2018年长春市汽车经济技术开发区中考一模数学试卷

这是一份2018年长春市汽车经济技术开发区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −18 的相反数是
A. 8B. −8C. 18D. −18

2. 中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《 2022 相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过 810000 次，这个数用科学记数法表示为
A. 8.1×106B. 8.1×105C. 81×105D. 81×104

3. 如图是由 6 个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是
A. B.
C. D.

4. 不等式 2x−1<1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，点 D 在 BC 的延长线上，AE∥BD，点 E，D 在 AC 同侧．若 ∠CAE=118∘，则 ∠B 的大小为
A. 31∘B. 32∘C. 59∘D. 62∘

6. 如图①，把一个长为 2m，宽为 2nm>n 的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. 2mB. m+n2C. m−n2D. m2−n2

7. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，OA∥BC，∠OAC=19∘，则 ∠AOB 的大小为
A. 19∘B. 29∘C. 38∘D. 52∘

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为 0,4．将 △ABO 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 后得到 △AʹBOʹ．若函数 y=kxx>0 的图象经过点 Oʹ，则 k 的值为
A. 23B. 4C. 43D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：2×5= ．

10. 一元二次方程 x2+3x−2=0 的根的判别式的值为 ．

11. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC，若 DB=5，DA=2.5，BE=4，则 EC 的长为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，以点 C 为圆心，CB 长为半径作圆弧，交 AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为 ．

13. 如图，分别以正六边形相间隔的 3 个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案．若正六边形的边长为 3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=ax+322+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点．若 AB∥x 轴，则以 AB 为边的正方形 ABCD 的周长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：a2a−1+11−a⋅1a，其中 a=−12．

16. 一个不透明的口袋中装有三张卡片，上面分别标有数字 −1，0，1，每张卡片除数字不同外其余均相同，文博同学从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求文博同学两次摸出的卡片上的数字之和为正数的概率．

17. 如图，延长平行四边形 ABCD 的边 AD 到 F，使 DF=DC，延长 CB 到点 E，使 BE=BA，分别连接 AE 和 CF．求证：AE=CF．

18. 某校举行书法比赛，为奖励优秀学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5 倍，购买钢笔用了 1500 元，购买毛笔用了 1800 元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多 30 支，求钢笔的单价．

19. 如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的 P 点测得直立于地面的旗杆 AB 的顶端 A 与底端 B 的俯角分别为 34∘ 和 45∘，此时 P 点距地面的高度 PC 为 75 米，求旗杆 AB 的高度（结果精确到 0.1 米）．【参考数据：sin34∘≈0.56，cs34∘≈0.83，tan34∘≈0.67 】

20. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有 300 名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：
①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取 10 名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下：（单位：分）
南校921008689739854959885北校10010094837486751007375
②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 90 分及以上为优秀，80∼89 分为良好，60∼79 分为合格，60 分以下为不合格）
③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、 众数、方差如下表：
校区平均数中位数众数方差南校8790.5 179.4北校86 121.6
④得出结论．
结合上述统计全过程，回答下列问题：
（1）补全③中的表格．
（2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数．
（3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好?说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

21. 小明在练习操控航拍无人机．该型号无人机在上升和下落时的速度相同．设无人机的飞行高度为 y（米），小明操控无人机飞行的时间为 x（分），y 与 x 之间的函数图象如图所示．
（1）无人机上升的速度为 米/分．无人机在 40 米的高度上飞行了 分．
（2）求无人机下落过程中，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）求无人机距地面的高度为 50 米时 x 的值．

22. （1）【探究】如图①，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90∘，AD=CD，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，ED=FD，证明：∠ADE=∠CDF．
（2）【拓展】如图②，在菱形 ABCD 中，∠A=120∘，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，ED=FD．若 ∠EDF=30∘，求 ∠CDF 的大小．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，连接 DE，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 AD−DE−EA 向终点 A 运动，过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 QC 上，设点 P 的运动时间为 t 秒 0（1）当点 P 在线段 AC 上运动时，求线段 PE 的长（用含 t 的代数式表示）；
（2）当点 N 落在 AC 边上时，求 t 的值；
（3）当正方形 PQMN 与 △ABC 重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；
（4）当点 N 与点 E 不重合时，作直线 NE，直接写出直线 NE 将 △ABC 分成的两部分图形的面积比为 1:2 时 t 的值．

24. 定义：在平面直角坐标系中，将点 P 绕点 Tt,0t>0 旋转 180∘ 得到点 Q，则称点 Q 为点 P 的“发展点”．
（1）当 t=3 时，点 0,0 的“发展点”坐标为 ，点 −1,−1 的“发展点”坐标为 ．
（2）若 t>2，则点 2,3 的“发展点”的横坐标为 （用含 t 的代数式表示）．
（3）若点 P 在直线 y=2x+6 上，其“发展点”Q 在直线 y=2x−8 上，求点 T 的坐标．
（4）点 P2,2 在抛物线 y=−x2+k 上，点 M 在这条抛物线上，点 Q 为点 P 的“发展点”，若 △PMQ 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，求 t 的值．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】810000=8.1×105．
3. B
4. D
5. A
6. C【解析】由题意可得，正方形的边长为 m+n，
故正方形的面积为 m+n2，
∵ 原矩形的面积为 4mn，
∴ 中间空的部分的面积 =m+n2−4mn=m−n2．
7. C
8. C
第二部分
9. 10
10. 17
【解析】∵a=1，b=3，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=9−4×1×−2=9+8=17．
11. 2
【解析】∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴BDDA=BEEC，
∵DB=5，DA=2.5，BE=4，
∴52.5=4EC，
∴EC=2．
12. 4
【解析】如图，过 C 点作 BD 的垂直平分线交 BD 于点 E，
∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=4，
∴∠BCE=∠A=30∘，BE=12BD，
∴BE=2．
∴BD=2BE=4．
13. 18π
14. 12
第三部分
15. 原式=a2a−1−1a−1⋅1a=a2−1a−1⋅1a=a+1a−1a−1⋅1a=a+1a,
当 a=−12 时，
原式=−12+1−12=−1.
16. 画树状图如图所示：
由树状图可知共有 9 种等可能结果，其中两个数字之和为正数的有 3 种，
所以两次摸出的卡片上的数字之和为正数的概率为 39=13．
17. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∴AE=CF．
18. 设钢笔的单价为 x 元/支，则毛笔的单价为 1.5x 元/支，
根据题意得：
1500x−18001.5x=30.
解得：
x=10.
经检验，x=10 是原分式方程的解，且符合题意．
答：钢笔的单价为 10 元/支．
19. 如图，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
依题意得 ∠PHA=∠PCB=90∘，
∴ 四边形 ABCH 是矩形，
∴AH=BC，AB=CH，
在 Rt△PBC 中，∠PCB=90∘，∠PBC=45∘，
∴∠BPC=45∘，
∴PC=BC=75 米，
在 Rt△PHA 中，∠PHA=90∘，∠PAH=34∘，AH=BC=75 米．tan∠PAH=PHAH，
∴PH=AH⋅tan∠PAH，
∴AB=HC=PC−PH≈75−75×0.67=75×0.33=24.75米≈24.8米.
20. （1） 由题可得，南校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩的众数为 98，
北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩为：73，74，75，75，83，86，94，100，100，100，
∴ 北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩的中位数为：84.5；众数为 100；
校区平均数中位数众数方差南校8790.598 179.4北校8684.5 100 121.6
（2） 北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为：410×300=120（名）．
（3） 我认为南校区的九年级学生英语单词掌握的比较好，理由如下：
①南校区的九年级学生在英语单词测试中，平均数较高，表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好；
②南校区的九年级学生在英语单词测试中，中位数较高，表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多．（答案不唯一）
21. （1） 20；3
（2） 60÷20=3，12−3=9．
设所求函数关系式为 y=kx+bk≠0．
将点 9,60，12,0 代入，得 9k+b=60,12k+b=0, 解得 k=−20,b=240.
所以函数关系式为 y=−20x+2409≤x≤12．
（3） 易求得无人机从 40 米高度到 60 米高度之间的函数关系式为 y=20x−605≤x≤6．所以 20x−60=50，解得 x=5.5．
在无人机下落过程中，−20x+240=50，解得 x=9.5．
综上，无人机距地面的高度为 50 米时，x=5.5或9.5．
22. （1） 在 Rt△AED 和 Rt△CFD 中，
DE=DF,AD=CD,
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴∠ADE=∠CDF．
（2） 如图，过点 D 作 DM⊥BA 交 BA 延长线于点 M，作 DN⊥BC 交 BC 延长线于点 N，
∴∠AMD=∠CND=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠MAD=∠NCD，
在 △AMD 和 △CND 中，
∠AMD=∠CND,∠MAD=∠NCD,AD=CD,
∴△AMD≌△CND，
∴MD=CN，∠MDA=∠NDC，
由探究得：∠MDE=∠NDF，
∴∠MDE−∠MDA=∠NDF−∠NDC，即 ∠ADE=∠CDF，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=120∘，
∴∠ADC=60∘，
∵∠EDF=30∘，
∴∠CDF+∠ADE=60∘−30∘=30∘，
∵∠ADE=∠CDF，
∴∠CDF=15∘．
23. （1） 如图 1，
在 Rt△ABC 中，AB=6，BC=8，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，
∴AD=12AB=3，DE=12BC=4，
当点 P 在线段 EA 上运动时，PE=t−AD−DE=t−77 （2） 分两种情况：
①当 0 ∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴APAB=PNBC，
∴t6=PN8，
∴PN=43t，
∵ 四边形 PNQM 是正方形，
∴PN=PB=43t，
∵AP+PB=AB，
∴t+43t=6，
∴t=187；
②当 3 ∵PE=PQ=BD=3，DP+PE=DE，
∴t−3+3=4，
∴t=4．
综上所述，当点 N 落在 AC 边上时，t 的值是 187 或 4．
（3） 分三种情况：
①当 187≤t≤3 时，如图 4，
S=PB2=6−t2=t2−12t+36；
②当 3 S=PQ2=32=9；
③当 7≤t<12 时，如图 1，
由题意得：PE=t−7，
∴AP=5−t−7=12−t，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PQAB=CPAC，
∴PQ6=10−12−t10，
∴PQ=3t−25，
∵△PNF∽△CBA，
∴FNPN=ABBC，
∴FN3t−25=68，
∴FN=34×3t−25，
S=PQ2−12PN⋅NF=35t−22−12×35×34×35t−22=940t2−910t+910.
（4） t 的值为 65 或 10613．
【解析】分两种情况：
①当 S△EFC:S四边形ABFE=1:2 时，即 S△EFC:S△ABC=1:3，
∴S△ABC=3S△EFC，
过 E 作 EG⊥BC 于 G，如图 6，
∴12×6×8=3×12×3×FC，
∴FC=489=163，
由（2）得：PK=43t，同理得：AK=53t，
∴KN=PN−PK=6−t−43t=6−7t3，KE=5−5t3，
∵KN∥FC，
∴KNFC=KEEC，
∴KN⋅EC=KE⋅FC，
∴56−7t3=163×5−5t3，解得：t=65；
②如图 7，
当 S△AEK:S四边形BKEC=1:2 时，即 S△AEK:S△ABC=1:3，
∴S△ABC=3S△AEK，
∴12×6×8=3×12×4×AK，
∴AK=4，
由（3）知：FN=9t−220，
∴FM=MN−FN=3t−25−9t−220=3t−220，
∵sinC=FMFC，
∴FC=3t−2535=t−24，
∴EF=5−FC=22−t4，
∵FN∥AK，
∴FNAK=EFAE，
∴FN⋅AE=EF⋅AK，
∴5×9t−220=4×22−t4，
∴t=10613．
综上所述，t 的值为 65 或 10613．
24. （1） 6,0；7,1
【解析】把点 0,0 绕点 3,0 旋转 180∘ 得到点的坐标为 6,0；
把 −1,−1 绕点 3,0 旋转 180∘ 得到点的坐标为 7,1．
（2） 2t−2
【解析】把点 2,3 绕点 t,0 旋转 180∘ 得到点的坐标为 2t−2,−3．
（3） 当 y=0 时，2x+6=0，解得 x=−3，则直线 y=2x+6 与 x 轴的交点坐标为 −3,0；
同理可得直线 y=2x−8 与 x 轴的交点坐标为 4,0，
∵ 点 −3,0 的“发展点”坐标为 4,0，
∴t−−3=4−t，解得 t=12，
∴T12,0．
（4） 把 2,2 代入 y=−x2+k 得 −4+k=2，解得 k=6，
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+6，
∵ 点 Q 为点 P 的“发展点”，
∴ 点 T 为 PQ 的中点，
∵△PMQ 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴MT 垂直平分 PQ，
∴△PTM 为等腰直角三角形，
当 0把 Mt+2,t−2 代入 y=−x2+6 得 −t+22+6=t−2，解得 t1=−5+412，t2=−5−412（舍去），
当 t>2 时，把 P 点绕 T 点逆时针旋转 90∘ 得到点 M，则 Mt−2,2−t，
把 Mt−2,2−t 代入 y=−x2+6 得 −t−22+6=2−t，解得 t3=5，t4=0（舍去），
综上所述，t 的值为 −5+412 或 5．