2022-2023学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “明天是晴天”这个事件是(    )
A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件
2. 已知ab=23，则下列式子中正确的是(    )
A. a：b=4：9 B. a：b=4：6
C. a：b=(a+2)：(b+2) D. a：b=3：2
3. 将抛物线y=−x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为(    )
A. y=−(x+2)2 B. y=−(x+2)2+2
C. y=−(x−2)2+2 D. y=−(x−2)2
4. 已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为(    )
A. 24 B. 22 C. 12 D. 6
5. 已知二次函数y=(m−2)x2(m为实数，且m≠2)，当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是(    )
A. m<0 B. m>2 C. m>0 D. m<2
6. 如图，在⊙O中，点C是AB上一点，若∠ACB=m，则∠AOB的度数为(    )
A. m
B. 180°−m
C. 360°−m
D. 360°−2m
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC，AB上的中线BE，CD相交于点F，若AC=6，BC=4，则BF=(    )
A. 103
B. 52
C. 4 133
D. 13
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC，∠ABE=∠AED，且AB=6，AC=9，则CE的长为(    )
A. 9−3 6
B. 4
C. 5
D. 3 6
9. 如图，△ABC内接于⊙O，且AC=BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ABC=(    )
A. 55°
B. 65°
C. 67.5°
D. 72°
10. 二次函数y=ax2+4x+1(a为实数，且a<0)，对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有−2≤y≤2，则m的最大值为(    )
A. 12 B. 23 C. 2 D. 32
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是______．


12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88
杯口朝上频率
0.2
0.21
0.22
0.22
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______ (结果精确到0.01)．
13. 如图，正△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为10，则AB的孤长为______ ．


14. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同，它的顶点坐标为(1,−3)，则该二次函数的表达式为______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO= 3，CE=1，则BE的长为______ ．


16. 如图，正五边形ABCDE的对角线AC和AD分别交对角线BE于点M，N，若△AMN的面积为s，则正五边形ABCDE的面积为______ (结果用含s的代数式表示)．


三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
(1)从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
(2)从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18. (本小题8.0分)
如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB=6．
(1)求这个管道横截面的半径．
(2)求∠AOB的度数．

19. (本小题8.0分)
如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．

20. (本小题8.0分)
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6m，桥洞的跨度为12m，如图建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)求离对称轴2m处，桥洞离水面的高是多少m？

21. (本小题8.0分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交AB边上的中线CD于点F．
(1)求证：△ACF∽△ABE．
(2)若AF=2，求AE的长．

22. (本小题8.0分)
二次函数y=x2−bx+c的图象经过(−2,y1)，(1,y2)两点．
(1)当b=1时，判断y1与y2的大小．
(2)当y1 (3)若此函数图象还经过点(m,y1)，且1 23. (本小题8.0分)
如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F.连接AC，BO．

(1)求证：∠CAE=∠ADC．
(2)若DE=2OE，求DFDE的值．
(3)如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r.求图中阴影部分的面积(结果用含r的代数式表示)．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】
解：“明天是晴天”这个事件是随机事件．
故选D．  
2.【答案】B 
【解析】解：A、若ab=23，则ab=46，故本选项错误，不符合题意；
B、若ab=23，则ab=46，故本选项正确，符合题意；
C、若ab=23，a：b=(a+2)：(b+2)不成立，故本选项错误，不符合题意；
D、若ab=23，a：b=3：2不成立，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据比例的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：将抛物线y=−x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y=−(x−2)2+2．
故选：C．
根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．

4.【答案】A 
【解析】解：S扇形=12lr，即24π=12×2πr，解得r=24．
故选：A．
扇形面积公式为S扇形=12lr，直接代值计算即可．
此题考查扇形的面积公式，S扇形=12lr=nπr2360，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．

5.【答案】B 
【解析】解：当x≤0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴m−2>0，
∴m>2，
故选：B．
根据当x≤0时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

6.【答案】D 
【解析】解：如图，优弧AB上找一点D，连接AD，DB，

∵∠ACB=m，
∴∠D=180°−m，
∵AB=AB，
∴∠AOB=2∠D=360°−2m．
故选：D．
在优弧AB上找一点D，连接AD，DB，根据圆内接四边形对角互补求得∠D，然后根据圆周角定理即可求解．
本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：连接DE，如图，

∵BE，CD分别为边AC，AB上的中线，AC=6，BC=4，
即点D、E为AB、AC的中点，
∴DE为Rt△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE=12BC=2，CE=12AC=3，
∵∠ACB=90°，
∴BE= CE2+BC2= 32+42=5，
∵DE//BC，
∴EFBF=DECB=12，即EF=12BF，
∴BE=EF+BF=32BF=5，
∴BF=103．
故选：A．
连接DE，由题意可知DE为Rt△ABC的中位线，即可得到DE//BC，DE=12BC=2，CE=12AC=3，利用勾股定理可得BE= CE2+BC2=5，然后根据平行线分线段成比例定理可得EFBF=DECB，即可获得答案．
本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠ABE=∠AED，
∴∠ABE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴ABAC=AEAB，
∵AB=6，AC=9，
∴69=AE6，
解得：AE=4，
∴CE=AC−AE=5．
故选：C．
根据DE//BC，可得∠AED=∠C，从而得到∠ABE=∠C，可证明△ABE∽△ACB，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：如图，连接BO，设∠C=x°．

∵△ABE与△ABC相似，
∴∠BAE=∠C=x°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAE=x°，
又∵∠AOB=2∠C=2x°，∠OBA+∠BAE+∠AOB=180°，
∴x°+x°+2x°=180°，
∴x°=45°，
∴∠ABC=108°−∠C2=108°−45°2=67.5°，
故选：C．
先设出未知数∠C=x°，再用已知条件表示出△AOB的各个角，最后，依据三角形内角和公式列方程解决．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，用一个角表示出其他角后正确列出方程，是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵函数y=ax2+4x+1=a(x+2a)2+1−4a，且a<0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为x=−2a，该函数有最大值，其最大值为y=1−4a，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有−2≤y≤2，
则有1−4a≤2，解得a≤−4，
对于该函数图象的对称轴x=−2a，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥−2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a=−4时，令y=−4x2+4x+1=−2，
解得x1=32，x2=−12，
∴满足y≥−2的x的最大值为x=32，
即m的最大值为32．
故选：D．
由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为x=−2a，该函数的最大值为y=1−4a，由题意可解得a≤−4，根据函数图象可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥−2的x的值越小，故令a=−4即可求得m的最大值．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题关键是理解题意，借助函数图象的变化分析求解．

11.【答案】110° 
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠C=180°−70°=110°．
故答案为：110°．
直接根据圆内接四边形的性质求解．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．

12.【答案】0.22 
【解析】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22．
故答案为：0.22．
观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键．

13.【答案】20π3 
【解析】解∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴AB的长等于⊙O周长的三分之一，
∵⊙O的半径为10，
∴⊙O的周长=2×10×π=20π，
∴AB的长等于20π3，
故答案为：20π3．
同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可
本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．

14.【答案】y=2(x−1)2−3或y=−2(x−1)2−3 
【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为(1,−3)，
∴可设这个二次函数的解析式为y=a(x−1)2−3，
∵二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同，，
∴|a|=2，
∴a=±2，
∴这个二次函数的解析式为y=2(x−1)2−3或y=−2(x−1)2−3．
故答案为：y=2(x−1)2−3或y=−2(x−1)2−3．
根据二次函数的顶点坐标为(1,−3)，可得可设这个二次函数的解析式为y=a(x−1)2−3，再根据图象的形状和与抛物线y=2x2相同，可得a=±2，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= 3，
∴AC=2 3，∠EBO=∠ACB，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴OBBC=BEAC即 3BE+1=BE2 3，
解得BE=2或BE=−3(舍去)，
故答案为：2．
利用矩形的性质先求得AC=2 3，∠EBO=∠ACB，再证明△BOE∽△CBA，即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．

16.【答案】15+7 52s 
【解析】解：由正五边形的性质可知，AB=BC=CD=DE=AE，AM=AN=BM=NE，
由正五边形的性质可得，△AMN∽△BAN∽△ACD，
设AB=a，
∵△AMN∽△BAN，
∴AMAB=MNAN，
即AMa=a−AMAM，
解得AM= 5−12a，
∴MN=a− 5−12a=3− 52a，
∴BMMN= 5+12=S△ABMS△AMN，
∴S△ABM= 5+12s，
∵△AMN∽△ACD，
∴S△ACDS△AMN=(ACAM)2=7+3 52，
∴S△ACD=7+3 52s，
∴S正五边形ABCDE=S△ACD+4S△ABM+2S△AMN
=7+3 52s+4× 5+12s+2s
=15+7 52s，
故答案为：15+7 52s．
由正五边形的性质可得，△AMN∽△BAN∽△ACD，设AB=a，表示出解得AM= 5−12a，则MN=a− 5−12a=3− 52a，得出S△ABM= 5+12s，同理求出S△ACD=7+3 52s，从而解决问题．
本题主要考查了正边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】解：(1)由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为P=23；
(2)根据题意画出相应树状图如下，

由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为P′=49． 
【解析】(1)根据简单概率计算公式即可获得答案；
(2)根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可．
本题主要考查了根据概率公式计算概率以及列举法求概率，根据题意画出相应的树状图是解题关键．

18.【答案】解：(1)如图，连接OA，

∵AB=6，OD⊥AB，
∴AD=3，
∵OD=3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，AO= AD2+OD2= 32+32=3 2，
∴这个管道横截面的半径为3 2；
(2)在等腰直角△ADO中，∠AOD=45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD=45°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=45°+45°=90°，
∴∠AOB=90°． 
【解析】(1)根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
(2)根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．

19.【答案】解：(1)不相似．理由如下：
∵原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4，
∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2，
又∵ABBC=64≠42=ADAE，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
(2)∵原矩形的长AB=a，宽BC=b，
∴划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE=a3，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴ABBC=ADAE
∴ab=ba3，即a2=3b2． 
【解析】(1)根据划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=2，可得ABBC≠ADAE，进而可判断结论；
(2)根据划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE=a3，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得ABBC=ADAE，从而可得a与b的关系式．
本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．

20.【答案】解：(1)由题意可得，抛物线顶点坐标为(6,6)，
设抛物线解析式为y=a(x−6)2+6，
∵抛物线过点(0,0)，
∴0=a(0−6)2+6，解得a=−16，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=−16(x−6)2+6=−16x2+2x；
(2)解：由题意可知该抛物线的对称轴为x=6，则对称轴右边2m处为x=8，
将x=8代入y=−16x2+2x，
可得y=−16×82+2×8，解得y=163，
答：离对称轴2m处，桥洞离水面的高是163m. 
【解析】(1)根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点(0,0)，代入即可求解；
(2)根据对称轴为x=6，得出对称轴右边2m处为x=8，代入即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意并求出抛物线的解析式．

21.【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵CD是AB边上的中线，
∴∠ACD=12∠ACB=45°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACF∽△ABE；
(2)解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= AC2+BC2= 2AC，
∴ABAC= 2，
∵△ACF∽△ABE，
∴AEAF=ABAC= 2，
∵AF=2，
∴AE=2 2． 
【解析】(1)根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE，再由等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠B，即可求证；
(2)根据勾股定理可得AB= 2AC，再由相似三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)当b=1时，
∴y1=(−2)2−(−2)+c=6+c,y2=12−1+c=c，
∵6+c>c，
∴y1>y2；
(2)∵y1=4+2b+c，y2=1−b+c，
又∵y1 ∴4+2b+c<1−b+c，
∴b<−1；
(3)二次函数y=x2−bx+c的对称轴为直线x=b2×1=b2，
∵二次函数经过(−2,y1)，(m,y1)两点，
∴b2−(−2)=m−b2得，即m=2+b，
∵1 ∴3 【解析】(1)当b=1时，分别把x=−2，x=1代入解析式，计算出y1，y2，比较即可；
(2)先求出y1=4+2b+c，y2=1−b+c，再根据y1 (3)先求出二次函数y=x2−bx+c的对称轴为直线x=b2，b2−(−2)=m−b2得由1 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴的性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

23.【答案】解：(1)∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD=90°，即∠CAE+∠DAE=90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠ADC+∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠ADC；
(2)如图，连接BD，

∵AB⊥CD，DE=2OE，
∴OD=DE+OE=3OE，
设OE=a，则DE=2a，OB=OD=3a，
∴在Rt△OBE中，BE= OB2−OE2= (3a)2−a2=2 2a，
∴在Rt△DBE中，BD= BE2+DE2= (2 2a)2+(2a)2=2 3a，
∵CD为⊙O直径，且AB⊥CD，
∴BE=AE，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠BDF=∠DAB+∠DBA=2∠DAB，
又∵BD=BD，
∴∠DOB=2∠DAB=∠BDF，
∵∠OEB=∠DFB=90°，
∴△BOE∽△BDF，
∴OEOB=DFDB，即a3a=DF2 3a，
解得DF=2 33a，
∴DFDE=2 33a2a= 33；
(3)如图，连接BD，

∵BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，
∴OG⊥AC，即∠OGC=∠CAD=90°，
∴BG//AD，
∴∠OBE=∠DAE，
又∵BE=AE，∠OEB=∠DEA，
∴△OBE≌△DAE(ASA)，
∴OB=DA，
∵CD为⊙O直径，AB⊥CD，
∴DA=DB，
∴DA=DB，
∴OD=OB=DB，即△OBD为等边三角形，∠BOD=60°，
∵⊙O的半径为r，
∴OB=r，OE=DE=12OD=12r，
∴BE= OB2−OE2= 32r，
∴AB=2BE= 3r，
∵BD=BD，
∴∠BAD=12∠BOD=30°，
∴BF=12AB= 32r，
∴AF= AB2−BF2=32r，
∵△OBE≌△DAE，
∴S△OBE=S△DAE，
∴S阴影=S△ABF−S△DAE−(S扇形OBD−S△OBE)
=S△ABF−S扇形OBD
=12AF⋅BF−60°360∘πr2
=12×32r× 32r−60°360∘πr2
=3 38r2−16πr2． 
【解析】(1)由圆周角定理可得∠CAD=∠CAE+∠DAE=90°，再根据AB⊥CD，易得∠ADC+∠DAE=90°，即可证明∠CAE=∠ADC；
(2)连接BD，设OE=a，则DE=2a，OB=OD=3a，由勾股定理可得BE=2 2a，BD=2 3a，再证明△BOE∽△BDF，由相似三角形的性质可得OEOB=DFDB，代入数值可求得DF=2 33a，即可获得答案；
(3)连接BD，首先证明△OBE≌△DAE，结合全等三角形的性质进一步证明△OBD为等边三角形，即有∠BOD=60°；利用勾股定理、等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质依次求得OE、BE、AB、BF、AF等的值，然后由S阴影=S△ABF−S△DAE−(S扇形OBD−S△OBE)即可获得答案．
本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、求扇形面积等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．