2023年吉林省长春市汽车经济技术开发区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市汽车经济技术开发区中考一模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省长春市汽车经济技术开发区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（    ）
A． B． C． D．
2．中国海洋石油集团有限公司成立于1982年2月15日，注册资金为元．将这个数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，将两个大小完全相同的杯子叠放在一起，则该实物的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ）
A．9 B．6 C．4 D．－1
5．如图，将一个对边平行的纸条沿折叠一下，若，则∠2的大小为（    ）

A． B． C． D．
6．一个住宅区的配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则配电房房顶离地面的高度为（    ）

A． B．（）m C．（）m D．（）m
7．如图，点P是外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线交于点C，再以点C为圆心，以长为半径作圆弧，交于点A，连接交于点B，连接．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F、G、H，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．分解因式： ．
10．欧亚超市越野店39周年店庆，澳醇鲜冠纯牛奶每箱原价元，店庆价元，某单位购买m箱这种牛奶，比店庆前便宜 元．（用含m的代数式表示）
11．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“＞”、“＝”或“＜”）

12．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ．

13．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为．若，则图中阴影部分图形的面积为 ．（结果保留π）

14．如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上．若点O是边的中点，则正方形的边长为 ．


三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次记录的数字之和为 3 的概率．
17．某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．
18．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，作的中线．
(2)在图②中，在边上找一点E，连结，使．
(3)在图③中，在边上找一点F，连结BF，使的面积为．
19．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，则的长为______．
20．2022年，我国粮食总产量再创新高．新浪微博发表了《丰收来之不易，一图读懂2022年全国粮食产量》一文，现将其中两部分内容截图如下．

根据以上信息回答下列问题：
(1)从“粮食五大主产地占全国比重”那张图看，产量最高的产地是______．
(2)我国从2018年到2022年，粮食总产量的中位数是______．
(3)国家统计局公布，2022年全国粮食总产量68 653万吨，比上一年增长0.5%．如果继续保持这个增长率，2023年全国粮食总产量约为______万吨（保留整数）．
(4)国际粮食安全的标准线为人均粮食占有量400公斤，2022年我国的人口数为14.12亿人，请通过计算说明2022年我国人均粮食占有量是否超过国际粮食安全的标准线．（注：1吨＝1000公斤，人均粮食占有量=）
21．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程（千米）与乙车出发时间（时）的函数关系如图所示．

(1) A、B两地间的距离是 ______千米，乙车的速度为______千米/时．
(2)求甲车出发至C地的过程中，与之间的函数关系式．
(3)直接写出乙车出发多长时间，两车相距220千米．
22．【学习心得】请你完成下列证明：如图①，和均为等边三角形，点D在边上，连接．求证：．

【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在边上．若，，则的长为______．

【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线与交于点O，在中，，点E、F分别在边、上，点P在线段上．若，则______．

23．如图，在中，，动点P从点B出发，在线段上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接．将沿直线翻折得到．

(1)求的长；
(2)当四边形为中心对称图形时，求t的值；
(3)当点在下方时，连接，求此时面积的最大值；
(4)当直线与一边垂直时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点A、B均在这条抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)当时，，求m的取值范围．
(3)当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，在x轴上确定点C，连接、，求的最小值．
(4)将此抛物线上A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为图像G，若点M的坐标为，点N的坐标为，以、为边构造正方形，当图像G在正方形内部（包括边界）最高点与最低点的纵坐标之差为3时，直接写出m的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据有理数的意义，表示相反意义的量可以用正负数表示，得出答案．
【详解】解：根据正负数表示的意义，得
零上记作，那么零下记作．
故选：A．
【点睛】本题考查运用正负数概念解决问题的能力．解题的关键是能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，即可求得答案．
【详解】解：该实物图的俯视图为：

故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从上面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形．
4．D
【分析】根据一元二次方程根的情况的判别式可得，把各系数代入即可求出m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
5．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据翻折的性质和平角的定义求出，然后利用两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】解：∵纸条对边平行，
∴，
由折叠的性质得，，
∵纸条对边平行，
∴．

故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和折叠性质，熟知各性质并准确识图是解答的关键．
6．A
【分析】过点C作于点D，根据轴对称可知，，根据等腰三角形的性质得出，利用三角函数求出，最后表示出配电房房顶离地面的高度即可．
【详解】解：过点C作于点D，如图所示：

根据图形可知，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴配电房房顶离地面的高度为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出．
7．B
【分析】连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形的等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．

【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，得到直线垂直平分是解答的关键．
8．C
【分析】根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点E、F的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出k的值．
【详解】解：∵矩形的对称轴与坐标轴重合，
∴，点O是矩形的对称中心，

∵反比例函数的图象也关于点O成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵设，则，，
∵点E、F都在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长．
9．
【分析】根据提取公因式法进行分解即可．
【详解】解：，
故答案是．
【点睛】本题主要考查利用提公因式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：先提公因式，再用公式法进行分解．
10．
【分析】利用每箱便宜的钱数乘以箱数m即可得到答案．
【详解】解：由题意得，（元），
故答案为：
【点睛】此题考查了列代数式，读懂题意是解题的关键．
11．＜
【分析】根据实数a、b在数轴上对应点的位置，判定出a、b符号以及绝对值的大小，然后根据有理数加法法则进行判断即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，，且，
∴，
故答案是＜
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的加法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．
12．5
【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可
【详解】∵，，
∴，

又
∴四边形为平行四边形

又为直角三角形斜边中线
∴
∴
故答案为：5
【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键．
13．
【分析】根据旋转的性质可得，再由，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查不规则阴影部分面积的求法及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．/
【分析】设，且，即可得，根据在抛物线上，可得，设正方形的边长为b，且，同理可得，代入中，问题得解．
【详解】∵点O是边的中点，
∴设，且，
∴在正方形中，，，
∴，
∵在抛物线上，
∴，解得：，
设正方形的边长为b，且，
∴，
∴，
∴结合正方形的性质，可知，
∵在抛物线上，
∴，解得：（不合要求的负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质，先求出小正方形的边长，是解答本题的关键．
15．，．
【分析】利用平方差公式以及单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可化简，代入a的值即可求解．
【详解】解：

．
当时，原式．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，熟练运用平方差公式进行运算是解答本题的关键．
16．
【分析】根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
【详解】解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以，两次记录的数字之和为3的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
17．该公司购买B型芯片的单价为35元
【分析】设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，根据该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等，列出方程即可得出结论．
【详解】解：设该公司购买B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该公司购买B型芯片的单价为35元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程，易错点是分式方程要验根．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）找出线段的中点D，连接即可；
（2）找到格点M，连接，与线段的交点为点E，连接即可；
（3）作线段的三等分点F，连接即可．
【详解】（1）解：如图，线段即所得；

（2）解：如图，

（3）解：如图；

【点睛】本题考查基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性质，熟练掌握三等分点的作法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由题意易证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得出，即证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质可得出，．根据矩形的性质可得出，，．最后由锐角三角函数可得出，代入数据即可求出，进而可求出．
【详解】（1）证明：∵E为的中点，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，，．
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
20．(1)黑龙江
(2)66949
(3)68996
(4)2022年我国人均粮食占有量超过国际粮食安全的标准线

【分析】(1)读图比较大小解答即可．
(2)根据中位数的定义解答即可．
(3)根据题意，列式解答即可．
（4）根据计算公式计算解答即可．
【详解】（1）∵，
∴黑龙江最高，
故答案为：黑龙江．
（2）∵，
∴中位数是，
故答案为：．
（3）根据题意，得（万吨）．
故答案为：．
（4）（公斤）
∵，
∴2022年我国人均粮食占有量超过国际粮食安全的标准线．
【点睛】本题考查了中位数，实数的大小比较，增长率，平均数，熟练掌握公式，灵活计算是解题的关键．
21．(1)400，80
(2)
(3)乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米

【分析】（1）由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，然后进行求解即可；
（2）待定系数法求解即可；
（3）分甲乙在地相遇之前与之后两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，
∴A、B两地间的距离是400千米，乙车的速度为千米/时，
故答案为：400，80；
（2）解：甲车出发至C地的过程中，设y与x之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
∴．
（3）解：在地相遇之前，
将代入得，，解得，
∴时，两车相距220千米，
在地相遇之后，
∵，，
∴时，甲车从C地出发开往地，甲乙相距40千米，
∵，
∴当甲乙再次相距400千米时，，
甲车从C地出发开往地的过程中，设y与x之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
∴．
将代入得，，解得，
∴时，两车相距220千米，
综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息．
22．学习心得：见解析
类比探究：
拓展延伸：
【分析】学习心得：证明即可得出；
类比探究：连接，由得出，，然后在中用勾股定理即可求出的长；
拓展延伸：过点P作交于点M，证明即可得出结论．
【详解】学习心得：
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
类比探究：
如图②，连接，

∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴,
故答案为．
拓展延伸：
如图③，过点P作交于点M，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案是．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)面积的最大值为
(4)或或

【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据四边形中正方形和菱形为中心对称图形，再根据当时四边形为菱形，即得出关于t的方程，解出t的值即可；
（3）设与交于点D，过点作于点E．由为定值，即得出当最长时，面积的最大．结合题意可得出当时，最长，进而即可求解；
（4）分类讨论：①当时，结合（3）得出，，从而可求出．设，则．在中，根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即可求出t的值；②当时，此时点在线段上，过点A作于点M，点作于点N，由题意可求出，，．又易证，即可求出，进而可求出．设，则．在中，根据勾股定理列出关于y的等式，解出y的值，即可求出t的值；③当时，此时点C与点P重合，即可直接求出t的值．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；
（2）解：∵只有正方形和菱形为中心对称图形，
∴，如图，

由翻折可知，
∴此时四边形为菱形，满足题意．
∵，
∴，
解得：；
（3）解：如图，设与交于点D，过点作于点E．

∵为定值，
∴当最长时，面积的最大．
∵，
∴当与重合时最长．
由翻折可知，为定值，
又∵，
∴当最短时，最长，即此时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时，即面积的最大值为；
（4）解：分类讨论：①当时，如图，

由（3）可知，，
∴．
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴；
②当时，此时点在线段上，过点A作于点M，点作于点N，如图，

由（3）可知．
由翻折可知，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．

设，则．
在中，，即，
解得：，
∴，
∴；
③当时，此时点C与点P重合，如图，

∴．
综上可知或或．
【点睛】本题考查勾股定理，中心对称图形的性质，菱形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
24．(1)该抛物线所对应的函数表达式为
(2)
(3)的最小值为
(4)或

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质，得到在顶点处取得最大值，求出时，的值，即可得出结论；
（3）根据点关于对称轴对称，求出值，进而求出的坐标，作点B关于x轴的对称点，则其坐标为．连接交x轴于点C，则点C为所求，利用两点间距离公式进行求解即可；
（4）分，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得：；
∴该抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：由得抛物线的顶点为．
∴时，在顶点处取得最大值，
当时，，解得，．
∵，，
∴．
（3）解：由（2）可知，抛物线的对称轴为直线，
当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，
，
解得．
∴点A的坐标为、点B的坐标为．
作点B关于x轴的对称点，则其坐标为．连接交x轴于点C，则点C为所求．如图所示：

此时：．
（4）解：设抛物线与轴交于点，与轴交于点，
当时：，解得：，
∴，
由题意，可知：；
①当时，此时，

图像在正方形内的部分为：这一段抛物线，此时点的纵坐标的差恰好为，
∴时，即可满足题意，即：，解得：；
②当时，如图：

此时，图像在正方形内的部分为：这一段抛物线，
∵图像G在正方形内部（包括边界）最高点与最低点的纵坐标之差为3，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；
综上，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．