）
    
A． B． C． D．
30．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（    ）
  
A． B． C． D．
31．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
32．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，，则______．
  
33．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．
  
34．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．
  
35．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）．
  
36．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为________．
  
37．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．
  
38．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．
  
39．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则___________．
  
40．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，己知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号）
  
41．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．
  
42．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______．  
  
43．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．
      
44．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．
  
45．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．
  
46．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．
  
（1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为________．
（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．
47．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．
  
48．（2023·江西·统考中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．
  
49．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________．
  
50．（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．
  
51．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．
  
52．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．
  
53．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为_____________．
  
54．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．
  
55．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）
56．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．
  
57．（2023·四川达州·统考中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为___________．
58．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．

59．（2023·湖南郴州·统考中考真题）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．
60．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是________三角形．
三、解答题
61．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
  
(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
62．（2023·河南·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图1，在中，，，射线平分，将射线绕点逆时针㧪转，得到射线，在射线上取点，使得，连接分别交于点，，连接．问：，之间的数量关系是什么？线段，之间的数量关系是什么？
  
【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：
甲同学：当时，如图2，通过探究可以发现，，，都是等腰三角形；
乙同学：可以证明，得到；
丙同学：过点做，垂足为，如图3，则；
丁同学：可以证明，，则，，…．
(1)根据以上探究过程，得出结论：，之间的数量关系是___________；线段，之间的数量关系是___________．
【类比探究】
(2)“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当时，如图1，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移应用】
(3)“创新”小组的同学们改变了条件，当时，如图4，若射线是的三等分角线，，其他条件不变，请直接写出的长．
  
63．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
  
(1)在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
(2)在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
64．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．
  
(1)直接判断的形状：是_________三角形；
(2)求证：；
(3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．
①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；
②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；
③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．
65．（2023·湖南·统考中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
  
(1)求教学楼的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
66．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．
  
(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
67．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．
  
(1)写出与的数量关系
(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
68．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
  
(1)求证：四边形为平行四边形
(2)，求线段的长度．
69．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
    
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
  
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
70．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．

(1)求的大小；
(2)若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
71．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
  
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
72．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
  

参考答案
1．C
2．B
3．B
4．C
5．D
6．C
7．B
8．C
9．B
10．C
11．B
12．D
13．A
14．D
15．C
16．A
17．C
18．C
19．A
20．C
21．C
22．C
23．B
24．C
25．D
26．C
27．D
28．C
29．B
30．C
31．D
32．52
33．/90度
34．
35．
36．
37．
38．/
39．
40．/
41．8
42．/
43．//．
44．3
45．4
46．
47．
48．
49．
50．
51．/
52．
53．
54．
55．4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
56．
57．
58．4
59．5
60．直角
61．（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，
  
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，
  
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，
  
由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为

．
62．（1）解：根据甲同学的探究：当时，如图2， ，，都是等腰三角形；
  
则，
∵射线平分，
∴，
∵将射线绕点逆时针㧪转，得到射线，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
根据乙同学的探究：可以证明，得到；
∵，射线平分，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转，得到射线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴
故；
根据丙同学的探究：过点做，垂足为，如图3，则；
  
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴；
根据丁同学的探究：可以证明，，则，，…
∵是的垂直平分线，
∴
又∵；
∴，
又∵在中，，射线平分，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
即
∵，
∴．
综上，，．
故答案为：，．
（2）（1）中的两个结论仍然成立，证明如下：
∵射线平分，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
过点作，垂足为，如图1所示，则，．
  
∵，，
∴．
∴，．
∴．
∵，，，
∴，
即．
（3）①当时，如图所示．
  
∵，,
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，，，
∴，
同理，
即，
∴是等边三角形．
∴．
②当时，即，过点作于点，过点作于点，如图2所示．
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴
在中，设，则．
∴
∴，
解得．
∴，，
在中，；
在中，；
在中，，
；
又∵，
∴．
∵，且，
∴，
综上所述，的长为或．
63．（1）解：如图（1）所示，线段和点G即为所作；
  
∵，，，
∴
∴
∴
∴线段绕点顺时针旋转得；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
由旋转性质得，，
∴．
（2）解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．
  
∵，，，
∴，
∴
∵
∴与关于对称，
∵
∴M、N关于对称；
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴．
64．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形
（2）如图，
  
∵，，
，
，
∵，
；
（3）①设直线的解析式为，
，
∴，
，
将代入抛物线得，
，
解得，
，
直线与抛物线有唯一交点
∴联立解析式组成方程组解得


②∵抛物线向左平移2个单位得到，
∴抛物线，
抛物线的顶点，
将顶点代入，
，解得,
∵，
；
③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,
  
∴，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式为，
∴设,
∴，
轴,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
抛物线再向下平移个单位，得到抛物线，
∴抛物线,
代入抛物线,
,
解得,
由，得,
∴，
．
65．（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
  
66．（1）证明：，
∴，

，

．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
67．（1）解：∵
∴，
∵
∴
即；
（2）证明：如图所示，

∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
（3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，
  
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
    
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
68．（1）解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
69．（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
  
∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
  
过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
70．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的大小为；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
71．（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
72．（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
  
②．理由如下：
∵和关于对称，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点作于点，得．
    
∵和关于对称，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，过点作于点．
  
∵，
∴，
．
∴．
∴．