资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩25页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
成套系列资料，整套一键下载
第2章 轴对称图形全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
展开
这是一份第2章 轴对称图形全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第2章轴对称图形全章复习与测试解析版docx、第2章轴对称图形全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
第2章 轴对称图形全章复习与测试
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。
2.对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
3.线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
4了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
5了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
二．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
四．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
五．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
六．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
七．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
八．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
九角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
十一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
十三等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
十四等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
十五等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
十六等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
一．角平分线的性质（共3小题）
1．（2022秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵△ACD的面积为16，AC＝8，
∴AC•DF＝16，
∴DF＝4，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是 ．
【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．
【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
∵∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O，
∴OD＝OF，OE＝OF．
∴OD＝OE．
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：延长AO交BC于D，
∵AB＝AC＝5，点O在∠BAC的平分线上，
∴AO⊥BC，
∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+OD，
∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，
∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，
∴OD＝，
∴点O到三角形三条边的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．
二．线段垂直平分线的性质（共4小题）
4．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠CAD＝4∠B，
∴∠CAB＝5∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
∴AC＝AD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】根据垂直平分线的判定判断即可．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判断是解题的关键．
6．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2．
（1）求证AB＝AD；
（2）求CD长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线得出DC＝AD，进而利用等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据边长得出方程解答即可．
【解答】（1）证明：∵点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，
∴DC＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝∠B，
∴AB＝AD；
（2）解：∵AB＝AD，CD＝AD，BD＝AB﹣2，BC＝8，
∴CD+CD﹣2＝8，
∴CD＝5．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出DC＝AD解答．
7．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；
（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．等腰三角形的性质（共3小题）
8．（2022秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长．
【解答】解：因为等腰三角形的周长为10，其腰长为4，
所以它的底边长为10﹣4﹣4＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题已知比较明确，思路比较直接，属于基础题．
9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．60° B．65° C．80° D．130°
【分析】只要证明65°＜∠BPC＜130°即可解决问题．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，
∴∠A＝∠ABC＝65°，
∵∠BPC＝∠A+∠ABP，点P在线段AC上且不与A、C重合，
∴65°＜∠BPC＜130°，
∴只有80°适合，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2022秋•启东市期末）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
四．等腰三角形的判定（共3小题）
11．（2022秋•启东市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，
∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中．
12．（2010秋•苏州期中）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．
13．（2023•东海县三模）在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 80°、50°、20° 时，△ABC是等腰三角形．
【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．
五．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
14．（2022秋•铜山区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，
①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
15．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
六．等边三角形的性质（共3小题）
16．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．105° C．75° D．15°
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．
【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
17．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．
18．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：CE＝2CF；
（2）若CF＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∴DC＝2CF．
∵CE＝CD
∴CE＝2CF；
（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，
∴DC＝2CF＝4．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．
七．等边三角形的判定（共3小题）
19．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．
20．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
21．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．
求证：△BCD是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，
∴AF⊥BC，
∴BD＝DC，
∵CE是BD的垂直平分线，
∴BC＝CD，
∴BD＝DC＝BC，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
八．等边三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为 4 或6 ．
【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．
【解答】解：①当D在线段BC上，如图：
∵等边△ABC的边长为5，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，
∵BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝4，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴DE＝CD＝4；
②当D在线段CB的延长线上，如图：
同法可得：△DEC为等边三角形，
∴DE＝CD＝BC+BD＝6；
综上：DE的长为：4或6；
故答案为：4或6．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．
23．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
24．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
九．含30度角的直角三角形（共4小题）
25．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可得AH的长，进一步可得BH的长，当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，∠APB＝90°；②当点P运动到∠BAP＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AH＝cm，
根据勾股定理，得BH＝3cm，
当△ABP为直角三角形时，分两种情况：
①当点P运动到点H时，∠APB＝90°，
此时运动时间为3÷1＝3（s），
②当点P运动到∠BAP＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴BP＝2AP，
在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，
解得AP＝2cm，
∴BP＝4cm，
此时运动时间为4÷1＝4（s），
综上所述，满足条件的运动时间有3s或4s，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
26．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝ 5 ．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD长．
【解答】解：∵AB＝10，AB＝AC，
∴AC＝10，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
27．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ 4 ．
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝5，然后计算OH﹣MH即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×10＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．
28．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠A＝30° ．
求证： BC＝AB ．
证明： 取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴BC＝AB ．
【分析】取AB的中点D，连接CD，得到△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论．
【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
证明：取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴BC＝AB．
故答案为：∠A＝30°．BC＝AB．取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．
【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
一十．直角三角形斜边上的中线（共10小题）
29．（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118° B．108° C．120° D．116°
【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴EA＝EB＝EC＝DE，
∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，
在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，
同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
30．（2022秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．13
【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
31．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝ 36 °．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝36°．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，
∴∠B＝36°，
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝36°．
故答案是：36．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
32．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝2cm，
∴AB＝4cm
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线
33．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 18 ．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，
∴斜边长＝2×6＝12，
∵直角三角形斜边上的高是3，
∴这个直角三角形的面积＝×12×3＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
34．（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．
（1）求证：DF＝EF；
（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．
①判断△DEF的形状，并说明理由；
②＝ ．
【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证DF＝EF；
（2）①由（1）EF、DF求出长度都为1，由等边三角形的定义即可证明；
②利用等边对等角、三角形内角和定理可求∠B＝60°，在用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F是AC中点，
∴，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F是AC中点，
∴，
∴EF＝DF；
（2）解：①等边三角形，
理由如下：
连接DE，
由（1）知，，
∵ED＝1，
∴ED＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形；
②由（1）得EF＝AF，
∴∠AEF＝∠EAF，
同理可证：∠CDF＝∠DCF，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠BED+∠AEF＝120°，∠BDE+∠CDF＝120°，
∴∠BED+∠EAF＝120°，∠BDE+∠DCF＝120°，
∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF＝240°，
∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，
∵∠B+∠EAF+∠DCF＝180°，
∵∠EAF+∠DCF＝180°﹣∠B，
∴180°﹣∠B+180°﹣∠B＝240°，
∴∠B＝60°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
35．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝ 30 °时，△BED是等边三角形．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，进而得出答案；
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点（已知），
∴BE＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
同理，DE＝AC，
∴BE＝DE（等量代换），
∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定义）；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出∠DEB＝∠DAB是解题关键．
36．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB和CE＝AB即可；
（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB，CE＝AB，
∴DE＝CE；
（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
37．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，
∴，，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE＝＝＝5（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
38．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得DE＝AB＝BE＝AE，利用线段垂直平分线的性质可得DE＝DC，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴DE＝AB＝BE＝AE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴CD＝AE；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∵∠B＝50°，
∴∠BCE＝25°．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．
一十一．生活中的轴对称现象（共2小题）
39．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
40．（2022秋•淮安期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点D 点．
【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故答案为：点D．
【点评】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
一十二．轴对称的性质（共3小题）
41．（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
42．（2022秋•如东县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为 60° ．
【分析】利用轴对称得∠DEB＝∠A＝120°，所以∠DEC＝60°，又因为∠C＝60°，即可求出∠CDE＝60°．
【解答】解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠DEB＝∠A＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∵∠C＝60°，
∴∠CDE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换和性质．
43．（2022秋•大丰区月考）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝ 35° ．
【分析】直接利用轴对称的性质得出∠C＝∠F，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°，
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C＝∠F＝35°，
故答案为：35°．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
一十三．轴对称图形（共1小题）
44．（2022秋•丹徒区期末）如图，下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
一十四．镜面对称（共2小题）
45．（2022秋•锡山区期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 50281 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．
故答案为：50281．
【点评】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．
46．（2022秋•兴化市校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 B6395 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395，
故答案为：B6395．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
一十五．作图-轴对称变换（共2小题）
47．（2022秋•高邮市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在图中正确画出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点B'的坐标为 （2，1） ．
【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；
（2）先找出A、B、C、三点关于y轴对称的对称点A'、B'、C'，连接三点画出三角形；
（3）由直角坐标系即可得到B'点的坐标．
【解答】解：（1）建立直角坐标系如下图所示：
（2）△A'B'C'如图所示：
（3）由图可知B'点的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
48．（2022秋•玄武区期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．
（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移 5 个单位得到；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；
（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是 （﹣x，y﹣5） ．
【分析】（1）利用点A和点A1的坐标特征确定平移的距离即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）先把P点向下平移5个单位得到（x，y﹣5），然后写出点（x，y﹣5）关于y轴的对称点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移5个单位得到；
故答案为：5；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是（﹣x，y﹣5）．
故答案为：（﹣x，y﹣5）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．
一十六．利用轴对称设计图案（共2小题）
49．（2022秋•常州期末）在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）
【分析】根据轴对称的图形的定义解题即可．
【解答】解：可知A，B，C，D四个选项点的位置如图所示，则
A，B，C三个选项点可以组成轴对称图形，不符合题意；
D选项点不能组成轴对称点，符合题意；
故选D．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
50．（2022秋•句容市月考）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： 都是轴对称图形 ；
特征2： 阴影部分面积都为4 ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）
【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）根据两个特征解决问题即可．
【解答】解：（1）这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
故答案为：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
（2）如图：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
一十七．剪纸问题（共2小题）
51．（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【分析】动手操作可得结论．
【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．
故选：C．
【点评】本题考查剪纸问题，正方形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．
52．（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 45 度．
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，
而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45．
【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．
一十八．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
53．（2022秋•工业园区校级月考）如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则∠1的度数等于（ ）
A．74° B．53° C．37° D．54°
【分析】利用翻折不变性解决问题即可．
【解答】解：如图，
由翻折不变性可知：∠1＝∠2，
∵74°+∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝53°，
故选：B．
【点评】本题考查折叠的性质，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
54．（2016秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．点D是线段AC的中点 D．AD＝BD＝BC
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD＝BD＝BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故D正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
3．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20
【分析】只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【解答】解：A、1+5＜7，不能组成三角形，故此选项错误；
B、3+4＝7，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+4＜7，不能组成三角形，故此选项错误；
D、15+8＞20，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
4．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据等腰三角形的判定，分三种情况，画出图形解答即可．
【解答】解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时PA＝PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
5．（3分）如图，AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE等于（ ）
A．11° B．11.25° C．11.45° D．12.25°
【分析】由角平分线的定义，则∠AOC＝∠BOC＝45°，∠AOD＝45°+22.5°＝67.5°，∠AOE＝33.75°，再直接求值即可．
【解答】解：∵AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°；
∵射线OD平分∠BOC，
∴∠AOD＝45°+22.5°＝67.5°；
∵射线OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝33.75°；
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝45°﹣33.75°＝11.25°．
故选：B．
【点评】根据角平分线的定义，先找角与角之间的关系，再运算．
6．（3分）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为S1，图②中汉字的面积为S2，则S1﹣S2的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用割补法分别求出S1和S2的面积，再作差即可．
【解答】解：如图，
S1＝5×7﹣×2×4×2﹣×1×1×2﹣×（1+5）×4
＝35﹣8﹣1﹣12
＝14，
S2＝4×9﹣×4×4×2﹣×（1+7）×3
＝36﹣16﹣12
＝8，
∴S1﹣S2＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
7．（3分）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将△BCD绕点B逆时针旋转60°能与△BAE重合，若BC＝8，BD＝6，则△AED的周长是（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD＝DE＝6，即可求解．
【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝DE＝6，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝8+6＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 幸 ．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：幸是轴对称图形，符合题意；
福不是轴对称图形，不合题意；
开不是轴对称图形，不合题意；
阳不是轴对称图形，不合题意．
故答案为：幸．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．（3分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BE⊥AC于E，且∠ABE＝20°，则∠ACB的度数为 55°或35° ．
【分析】分两种情况讨论：点E在AC上或点E在CA的延长线上，依据三角形内角和定理即可得到∠ACB的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
如图1，当点E在AC上时，
Rt△ABE中，∠A＝90°﹣∠ABE＝70°，
∴△ABC中，∠ACB＝＝55°；
如图2，当点E在CA的延长线上时，
Rt△ABE中，∠BAC＝90°+∠ABE＝110°，
∴△ABC中，∠ACB＝＝35°；
综上所述，∠ACB的度数为55°或35°．
故答案为：55°或35°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
11．（3分）一位球员的球衣号码为，那么他在镜子中看到自己的号码是 85 ．
【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片所显示的数字与85成轴对称，
故答案为：85．
【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点P是BC上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD．若PE＝8，PF＝6，则BG＝ 14 ．
【分析】过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF＝HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE＝BH，继而可得出结论．
【解答】证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG＝∠HGC＝∠PFG＝90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF＝HG，PH∥CD，
∴∠BPH＝∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE＝∠C，
∴∠PBE＝∠BPH，
又∠PEB＝∠BHP＝90°，BP＝PB，
在△PBE和△BPH中，
，
∴△PBE≌△BPH（AAS），
∴PE＝BH，
∴PE+PF＝BH+HG＝BG＝8+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．
13．（3分）如图，线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 43° ．
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，进而得到∠AOE＝∠AOC，同理得到∠AOD＝∠AOB，根据平角的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵l2垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴l2平分∠AOC，即∠AOE＝∠AOC，
同理可得：∠AOD＝∠AOB，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，
∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，
∴∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝×274°＝137°，
∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，
故答案为：43°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝6，△BCD的面积为12，则ED的长为 4 ．
【分析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据三角形的面积公式求出DF的长，根据角平分线的性质定理求出DE的长．
【解答】解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵BC＝6，△BCD的面积为12，
∴DF＝4，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，若AD＝4，则BC长为 8 ．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，AD＝4，
则BC＝AD＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（3分）已知∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，得到如下图形．移动点C，当AD＝BC时，∠ABD＝ 90° ；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是 30°或150° ．
【分析】当AD＝BC时,证明OA＝OB＝OC即可．分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．
【解答】解：①如图1中，设AD交BC于点O．
∵A,D关于BC对称，
∴OA＝OD,AD⊥BC,
∵∠MAN＝∠AOC＝∠AOB＝90°,
∴∠CAO+∠OAB＝90°,∠CAO+∠ACO＝90°,
∴∠ACO＝∠OAB,
∴△AOC∽△BOA,
∴OA2＝OB•OC,
∵AD＝BC,
∴(BC)2＝OC•(BC﹣OC),
∴BC2﹣4OC•BC+4OC2＝0,
∴(BC﹣2OC)2＝0,
∴BC＝2OC,
∴OB＝OC＝OA,
∴∠ABO＝∠OCD＝45°,
∴∠ABD＝90°．
②分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE＝DE＝BC，
即BC＝2AE＝2DE，
又∵BC＝2AD，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵BC垂直平分AD，
∴∠AEC＝30°，
又∵BE＝AE，
∴∠ABC＝∠AEC＝15°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，
又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝150°，
故答案为：90°，30°或150°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质的运用，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的判定和性质等知识，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，则∠A的度数为 108° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝180°﹣2×36°＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．
18．（3分）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝ 45°或67.5°或90° 时，△AOP为等腰三角形．
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值．
【解答】解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，
①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，
∴∠A＝90°；
②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；
③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为：45°或67.5°或90°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分18分，每小题3分）
19．（3分）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义以及题目要求画出图形即可
【解答】解：如图中，图形即为所求．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
20．（3分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及结合线段垂直平分线的画法得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）DE＝BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵EF垂直平分BD，设垂足为O，
则OB＝OD，BE＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠EDB，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴DE＝BF．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质与画法以及全等三角形的判定与性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
21．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且DC＝CE，DF⊥BE于点F．求证：F是BE的中点．
【分析】由等边对等角得∠ABC＝∠ACB，再由角平分线定义得∠DBC＝∠ABC，从而可求得∠DBC＝∠E，即有DB＝DE，利用HL可证得Rt△BDF≌Rt△EDF，从而有BD＝EF，则F是BE的中点．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵DC＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE，
∵DF⊥BE，
∴∠BFD＝∠EFD＝90°，
在Rt△BDF与Rt△EDF中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△EDF（HL），
∴BF＝EF，
∴F是BE的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是由各角的关系证得DB＝DE．
22．（3分）问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为 相等 ；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 15° ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 1：3 ；
（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
【分析】（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB＝∠ABC，所以AB＝AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD＝∠BDA＝75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；
（2）根据旋转的性质，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．
【解答】解：（1）①当∠BAC＝90°时，
∵∠BAC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝45°，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC（等角对等边）；
②当∠DAC＝15°时，
∠DAB＝90°﹣15°＝75°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠DBA＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°，即∠DBC＝15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠DBC：∠ABC＝1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK＝AB，
∵DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵∠KCA＝∠BAC，
∴∠KCD＝∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2＝∠4，KD＝BD，
∴KD＝BD＝BA＝KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB＝∠6，
∵∠BAC＝2∠ACB，且∠KCA＝∠BAC，
∴∠KCB＝∠ACB，
∴∠5＝∠ACB，
∴∠5＝∠6，
∴KC＝KB，
∴KD＝BD＝KB，
∴∠KBD＝60°，
∵∠ACB＝∠6＝60°﹣∠1，
∴∠BAC＝2∠ACB＝120°﹣2∠1，
∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2＝180°，
∴∠2＝2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
【点评】本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．
23．（3分）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
【分析】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质得到DG＝CE，证明BD＝GD，即可解决问题．
【解答】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G，
则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△DGF≌△CEF是解题的关键．
24．（3分）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
【分析】（1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．
【解答】（1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
理由：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）存在：BD﹣CE＝DE，
证明：∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形，属于基础题．
第2章 轴对称图形全章复习与测试
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。
2.对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
3.线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
4了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
5了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
二．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
四．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
五．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
六．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
七．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
八．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
九角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
十一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
十三等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
十四等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
十五等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
十六等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
一．角平分线的性质（共3小题）
1．（2022秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵△ACD的面积为16，AC＝8，
∴AC•DF＝16，
∴DF＝4，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是 ．
【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．
【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
∵∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O，
∴OD＝OF，OE＝OF．
∴OD＝OE．
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：延长AO交BC于D，
∵AB＝AC＝5，点O在∠BAC的平分线上，
∴AO⊥BC，
∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+OD，
∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，
∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，
∴OD＝，
∴点O到三角形三条边的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．
二．线段垂直平分线的性质（共4小题）
4．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠CAD＝4∠B，
∴∠CAB＝5∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
∴AC＝AD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】根据垂直平分线的判定判断即可．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判断是解题的关键．
6．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2．
（1）求证AB＝AD；
（2）求CD长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线得出DC＝AD，进而利用等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据边长得出方程解答即可．
【解答】（1）证明：∵点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，
∴DC＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝∠B，
∴AB＝AD；
（2）解：∵AB＝AD，CD＝AD，BD＝AB﹣2，BC＝8，
∴CD+CD﹣2＝8，
∴CD＝5．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出DC＝AD解答．
7．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；
（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．等腰三角形的性质（共3小题）
8．（2022秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长．
【解答】解：因为等腰三角形的周长为10，其腰长为4，
所以它的底边长为10﹣4﹣4＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题已知比较明确，思路比较直接，属于基础题．
9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．60° B．65° C．80° D．130°
【分析】只要证明65°＜∠BPC＜130°即可解决问题．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，
∴∠A＝∠ABC＝65°，
∵∠BPC＝∠A+∠ABP，点P在线段AC上且不与A、C重合，
∴65°＜∠BPC＜130°，
∴只有80°适合，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2022秋•启东市期末）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
四．等腰三角形的判定（共3小题）
11．（2022秋•启东市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，
∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中．
12．（2010秋•苏州期中）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．
13．（2023•东海县三模）在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 80°、50°、20° 时，△ABC是等腰三角形．
【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．
五．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
14．（2022秋•铜山区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，
①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
15．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
六．等边三角形的性质（共3小题）
16．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．105° C．75° D．15°
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．
【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
17．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．
18．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：CE＝2CF；
（2）若CF＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∴DC＝2CF．
∵CE＝CD
∴CE＝2CF；
（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，
∴DC＝2CF＝4．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．
七．等边三角形的判定（共3小题）
19．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．
20．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
21．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．
求证：△BCD是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，
∴AF⊥BC，
∴BD＝DC，
∵CE是BD的垂直平分线，
∴BC＝CD，
∴BD＝DC＝BC，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
八．等边三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为 4 或6 ．
【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．
【解答】解：①当D在线段BC上，如图：
∵等边△ABC的边长为5，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，
∵BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝4，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴DE＝CD＝4；
②当D在线段CB的延长线上，如图：
同法可得：△DEC为等边三角形，
∴DE＝CD＝BC+BD＝6；
综上：DE的长为：4或6；
故答案为：4或6．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．
23．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
24．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
九．含30度角的直角三角形（共4小题）
25．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可得AH的长，进一步可得BH的长，当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，∠APB＝90°；②当点P运动到∠BAP＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AH＝cm，
根据勾股定理，得BH＝3cm，
当△ABP为直角三角形时，分两种情况：
①当点P运动到点H时，∠APB＝90°，
此时运动时间为3÷1＝3（s），
②当点P运动到∠BAP＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴BP＝2AP，
在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，
解得AP＝2cm，
∴BP＝4cm，
此时运动时间为4÷1＝4（s），
综上所述，满足条件的运动时间有3s或4s，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
26．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝ 5 ．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD长．
【解答】解：∵AB＝10，AB＝AC，
∴AC＝10，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
27．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ 4 ．
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝5，然后计算OH﹣MH即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×10＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．
28．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠A＝30° ．
求证： BC＝AB ．
证明： 取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴BC＝AB ．
【分析】取AB的中点D，连接CD，得到△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论．
【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
证明：取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴BC＝AB．
故答案为：∠A＝30°．BC＝AB．取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．
【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
一十．直角三角形斜边上的中线（共10小题）
29．（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118° B．108° C．120° D．116°
【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴EA＝EB＝EC＝DE，
∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，
在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，
同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
30．（2022秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．13
【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
31．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝ 36 °．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝36°．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，
∴∠B＝36°，
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝36°．
故答案是：36．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
32．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝2cm，
∴AB＝4cm
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线
33．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 18 ．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，
∴斜边长＝2×6＝12，
∵直角三角形斜边上的高是3，
∴这个直角三角形的面积＝×12×3＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
34．（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．
（1）求证：DF＝EF；
（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．
①判断△DEF的形状，并说明理由；
②＝ ．
【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证DF＝EF；
（2）①由（1）EF、DF求出长度都为1，由等边三角形的定义即可证明；
②利用等边对等角、三角形内角和定理可求∠B＝60°，在用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F是AC中点，
∴，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F是AC中点，
∴，
∴EF＝DF；
（2）解：①等边三角形，
理由如下：
连接DE，
由（1）知，，
∵ED＝1，
∴ED＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形；
②由（1）得EF＝AF，
∴∠AEF＝∠EAF，
同理可证：∠CDF＝∠DCF，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠BED+∠AEF＝120°，∠BDE+∠CDF＝120°，
∴∠BED+∠EAF＝120°，∠BDE+∠DCF＝120°，
∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF＝240°，
∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，
∵∠B+∠EAF+∠DCF＝180°，
∵∠EAF+∠DCF＝180°﹣∠B，
∴180°﹣∠B+180°﹣∠B＝240°，
∴∠B＝60°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
35．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝ 30 °时，△BED是等边三角形．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，进而得出答案；
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点（已知），
∴BE＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
同理，DE＝AC，
∴BE＝DE（等量代换），
∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定义）；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出∠DEB＝∠DAB是解题关键．
36．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB和CE＝AB即可；
（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB，CE＝AB，
∴DE＝CE；
（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
37．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，
∴，，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE＝＝＝5（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
38．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得DE＝AB＝BE＝AE，利用线段垂直平分线的性质可得DE＝DC，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴DE＝AB＝BE＝AE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴CD＝AE；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∵∠B＝50°，
∴∠BCE＝25°．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．
一十一．生活中的轴对称现象（共2小题）
39．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
40．（2022秋•淮安期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点D 点．
【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故答案为：点D．
【点评】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
一十二．轴对称的性质（共3小题）
41．（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
42．（2022秋•如东县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为 60° ．
【分析】利用轴对称得∠DEB＝∠A＝120°，所以∠DEC＝60°，又因为∠C＝60°，即可求出∠CDE＝60°．
【解答】解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠DEB＝∠A＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∵∠C＝60°，
∴∠CDE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换和性质．
43．（2022秋•大丰区月考）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝ 35° ．
【分析】直接利用轴对称的性质得出∠C＝∠F，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°，
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C＝∠F＝35°，
故答案为：35°．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
一十三．轴对称图形（共1小题）
44．（2022秋•丹徒区期末）如图，下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
一十四．镜面对称（共2小题）
45．（2022秋•锡山区期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 50281 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．
故答案为：50281．
【点评】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．
46．（2022秋•兴化市校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 B6395 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395，
故答案为：B6395．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
一十五．作图-轴对称变换（共2小题）
47．（2022秋•高邮市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在图中正确画出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点B'的坐标为 （2，1） ．
【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；
（2）先找出A、B、C、三点关于y轴对称的对称点A'、B'、C'，连接三点画出三角形；
（3）由直角坐标系即可得到B'点的坐标．
【解答】解：（1）建立直角坐标系如下图所示：
（2）△A'B'C'如图所示：
（3）由图可知B'点的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
48．（2022秋•玄武区期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．
（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移 5 个单位得到；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；
（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是 （﹣x，y﹣5） ．
【分析】（1）利用点A和点A1的坐标特征确定平移的距离即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）先把P点向下平移5个单位得到（x，y﹣5），然后写出点（x，y﹣5）关于y轴的对称点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移5个单位得到；
故答案为：5；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是（﹣x，y﹣5）．
故答案为：（﹣x，y﹣5）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．
一十六．利用轴对称设计图案（共2小题）
49．（2022秋•常州期末）在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）
【分析】根据轴对称的图形的定义解题即可．
【解答】解：可知A，B，C，D四个选项点的位置如图所示，则
A，B，C三个选项点可以组成轴对称图形，不符合题意；
D选项点不能组成轴对称点，符合题意；
故选D．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
50．（2022秋•句容市月考）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： 都是轴对称图形 ；
特征2： 阴影部分面积都为4 ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）
【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）根据两个特征解决问题即可．
【解答】解：（1）这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
故答案为：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
（2）如图：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
一十七．剪纸问题（共2小题）
51．（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【分析】动手操作可得结论．
【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．
故选：C．
【点评】本题考查剪纸问题，正方形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．
52．（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 45 度．
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，
而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45．
【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．
一十八．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
53．（2022秋•工业园区校级月考）如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则∠1的度数等于（ ）
A．74° B．53° C．37° D．54°
【分析】利用翻折不变性解决问题即可．
【解答】解：如图，
由翻折不变性可知：∠1＝∠2，
∵74°+∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝53°，
故选：B．
【点评】本题考查折叠的性质，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
54．（2016秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．点D是线段AC的中点 D．AD＝BD＝BC
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD＝BD＝BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故D正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
3．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20
【分析】只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【解答】解：A、1+5＜7，不能组成三角形，故此选项错误；
B、3+4＝7，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+4＜7，不能组成三角形，故此选项错误；
D、15+8＞20，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
4．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据等腰三角形的判定，分三种情况，画出图形解答即可．
【解答】解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时PA＝PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
5．（3分）如图，AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE等于（ ）
A．11° B．11.25° C．11.45° D．12.25°
【分析】由角平分线的定义，则∠AOC＝∠BOC＝45°，∠AOD＝45°+22.5°＝67.5°，∠AOE＝33.75°，再直接求值即可．
【解答】解：∵AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°；
∵射线OD平分∠BOC，
∴∠AOD＝45°+22.5°＝67.5°；
∵射线OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝33.75°；
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝45°﹣33.75°＝11.25°．
故选：B．
【点评】根据角平分线的定义，先找角与角之间的关系，再运算．
6．（3分）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为S1，图②中汉字的面积为S2，则S1﹣S2的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用割补法分别求出S1和S2的面积，再作差即可．
【解答】解：如图，
S1＝5×7﹣×2×4×2﹣×1×1×2﹣×（1+5）×4
＝35﹣8﹣1﹣12
＝14，
S2＝4×9﹣×4×4×2﹣×（1+7）×3
＝36﹣16﹣12
＝8，
∴S1﹣S2＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
7．（3分）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将△BCD绕点B逆时针旋转60°能与△BAE重合，若BC＝8，BD＝6，则△AED的周长是（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD＝DE＝6，即可求解．
【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝DE＝6，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝8+6＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 幸 ．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：幸是轴对称图形，符合题意；
福不是轴对称图形，不合题意；
开不是轴对称图形，不合题意；
阳不是轴对称图形，不合题意．
故答案为：幸．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．（3分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BE⊥AC于E，且∠ABE＝20°，则∠ACB的度数为 55°或35° ．
【分析】分两种情况讨论：点E在AC上或点E在CA的延长线上，依据三角形内角和定理即可得到∠ACB的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
如图1，当点E在AC上时，
Rt△ABE中，∠A＝90°﹣∠ABE＝70°，
∴△ABC中，∠ACB＝＝55°；
如图2，当点E在CA的延长线上时，
Rt△ABE中，∠BAC＝90°+∠ABE＝110°，
∴△ABC中，∠ACB＝＝35°；
综上所述，∠ACB的度数为55°或35°．
故答案为：55°或35°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
11．（3分）一位球员的球衣号码为，那么他在镜子中看到自己的号码是 85 ．
【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片所显示的数字与85成轴对称，
故答案为：85．
【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点P是BC上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD．若PE＝8，PF＝6，则BG＝ 14 ．
【分析】过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF＝HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE＝BH，继而可得出结论．
【解答】证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG＝∠HGC＝∠PFG＝90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF＝HG，PH∥CD，
∴∠BPH＝∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE＝∠C，
∴∠PBE＝∠BPH，
又∠PEB＝∠BHP＝90°，BP＝PB，
在△PBE和△BPH中，
，
∴△PBE≌△BPH（AAS），
∴PE＝BH，
∴PE+PF＝BH+HG＝BG＝8+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．
13．（3分）如图，线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 43° ．
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，进而得到∠AOE＝∠AOC，同理得到∠AOD＝∠AOB，根据平角的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵l2垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴l2平分∠AOC，即∠AOE＝∠AOC，
同理可得：∠AOD＝∠AOB，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，
∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，
∴∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝×274°＝137°，
∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，
故答案为：43°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝6，△BCD的面积为12，则ED的长为 4 ．
【分析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据三角形的面积公式求出DF的长，根据角平分线的性质定理求出DE的长．
【解答】解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵BC＝6，△BCD的面积为12，
∴DF＝4，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，若AD＝4，则BC长为 8 ．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，AD＝4，
则BC＝AD＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（3分）已知∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，得到如下图形．移动点C，当AD＝BC时，∠ABD＝ 90° ；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是 30°或150° ．
【分析】当AD＝BC时,证明OA＝OB＝OC即可．分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．
【解答】解：①如图1中，设AD交BC于点O．
∵A,D关于BC对称，
∴OA＝OD,AD⊥BC,
∵∠MAN＝∠AOC＝∠AOB＝90°,
∴∠CAO+∠OAB＝90°,∠CAO+∠ACO＝90°,
∴∠ACO＝∠OAB,
∴△AOC∽△BOA,
∴OA2＝OB•OC,
∵AD＝BC,
∴(BC)2＝OC•(BC﹣OC),
∴BC2﹣4OC•BC+4OC2＝0,
∴(BC﹣2OC)2＝0,
∴BC＝2OC,
∴OB＝OC＝OA,
∴∠ABO＝∠OCD＝45°,
∴∠ABD＝90°．
②分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE＝DE＝BC，
即BC＝2AE＝2DE，
又∵BC＝2AD，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵BC垂直平分AD，
∴∠AEC＝30°，
又∵BE＝AE，
∴∠ABC＝∠AEC＝15°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，
又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝150°，
故答案为：90°，30°或150°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质的运用，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的判定和性质等知识，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，则∠A的度数为 108° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝180°﹣2×36°＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．
18．（3分）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝ 45°或67.5°或90° 时，△AOP为等腰三角形．
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值．
【解答】解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，
①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，
∴∠A＝90°；
②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；
③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为：45°或67.5°或90°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分18分，每小题3分）
19．（3分）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义以及题目要求画出图形即可
【解答】解：如图中，图形即为所求．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
20．（3分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及结合线段垂直平分线的画法得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）DE＝BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵EF垂直平分BD，设垂足为O，
则OB＝OD，BE＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠EDB，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴DE＝BF．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质与画法以及全等三角形的判定与性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
21．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且DC＝CE，DF⊥BE于点F．求证：F是BE的中点．
【分析】由等边对等角得∠ABC＝∠ACB，再由角平分线定义得∠DBC＝∠ABC，从而可求得∠DBC＝∠E，即有DB＝DE，利用HL可证得Rt△BDF≌Rt△EDF，从而有BD＝EF，则F是BE的中点．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵DC＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE，
∵DF⊥BE，
∴∠BFD＝∠EFD＝90°，
在Rt△BDF与Rt△EDF中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△EDF（HL），
∴BF＝EF，
∴F是BE的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是由各角的关系证得DB＝DE．
22．（3分）问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为 相等 ；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 15° ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 1：3 ；
（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
【分析】（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB＝∠ABC，所以AB＝AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD＝∠BDA＝75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；
（2）根据旋转的性质，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．
【解答】解：（1）①当∠BAC＝90°时，
∵∠BAC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝45°，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC（等角对等边）；
②当∠DAC＝15°时，
∠DAB＝90°﹣15°＝75°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠DBA＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°，即∠DBC＝15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠DBC：∠ABC＝1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK＝AB，
∵DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵∠KCA＝∠BAC，
∴∠KCD＝∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2＝∠4，KD＝BD，
∴KD＝BD＝BA＝KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB＝∠6，
∵∠BAC＝2∠ACB，且∠KCA＝∠BAC，
∴∠KCB＝∠ACB，
∴∠5＝∠ACB，
∴∠5＝∠6，
∴KC＝KB，
∴KD＝BD＝KB，
∴∠KBD＝60°，
∵∠ACB＝∠6＝60°﹣∠1，
∴∠BAC＝2∠ACB＝120°﹣2∠1，
∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2＝180°，
∴∠2＝2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
【点评】本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．
23．（3分）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
【分析】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质得到DG＝CE，证明BD＝GD，即可解决问题．
【解答】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G，
则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△DGF≌△CEF是解题的关键．
24．（3分）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
【分析】（1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．
【解答】（1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
理由：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）存在：BD﹣CE＝DE，
证明：∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形，属于基础题．
相关试卷
第3章 勾股定理全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）： 这是一份第3章 勾股定理全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第3章勾股定理全章复习与测试解析版docx、第3章勾股定理全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
第1章 全等三角形（全章复习与测试）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）： 这是一份第1章 全等三角形（全章复习与测试）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第1章全等三角形全章复习与测试解析版docx、第1章全等三角形全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
第09讲 勾股定理（3种题型）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）： 这是一份第09讲 勾股定理（3种题型）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第09讲勾股定理3种题型解析版docx、第09讲勾股定理3种题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
