高考物理真题分项汇编（3年（2021-2023）（北京专用）专题23 电学计算（二）

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专题23 电学计算（二）

1.（2023·北京卷）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
  
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为

金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为

（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为

第二级区域中磁感应强度大小为

金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为

金属棒经过第二级区域的加速度大小为

则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为

（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得

解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为


2.（2022·北京卷）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地；

（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B；

（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。
【答案】（1）数量级为10－5T；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由E = BLv可估算得该处地磁场磁感应强度B地的大小的数量级为10－5T。
（2）设导电电子定向移动的速率为v，Dt时间内通过横截面的电量为Dq，
有

导电电子定向移动过程中，在方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有

得

（3）如答图3建立三维直角坐标系Oxyz

设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为Bx、By、Bz。把金属薄片置于xOy平面内，M、N两极间产生电压Uz仅取决于Bz。由（2）得

由Uz的正负（M、N两极电势的高低）和电流I的方向可以确定Bz的方向。
同理，把金属薄片置于xOz平面内，可得By的大小和方向；把金属薄片置于yOz平面内，可得Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为

根据Bx、By、Bz的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。

3.（2021·北京卷）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。

【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）
【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有

解得

（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡

得

方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有

解得


4.（2021·北京卷）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率。
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I - t图线。

（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量

物体动能的增加量


电阻R上消耗的电能
【答案】（1）；（2）a.，b.；（3）见解析
【详解】（1）当物体下落速度达到最大速度时，加速度为零，有

得

（2）a.由闭合电路的欧姆定理有

b.由自感规律可知，线圈产生的自感电动势阻碍电流，使它逐渐变大，电路稳定后自感现象消失，I - t图线如答图2

（3）各种能量转化的规律如图所示
情境1
情境2

电源提供的电能

线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械能



1.（2023·北京西城·统考三模）如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E＝4×105 N/C、方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．质荷比＝4×10－10 kg/C的带正电的粒子，以初速度v0＝2×107 m/s从x轴上的A点垂直x轴射入电场，OA＝0.2m，不计粒子的重力．

（1）求粒子经过y轴时的位置到原点O的距离；
（2）求粒子第一次经过y轴时速度的大小和方向；
（3）若要使粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况)．
【答案】(1)0.4m（2），与y轴正方向的夹角为45° (3)
【详解】（1）设粒子在电场中运动的时间为t，粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y，则：




解得：
a=1.0×1015m/s2
t=2.0 ×10-8s

（2）粒子经过y轴时在电场方向的分速度为：

粒子经过y轴时的速度大小为；

与y轴正方向的夹角为θ，
θ=45°
（3）要粒子不进入第三象限，如图所示，此时粒子做圆周运动的轨道半径为R'，则：

由

解得


2.（2023·北京市潞河中学·校考三模）如图所示，空间分布着方向平行于纸面、宽度为d的水平匀强电场。在紧靠电场右侧半径为R的圆形区域内，分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为-q的粒子从左极板上A点由静止释放后，在M点离开加速电场，并以速度v0沿半径方向射入匀强磁场区域，然后从N点射出。MN两点间的圆心角∠MON=120°，粒子重力可忽略不计。
（1）求加速电场板间电压U0的大小；
（2）求粒子在匀强磁场中运动时间t的大小；
（3）若仅将该圆形区域的磁场改为平行于纸面的匀强电场，如图所示，带电粒子垂直射入该电场后仍然从N点射出。求粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量ΔEk的大小。

【答案】（1）；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子在匀强电场中加速的过程，根据动能定理有

解得

（2）粒子在磁场中运动的半径

粒子在匀强磁场中运动时间t的大小


（3）粒子在偏转电场中做匀加速曲线运动，运动轨迹如图所示，根据运动的合成分解及几何关系，在x方向有
R+Rcos60°=v0t
在y方向有
Rsin60°＝at2
根据牛顿第二定律有
Eq=ma
联立解得

则粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量


3.（2023·北京市潞河中学·校考三模）在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。
（1）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图甲所示的装置：无限长平行光滑金属导轨相距，导轨平面水平，电源电动势为，内阻不计。垂直于导轨放置一根质量为的导体棒，导体棒在两导轨之间的电阻为，导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为，导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势，此时闭合回路的电流大小可用来计算。
a．在图乙中定性画出导体棒运动的图像，并通过公式推导分析说明电动汽车低速比高速行驶阶段提速更快的原因；
b．电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，阻力与车速的关系可认为，其中为未知常数。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率，最高车速，车载电池最大输出电能。若该车以速度在平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为90%，求该电动汽车在此条件下的最大行驶里程。
（2）均匀变化的磁场会在空间激发感生电场，该电场为涡旋电场，其电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，如图丙所示。在某均匀变化的磁场中，将一个半径为的金属圆环置于相同半径的电场线位置处。从圆环的两端点引出两根导线，与阻值为的电阻和内阻不计的电流表串接起来，如图丁所示。金属圆环的电阻为，圆环两端点间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。此时金属圆环中的自由电子受到的感生电场力即为非静电力。若电路中电流表显示的示数为，电子的电荷量为，求：
a．金属圆环中自由电子受到的感生电场力的大小；
b．分析说明在感生电场中能否像静电场一样建立“电势”的概念。
    
【答案】（1）．导体棒运动的图像如图所示
  
理由见解析；
．；（2）．；．由于感生电场的电场线是闭合曲线，而沿着电场线电势降低，故无法比较各个点的电势的高低，所以不能像静电场一样建立“电势”的概念。
【详解】（1）．导体棒运动的图像如图所示
  
设导体棒运动速度为，根据发电动势的作用及闭合电路欧姆定律有，导体棒中的电流为

由牛顿第二定律可知

联立解得导体棒运动的加速度

由此可知，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，直至匀速运动，所以电动汽车在低速行驶时，电动机产生的反电动势较小，车辆加速度较大，提速更快。
．电动汽车匀速运动时有

由题可知，电动机功率为

所以车以速度行驶时电动机的功率

由题可知

解得该电动汽车的最大行驶里程

（2）．根据闭合电路的欧姆定律可得金属环中感应电动势

金属环中电子从沿环运动到的过程中，感生电场力做的功

由电动势的定义式可得

即

解得

．由于感生电场的电场线是闭合曲线，而沿着电场线电势降低，故无法比较各个点的电势的高低，所以不能像静电场一样建立“电势”的概念。

4.（2023·北京十一中学·校考三模）回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在盒中心A处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经狭缝电压加速后，进入盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒子所带电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略相对论效应，求：
（1）交变电压的周期T；
（2）粒子被加速后获得的最大动能；
（3）粒子在回旋加速器中运动的总时间。
  
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设交变电压的周期为T，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则


联立以上两式，解得交变电压的周期为

（2）粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能。设此时的速度为v，有

解得

设粒子的最大动能为，则

（3）质子完成一次圆周运动被电场加速2次，由动能定理得

经过的周期个数为n，则有

质子在D型盒磁场内运动的时间

联立解得质子在回旋加速器中运动的总时间为


5.（2023·清华附中·校考三模）利用超导体可以实现磁悬浮，如图甲是超导磁悬浮的示意图。在水平桌面上有一个周长为L的超导圆环，将一块永磁铁沿圆环中心轴线从圆环的正上方缓慢向下移动，由于超导圆环与永磁铁之间有排斥力。结果永磁铁能够悬浮在超导圆环的正上方高处。
（1）从上向下看，试判断超导圆环中的电流方向。
（2）若此时超导圆环中的电流强度为。圆环所处位置的磁感应强度为、磁场方向与水平方向的夹角为θ1（如图乙），图丙是图乙中A点处的电流元及磁场正面视角的二维平面图。
a.请在图丙上画出该电流元所受安培力的方向。
b.图乙中整个超导圆环所受的安培力的合力F的方向。
c.图乙中整个超导圆环所受的安培力的合力F的大小。
（3）在接下来的几周时间内，发现永磁铁在缓慢下移。经过较长时间，永磁铁的平衡位置变为离桌面高处。有一种观点认为超导体也有很微小的电阻率，只是现在一般仪器无法直接测得超导圆环内电流的变化造成了永磁铁下移，若已知永磁铁在高处时，圆环所处位置的磁感应强度大小为，磁场方向与水平方向的夹角为，永磁铁的质量为m，重力加速度为g。
a.永磁铁的平衡位置变为离桌面高处时，求超导圆环内的电流强度；
b.若超导圆环中的电流强度的平方随时间变化的图像如图丁所示，且超导圆环的横截面积为S，求该超导圆环的电阻率。
  
【答案】（1）逆时针；（2）a.   ，b.竖直向下，c. ；（3）a. ，b.
【详解】（1）将超导圆环等效为一个小磁体，根据图甲可知永磁铁下端为N极，由于超导圆环与永磁铁之间有排斥力，可知，超导圆环上侧为等效磁体的N极，根据安培定则可知从上向下看，超导圆环中的电流方向为逆时针。
（2）a.根据上述，结合左手定则可知，电流元所受安培力的方向垂直于磁场指向右下方，如图所示
  
b. 将超导圆环分割成多个电流元，根据对称性可知，每个电流元水平方向的安培力合力为0，则图乙中整个超导圆环所受的安培力的合力F的方向竖直向下。
c. 将超导圆环分割成n个电流元，令电流元的长度为，则电流元所受安培力为

整个超导圆环所受的安培力的合力为

其中

解得

（3）a.永磁铁处于静止状态，对其分析有

根据牛顿第三定律可知，整个超导圆环所受的安培力的合力为

根据（2）中所上述可知
，，
解得

b. 超导体也有很微小的电阻率，令其电阻为R，则有

永磁铁的平衡位置变为离桌面高处过程有

根据焦耳定律有

变形有

可知图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示，根据图丁可知

解得

根据上述有

解得


6.（2023·清华附中·校考三模）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度，一端连接的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。导体棒放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在平行于导轨的拉力F作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度。求：
（1）感应电动势E和感应电流I；
（2）在0.1s时间内，拉力的冲量；
（3）若将换为电阻值为的导体棒，其它条件不变，求导体棒两端的电压U。

【答案】（1）2V，2A；（2）；（3）
【详解】（1）导体棒沿导轨向右匀速运动，切割磁感线产生感应电动势，感应电动势为

感应电流为

（2）导体棒沿导轨向右匀速运动受到的安培力为

则由平衡条件可知拉力为

在0.1s时间内，拉力的冲量为

（3）根据闭合电路欧姆定律有

导体棒两端的电压为


7.（2023·北京第166中学·校考三模）（1）用波长为的光照射金属表面所产生的光电子垂直进入磁感强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动时，其最大半径为R，电子质量为m，电量为e，光速为c，普朗克常量为h，求金属的逸出功W；
（2）一个光源以的功率向四周均匀地发射能量。在离光源距离处放置一小钾箔，钾的逸出功，假设入射光的能量是连续地和平稳地垂直传给钾箔，光的平均波长为。
①根据爱因斯坦的光子说和质能方程，证明光子动量（h是普朗克恒量）。
②假设钾箔完全吸收所有照射到它上面的能量。求：
a．钾箔在垂直入射光方向上单位面积上受到光的平均作用力（用题目中的物理符号表示）。
b．按照经典电磁理论，钾箔只需吸收足够的能量就可以逐出电子，若一个要被逐出的电子收集能量的圆形截面的半径约为一个典型原子的半径，求：此光源照射条件下，用此光源照射时电子将被逐出的时间。
c．根据你的计算结果，你认为经典电磁理论在解释光电效应现象时是否合理？谈谈你的看法。
【答案】（1）；（2）①见解析；②a.；b.2200s；c.不合理、见解析
【详解】（1）由光电子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力

解得

解得最大初动能为

所以逸出功

（2）①根据


又


联立可得

②a.设钾箔的面积为S，t时间内钾箔吸收的光子个数为N，有

由动量定理

解得

结合牛顿第三定律可得单位面积上受到光的平均压力为

b.一个电子在单位时间内吸收的能量

逐出电子所需要的时间为，需要的能量为，有

解得

c. 由于光电效应现象产生光电子的时间极短，几乎不需时间累积，因此经典电磁理论在解释光电效应现象具有局限性，不合理。

8.（2023·北京第101中学·校考三模）如图所示，宽度为L的平行金属导轨水平放置，一端连接阻值为R的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B．将质量为，电阻为的导体棒放在导轨上，与导轨接触良好，其长度恰好等于导轨间距，导轨的电阻忽略不计，导轨足够长．在平行于导轨的拉力F作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动．当导体棒速度为时：

（1）求导体棒产生的感应电动势E；
（2）求电路中的感应电流I及导体棒两端的电压U；
（3）若已知此过程中导体棒产生的电热为，因摩擦生热为，求拉力F做的功W．
【答案】（1）（2）；（3）
【详解】（1）感应电动势
（2）电路中的感应电流
导体棒两端的电压
（3）导体棒产生的电热为，电阻R与导体棒电流相同，电路产生的总电热应为

即导体棒克服安培力做功

电导体棒克服摩擦力做功

对导体棒列动能定理有

代入得

【利用功能原理也可】

9.（2023·北师大实验中学·校考三模）如图1所示，电子感应加速器是利用变化磁场产生的电场来加速带电粒子的装置。在两个圆形电磁铁之间的圆柱形区域内存在方向竖直向下的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑、真空细玻璃管，环形玻璃管中心O在磁场区域中心。一质量为m、带电量为q（q>0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动，图2为其简化示意图。通过改变电磁铁中的电流可以改变磁场的磁感应强度B，若B的大小随时间t的变化关系如图3所示，图中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。
（1）在t＝0到t＝T0时间内，小球不受玻璃管侧壁的作用力，求小球的速度大小v0；
（2）在磁感应强度增大的过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。求从t＝T0到t＝1.5T0时间段内细管内涡旋电场的场强大小E；
（3）某同学利用以下规律求出了t＝2T0时电荷定向运动形成的等效电流：
根据              ①
         ②
得：等效电流   ③
你认为上述解法是否正确，并阐述理由。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）从t＝0到t＝T0时间内小球运动不受细管侧壁的作用力，因而小球所受洛伦兹力提供向心力，有

得

（2）从t＝T0到t＝1.5T0时间内，细管内一周的感应电动势

因为同一条电场线上各点的电场强度大小相等，故电场强度

得

将带入，得

（3）该解法不正确。理由是：周期公式是根据仅由洛伦兹力提供向心力得出的，而实际情况是洛仑兹力与管道侧壁对小球的作用力共同提供向心力。小球在t＝T0到t＝1.5T0时间内受到切向电场力，有
F＝qE
小球切向加速度

t＝1.5T0时小球速率
v＝v0+a·Δt
得

所需向心力

而此时洛伦兹力

可以看出两者并不相等，故该同学的解法是错误的。此外，可以求出正确的等效电流：在T0~1.5T0时间内在沿切线方向用动量定理
0.5EqT0＝mv－mv0
得

因此等效电流


10.（2023·北师大实验中学·校考三模）如图所示，宽度为L的平行金属导轨水平放置，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。将质量为m，电阻为r的导体棒MN放在导轨上，与导轨接触良好，其长度恰好等于导轨间距，导轨的电阻忽略不计，导轨足够长。在平行于导轨的拉力F作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动。当导体棒速度为v时：
（1）求导体棒两端的电压U；
（2）求导体棒所受安培力的功率；
（3）若已知此过程中导体棒产生的电热为，因摩擦生热为，求拉力F做的功W。
  
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）感应电动势

电路中的感应电流

导体棒两端的电压

（2）安培力

功率

整理得

（3）导体棒产生的电热为，电阻R与导体棒电流相同，电路产生的总电热应为

即导体棒克服安培力做功

电导体棒克服摩擦力做功

对导体棒列动能定理有

代入得

【利用功能原理也可】

11.（2023·北大附中·校考三模）如图所示，两根平行光滑金属导轨和放置在水平面内，其间距为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直轨道平面向下，两导轨之间连接电阻R，在导轨上有一金属棒，其电阻为r，金属棒与导轨垂直且接触良好。在棒上施加水平拉力使其以速度v向右匀速运动，设金属导轨足够长。求：
（1）请根据法拉第电磁感应定律推导出闭合电路的感应电动势；
（2）金属棒a、b两点间的电势差；
（3）时间t内电阻R产生的焦耳热。
  
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，闭合电路的感应电动势为

（2）闭合电路中的电流

金属棒a、b两点间的电势差

（3）时间t内电阻R产生的焦耳热


12.（2023·北京房山·统考二模）（1）在电场强度为E的匀强电场中任取A、B两点，把试探电荷沿曲线ACB从A点移到B点。如图甲所示，A、B两点间的距离为l，与水平方向夹角为，求静电力对试探电荷所做的功W。
（2）现代科学研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图乙所示，上、下为电磁体的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。已知电子的电荷量为e，电子做圆周运动的轨道半径为r，忽略相对论效应的影响。
a．电磁体的磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图丙所示，电子在感生电场中加速，写出感生电场的方向，并求在0-T0时间内，真空室中产生感应电动势大小E；
b．均匀变化的磁场会在空间激发感生电场，该电场为涡旋电场。真空室中的电子受到感生电场力的作用定向移动，感生电场力对电子做了功。求电子在真空室中加速所受的感生电场力的大小F，并分析说明涡旋电场中能否像静电场一样建立“电势”的概念。

【答案】（1）；（2）感生电场的方向为顺时针，；（3），静电场的电场线是不闭合的曲线，沿电场线方向电势逐渐降低，而涡旋电场是闭合曲线，所以不能像静电场一样建立“电势”的概念。
【详解】（1）根据功的公式得静电力对试探电荷所做的功

（2）a．由B随时间t的变化关系图可知，磁场随时间在均匀的增大，根据楞次定律可知，感应电流的方向为顺时针，所以感生电场的方向为顺时针，再根据法拉第电磁感应定律有

b．电子运动一周感生电场力对电子做正功，有

解得感生电场力的大小F，

静电场的电场线是不闭合的曲线，沿电场线方向电势逐渐降低，而涡旋电场是闭合曲线，所以不能像静电场一样建立“电势”的概念。

13.（2023·北京门头沟·统考二模）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。导轨间存在垂直于导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），不计电容器放电电流引起的磁场影响。
（1）首先开关S接1，电源对电容器充电。画出充电过程中电容器两极板间的电压u随所带电荷量q变化的图像；并借助图像求出稳定后电容器储存的能量E0；
（2）充电结束后将S接至2开始放电，MN开始向右加速运动。求MN刚开始运动时加速度a的大小；
（3）当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。
a．已知自由电子的电荷量为e，请你分析推导当导体棒获得最大速度之后，导体棒中某一自由电子所受的电场力与导体棒最大速度之间的关系式；
b．求MN离开导轨后的最大速度vm。

【答案】（1），；（2）；（3）F=eBvm，
【详解】（1）电压u随所带电荷量q变化的图像如图所示

电容器充电完毕时其电压等于电动势E。
有：电容器所带的电荷量
Q=CE
图线与横轴所围面积即为电容器储存的能量。有：

（2）电容器完全充电后，两极板电压为E，当开关接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有

MN所受安培力
F=BIL
据牛顿第二定律
F=ma
则有

（3）a．金属导体棒获得最大速度vm时，放电电流为零，此时电容器的电压U与导体棒的感应电动势E棒相等，即
U=E棒=BLvm
导体棒中恒定电场的场强为

导体棒中电子所受的电场力为
F=eE场=eBvm
b．设此过程中的平均电流为，时间为t，根据动量定理有

其中

ΔQ=Q0-Q=CE-CU=CE-CBLvm
有


14.（2023·北京门头沟·统考二模）如图所示，两平行金属板间存在垂直于纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，上极板带正电，下极板带负电，板间电场可视为匀强电场，两板间距离为d，若从两板间的正中央P点沿与板平行方向射入质量为m(不计重力)、电荷量为q、初速度为v0的带电粒子，粒子刚好沿直线从两极板间射出。不计粒子重力。求：
（1）两金属板间匀强电场场强E的大小；
（2）若撤去匀强磁场后带电粒子恰好从下极板边缘飞出，求飞出时粒子的动能Ek；
（3）若撤去匀强电场后带电粒子恰好打在上极板正中央，求粒子运动轨迹半径r。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）刚好沿直线从两极板间射出，合力为，即

解得

（2）在电场中类平抛运动，由动能定理有

解得

（3）在偏转磁场中做半径为R的匀速圆周运动

解得


15.（2023·北京市中关村中学·校考三模）在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。
(1)利用图甲所示的电路可以产生动生电动势。设匀强磁场的磁感应强度为B，金属棒ab的长度为L，在外力作用下以速度v水平向右匀速运动。此时金属棒中电子所受洛仑兹力f沿棒方向的分力f1即为“电源”内部的非静电力。设电子的电荷量为e，求电子从棒的一端运动到另一端的过程中f1做的功。
(2)均匀变化的磁场会在空间激发感生电场，该电场为涡旋电场，其电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，如图乙所示。在某均匀变化的磁场中，将一个半径为r的金属圆环置于相同半径的电场线位置处。从圆环的两端点a、b引出两根导线，与阻值为R的电阻和内阻不计的电流表串接起来，如图丙所示。金属圆环的电阻为R0，圆环两端点a、b间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。此时金属圆环中的自由电子受到的感生电场力F即为非静电力。若电路中电流表显示的示数为I，电子的电荷量为e，求∶
a.金属环中感应电动势E感大小；
b.金属圆环中自由电子受到的感生电场力F的大小。
(3)直流电动机的工作原理可以简化为如图丁所示的情景。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R的金属杆ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道端点MP间接有内阻不计、电动势为E的直流电源。杆ab的中点O用水平绳系一个静置在地面上、质量为m的物块，最初细绳处于伸直状态（细绳足够长）。闭合电键S后，杆ab拉着物块由静止开始做加速运动。由于杆ab切割磁感线，因而产生感应电动势E'，且E'同电路中的电流方向相反，称为反电动势，这时电路中的总电动势等于直流电源电动势E和反电动势E'之差。
a.请分析杆ab在加速的过程中所受安培力F如何变化，并求杆的最终速度vm；
b.当电路中的电流为I时，请证明电源的电能转化为机械能的功率为。

【答案】(1)；(2)a.；b.(3)a. ；b.见解析
【详解】(1)金属棒中电子所受洛仑兹力f沿棒方向的分力f1=evB，棒方向的分力f1做的功
W1=f1L
得
W1=evBL
(2)a.金属环中感应电动势
E感=I(R0+R)
b.金属环中电子从a沿环运动b的过程中，感生电场力F做的功
WF=F•2πr
由电动势的定义式

得

(3)a.杆ab在加速的过程中，杆切割磁感线的速度v增大，杆切割磁感线产生的感应电动势E′=BLv，故E′增大，由

可知，电路中的电流I减小，杆所受安培力F=BIL故F减小，设细绳的拉力为T，杆的质量为m0，根据牛顿第二定律
F－T=m0a
物块以相同的加速度大小向上做加速运动，根据牛顿第二定律
T－mg=ma
得
F－mg=(m+m0)a
F减小，杆的加速度a减小，当F=mg时，a为零，此时，杆达到最终速度vm。此时杆上产生的感应电动势E′=BLvm，得

b.由

得
IR=E－E′
两边同乘以I，经整理得
EI=I2R+E′I
由上式可以看出，电源提供的电能（功率为EI），一部分转化为了电路中产生的焦耳热（热功率为I2R），另一部分即为克服反电动势做功（功率为E′I）消耗的电能，这部分能量通过电磁感应转化为了杆和物块的机械能。

16.（2023·北京朝阳·统考一模）如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，以水平速度从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小B；
（2）若撤去磁场只保留电场，求粒子射出电场时沿电场方向移动的距离y；
（3）若撤去电场，仅将磁感应强度大小调为B＇，粒子恰能从上极板右边缘射出，求B＇的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）带电粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡，有
得
（2）水平方向有
竖直方向有


得
（3）设粒子做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系
得

17．（2023·北京东城·统考一模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨和固定在绝缘水平面上，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计，在导轨的一端连接有阻值为R的定值电阻。一根长度为l，质量为m、电阻为的导体棒垂直于导轨放置，并始终与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导体棒在水平向右的拉力作用下，沿导轨做匀速直线运动，速度大小为v，空气阻力可忽略不计。
（1）求通过定值电阻的电流大小及方向。
（2）求导体棒运动t时间内，拉力所做的功。
（3）若在水平向右的拉力不变的情况下，将整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，有同学认为：“由于导体棒所受的安培力方向会发生改变，导体棒不能再向右做匀速直线运动。”该同学的观点是否正确，说明你的观点及理由。

【答案】（1），方向从M到P；（2）；（3）该同学的观点不正确。若将整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，由于磁场方向与原来相反，使得通过导体棒的电流方向与原来相反，但导体棒所受安培力方向不变，仍与外力平衡，导体棒可以向右做匀速直线运动
【详解】（1）导体棒切割磁感线产生感应电动势
根据闭合电路欧姆定律
通过定值电阻的电流大小
根据右手定则可知电流方向从M到P。
（2）导体棒做匀速直线运动，拉力等于安培力
导体棒所受安培力
导体棒运动t秒的位移
拉力F所做的功
联立可得
（3）该同学的观点不正确。若将整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，由于磁场方向与原来相反，使得通过导体棒的电流方向与原来相反，但导体棒所受安培力方向不变，仍与外力平衡，导体棒可以向右做匀速直线运动。

18．（2023·北京丰台·统考一模）如甲图所示，有一边长l的正方形导线框abcd，质量，电阻，由高度h处自由下落，直到其上边cd刚刚开始穿出匀强磁场为止，导线框的v-t图像如乙图所示。此匀强磁场区域宽度也是l，磁感应强度，重力加速度g取10。求：
（1）线框自由下落的高度h；
（2）导线框的边长l；
（3）某同学认为，增大磁场磁感应强度B，保持其它条件不变，导线框速度随时间变化图像与乙图相同，你是否同意该同学的说法，请分析说明。

【答案】（1）0.2m；（2）0.1m；（3）不同意，详见解析
【详解】（1）导线框下落h的过程中做自由落体运动
解得
（2）导线框穿过磁场过程中合力为零，则根据感应电动势和安培力的表达式得
，，，
联立可得
（3）不同意该同学的说法。题中导线框释放后先做自由落体运动，当ab边进入磁场后，导线框所受重力与安培力大小相等，导线框做匀速直线运动，v-t图像为与t轴平行的直线。
若增大磁感应强度，导线框释放后仍然先做自由落体运动，当ab边进入磁场后，由于安培力的表达式为

所以导线框所受的安培力与重力大小不等，导线框不再做匀速直线运动，因此v-t图像不可能与t轴平行。

19．（2023·北京海淀八模（一））如图所示，两间距为L的光滑导轨水平放置在竖直向下的磁场中，磁感应强度均随位置坐标x按（k为已知的正常数）的规律变化。导轨的电阻不计，导轨左端通过单刀双掷开关K与电阻为R的电阻器或电容为C的电容器相连。导轨上的质量为m电阻不计的金属棒ab与x轴垂直且与导轨接触良好。t=0时刻在外力F（大小是未知的）作用下从原点O开始以速度v0向右匀速运动，试回答下列问题：
（1）当t=0时刻开关K接1时，求在t时刻通过导体棒电流的大小和方向，并求出此时 F的大小：
（2）当t=0时刻开关K接2时，求在t时刻通过导体棒电流的大小和方向，并求出此时外力F的大小。

【答案】（1），电流的方向为，；（2），电流的方向为，
【详解】（1）当t=0时刻开关K接1时，时间内导体棒运动走过的位移
此时的磁场强度为
导体棒切割磁感线产生的电动势为
回路中电流的大小为
根据右手定则电流的方向为
此时导体棒受到的拉力F等于安培力，即
（2）当t=0时刻开关K接2时，
时间内导体棒运动走过的位移
此时的磁场强度为
导体棒切割磁感线产生的电动势为
t时刻电容器上所带的电荷量为
在极短时间内极板上增加的电荷量为
所以在t时刻通过导体棒电流的大小
按照右手定则可知电流的方向为
t时刻时导体棒受到的拉力F等于安培力，即

20．（2023·北京海淀八模（二））如图所示等腰直角三角形位于直角坐标系第一象限内，直角边与x轴重合，与y轴重合，直角边长度为d，在直角三角形内存在垂直纸面向外的匀强磁场，直角边上安装有一荧光屏。现有垂直边射入一群质量均为m，电荷量均为q、速度大小相等的带正电粒子，已知垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间为，而这些粒子在磁场中运动的最长时间为（不计重力和粒子间的相互作用）。试通过计算回答下列问题：
（1）该匀强磁场的磁感应强度大小多大？
（2）粒子的速度和直角边上安装的荧光屏上发光的长度多大？

【答案】（1）；（2），
【详解】（1）根据题意可知，垂直边射出的粒子运动轨迹的圆心角为，则由牛顿第二定律有

又有
则有
解得
（2）根据题意，设运动时间最长粒子在磁场中的运动轨迹所对圆心角为，则有
解得
画出该粒子的运动轨迹如图所示

由几何关系有
解得
由几何关系可知，粒子垂直边射出时，是粒子从边飞出离点的最远距离，则直角边上安装的荧光屏上发光的长度
又有
解得

21．（2023·北京海淀八模（四））如图所示，两条平行金属导轨的间距为L，长为d的倾斜部分与水平面的夹角为，水平部分足够长，两部分平滑相连，倾斜导轨下端接有一平行板电容器，电容为C。两部分导轨均处于匀强磁场中，方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小分别为和B，在倾斜导轨下端放置一质量为m的金属棒，使其沿导轨由静止开始加速上滑，当金属棒下滑d后无动能损失进入水平轨道，然后进入竖直向下的匀强磁场。已知金属棒在滑动过程中始终与导轨垂直且接触良好，电容器能正常工作，重力加速度为g，不计所有电阻和摩擦阻力。试求：
（1）金属棒刚进入水平轨道时速度的大小；
（2）金属棒进入水平轨道后的最终速度v。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设金属棒速度大小为时，经历的时间为，通过金属棒的电流为，对金属棒有
设在极短时间间隔内流过金属棒的电荷量为，则
而


所以
联立解得
金属棒做初速度为零的匀加速运动，当金属棒下滑后的速度大小为
联立解得
（2）由可知当导体棒刚进入水平轨道时电容器极板上积累的电荷量为
此时金属棒的速度大小仍为
而感应电动势
小于电容器两极板间的电压，电容器放电，设再经过时间电容器放电结束，此时金属棒达到最终速度为，取水平向右为正方向，根据动量定理可得
而


联立解得

22．（2023·北京平谷·统考一模）在原子反应堆中抽动液态金属或在医疗器械中抽动血液等导电液体时，由于不允许传动机械部分与这些液体相接触，常使用一种电磁泵。如图所示是一种液态金属电磁泵的简化结构示意图，将装有液态金属、截面为矩形的导管的一部分水平置于匀强磁场中，当电流穿过液态金属时，液态金属即被驱动。若输送液态金属的管道（用特殊陶瓷材料制成）截面长为a，宽为b（不计管道壁的厚度），正、负电极板镶嵌在管道两侧（两极板正对且与管内液态金属良好接触），电极板长为c，宽为b；正、负电极板间的液态金属恰好处在磁场区域内，该磁场的磁感应强度为B，方向与导管上、下表面垂直；通过两电极板间液态金属的电流为I；液态金属在磁场驱动力的作用下，在导管中以恒定的速率v流动。已知液态金属的电阻率为。
（1）导管截面上由磁场驱动力所形成的附加压强是多大？
（2）在时间内，电流通过两电极板间液态金属所消耗的电能是多少？
（3）推动液态金属的驱动力实际上是通电金属液柱在磁场中受到的安培力，安培力推动液态金属做功，使电能转化为机械能。我们知道，导体中的运动电荷受到的洛仑兹力在宏观上表现为安培力，而洛伦兹力对运动电荷是不做功的，但是推动液态金属的安培力却做功了，这是为什么？请你对此做出合理的解释（为了方便，可假设液态金属中的自由电荷为正电荷）。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）通电液体在磁场中受到的安培力
则导管截面上由磁场驱动力所形成的附加压强
（2）电路产生的热量
所以在时间内电流通过两电极板间液态金属所消耗的电能

（3）液态金属中的自由电荷一方面沿电流方向运动，另一方面沿极板方向运动，洛伦兹力f与二者合速度的方向垂直，而运动电荷受到的洛仑兹力在宏观上表现为安培力，则f的方向即为安培力的方向，可见安培力在推动液态金属沿导管运动过程是做功的。
设电荷沿电流方向的定向移动为v，对应受到的洛仑兹力为；沿极板方向的运动的速度为u，对应受到的洛仑兹力为，如图：

有


可见
即洛伦兹力f对运动电荷是不做功的。

23．（2023·北京西城·统考一模）如图1所示，边长为l、总电阻为R的正方形导线框，以恒定速度v沿x轴运动，并穿过图中所示的宽度为的匀强磁场区域，磁感应强度为B。
（1）求边刚进入磁场时，线框中产生的电动势E；
（2）求边刚进入磁场时，线框受到的安培力的大小F；
（3）以顺时针方向为电流的正方向，由线框在图示位置的时刻开始计时，在图2中画出线框中的电流随时间变化的图像，并求线框穿过磁场区域的全过程产生的电能。

【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，
【详解】（1）边刚进入磁场时，线框中产生的电动势
（2）边刚进入磁场时，线框中的电流
线框受到的安培力
联立解得
（3）线框中的电流随时间变化的图像见答图

线框穿过磁场区域的全过程产生的电能
其中
得

24．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度，一端连接的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。电阻的导体棒ab放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。在平行于导轨的拉力F作用下，导体棒沿导轨向右以匀速运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好。设金属导轨足够长，不计导轨电阻和空气阻力．求：
（1）电动势的大小；
（2）导体棒两端的电压；
（3）通过公式推导证明：导体棒向右匀速运动时间内，拉力做的功等于电路获得的电能。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势为
（2）回路的感应电流为
则导体棒两端的电压为
（3）导体棒做匀速直线运动，则有
导体棒向右匀速运动时间内，拉力做的功为
时间内，电路获得的电能为
可得

25．（2023·北京延庆·统考一模）加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的一种．如图1为回旋加速器的工作原理图。和是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两极相连．两盒处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于盒圆心附近的A处有一个粒子源，产生质量为、电荷量为的带电粒子。不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙的时间，加速过程中不考虑相对论效应。
（1）若已知半圆金属盒的半径为，请计算粒子离开加速器时获得的最大动能；
（2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率；
（3）某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距是相等的。请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势。

【答案】（1）；（2）；（3）不合理，见解析
【详解】（1）当粒子在磁场中的轨道半径等于半圆金属盒半径时，粒子具有最大速度，最大动能；由洛伦兹力提供向心力可得
可得
粒子离开加速器时获得的最大动能为
（2）设在时间内离开加速器的带电粒子数为，则粒子从回旋加速器输出时形成的等效电流为
解得
带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率为
（3）第次加速获得的速度为，根据动能定理可得
第次加速获得的速度为，根据动能定理可得
根据，
联立可得
所以相邻轨迹间距是不相等的，故该轨迹不合理。合理的轨迹，其间距会越来越小，示意图如图所示



26．（2023·北京汇文中学·校考一模）如图所示，一边长为L、阻值为R的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，它的一边与磁场的边界MN重合。线框在一大小为F的水平恒力作用下由静止开始向左运动，并最终以恒定的速度匀速离开磁场区域，线框离开磁场的全过程所用时间为t0。
（1）线框中感应电流的方向是顺时针还是逆时针？
（2）求线框匀速运动时速度的大小v；
（3）求被拉出磁场的过程中，线框中的平均感应电动势。

【答案】（1） 逆时针；（2） ；（3）
【详解】（1）根据右手定则可判断线框的感应电流方向为逆时针。
（2） 当线框匀速运动时外力F与安培力大小相等，因此有，
得。
（3）由
得

27．（2023·北京四中·校考一模）电磁减震器是利用电磁感应原理的一种新型智能化汽车独立悬架系统。某同学也设计了一个电磁阻尼减震器，图为其简化的原理图。该减震器由绝缘滑动杆及固定在杆上的多个相互紧靠的相同矩形线圈组成，滑动杆及线圈的总质量m＝1.0kg。每个矩形线圈abcd匝数n＝100匝，电阻值，ab边长L＝20cm，bc边长d＝10cm，该减震器在光滑水平面上以初速度向右进入磁感应强度大小B＝0.1T、方向竖直向下的匀强磁场中。求：
（1）刚进入磁场时减震器的加速度大小；
（2）第二个线圈恰好完全进入磁场时，减震器的速度大小；
（3）若减震器的初速度v＝5.0m/s，则滑动杆上需安装多少个线圈才能使其完全停下来？求第1个线圈和最后1个线圈产生的热量比k？不考虑线圈个数变化对减震器总质量的影响。

【答案】（1）；（2）0.2m/s；（3）96
【详解】（1）减震器受到的安培力为
刚进入磁场减速瞬间减震器的加速度为
（2）设向右为正方向，对减震器进行分析，由动量定理可得

解得
（3）由上述小题得，每一个线圈进入磁场的过程中，减震器速度减小量
线圈的个数为个
则需要13个线圈，只有进入磁场的线圈产生热量，线圈产生的热量等于动能的减少量。
第一个线圈恰好完全进入磁场时
最后一个线圈刚进入磁场时
因此

28．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，一个电阻、匝数（图中只画了1匝）的圆形金属线圈与的定值电阻连成闭合回路，线圈所围面积，线圈处在垂直于线圈平面的匀强磁场中，取垂直线圈平面向里为磁场正方向，磁感应强度B随时间t变化的关系为。求
（1）通过电阻R的电流大小I和方向；
（2）4s内：
a．通过电阻R的电荷量q；
b．电路中产生的焦耳热Q。

【答案】（1）0.4A，方向有b到a；（2）a．1.6C；b．6.4J
【详解】（1）由题意可知，磁场的磁感应强度随时间t变化为，可知磁感应强度在减小，根据楞次定律可知，通过电阻R的电流方向为由b到a，有


解得
（2）a．之前的分析可知，通过电阻R的电流为0.4A，则其电荷量有
b．根据焦耳定律有，4s内电路产生的热量为

29．（2023·北京石景山·统考一模）如图所示，宽度为L的U型导体框，水平放置在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，左端连接一阻值为R的电阻。一质量为m、电阻为r的导体棒置于导体框上。不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦，导体棒与导体框始终接触良好。在水平向右的拉力作用下，导体棒以速度匀速向右运动。
（1）求通过导体棒的电流大小I；
（2）求拉力做功的功率P；
（3）某时刻撤去拉力，经过一段时间导体棒停在导体框上，求在此过程中电阻R上产生的热量Q。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）导体棒以速度匀速向右运动时产生的感应电动势大小为
根据闭合电路欧姆定律可知通过导体棒的电流大小为
（2）根据能量守恒定律可知拉力做功的功率等于回路的消耗的电功率，即
（3）从撤去拉力到导体棒ab最终停止的过程，回路产生的总热量为
由于通过导体棒ab和电阻R的电流时刻相等，根据焦耳定律可推知在此过程中电阻R上产生的热量为


30．（2023·北京房山·统考一模）某一质谱仪原理如图所示，A为粒子加速器，粒子由静止加速后以速度v进入B；B为速度选择器，磁场（图中未标出）与电场正交，速度选择器两板间电压为，两板间距离为d；C为偏转分离器，磁感应强度为。今有一质量为m、电荷量为e的正粒子（不计重力），经加速后，该粒子恰能沿直线通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。求：
（1）加速器的加速电压；
（2）磁感应强度的大小和方向；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R。


【答案】（1）；（2），方向垂直纸面向里；（3）
【详解】（1）粒子加速过程根据动能定理可得
解得
（2）根据平衡条件，
解得
方向垂直纸面向里。
（3）粒子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得
解得

31．（2023·北京房山·统考一模）电磁轨道炮是利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，电磁轨道炮示意图如图甲所示，直流电源电动势为E，电容器的电容为C，两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，电阻不计，炮弹可视为一质量为m、电阻为R的导体棒ab，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。导轨间存在垂直于导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，不计电容器放电电流引起的磁场影响。
（1）求电容器充电结束后所带的电荷量Q；
（2）请在图乙中画出电容器两极间电势差u随电荷量q变化的图像。类比直线运动中由图像求位移的方法，求两极间电压为U时电容器所储存的电能；
（3）开关由1拨到2后，电容器中储存的电能部分转化为炮弹的动能。从微观角度看，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力在能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导体棒ab中的自由电荷为正电荷。我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请结合图丙分析说明其原理。

【答案】（1）；（2），；（3）见解析
【详解】（1）电容器充电完毕时其电压等于电动势E，所以电容器所带的电荷量
（2）由可知，电压u随所带电荷量q成正比，其图像如图所示

两极间电压为U时图线与横轴所围面积即为电容器储存的能量
（3）由题可知电容器上极板带正电，故当开关由1拨到2后，棒ab中的正电荷受静电力的作用向下运动，由左手定则可知其受到方向向右的洛伦兹力f1，在安培力的作用下，棒ab整体向右运动，故其中的正电荷又有向右的分速度，故其又受到 b→a 方向的洛伦兹力f2，受力分析如图

设自由电荷的电荷量为e，沿导体棒向下定向移动的速率为，棒ab向右运动的速度为v，则沿棒方向的洛伦兹力
该力做负功
垂直棒方向的洛伦兹力
该力做正功
所以，即导体棒中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。f1做正功，宏观上表现为安培力做正功，使导体棒机械能增加；f2做负功，阻碍静电力将正电荷从a端搬运到b端，相当于电源中的非静电力，宏观上表现为“反向电动势”，消耗了电容器中的电能。大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将电容器中的电能转化为等量的机械能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。

32．（2023·北京门头沟·统考一模）如图所示为质谱仪的原理图。电荷量为q、质量为m的带电粒子从静止开始经过电压为U的加速电场后，进入粒子速度选择器。选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强电场的场强为E。带电粒子能够沿直线穿过速度选择器，从G点沿垂直于MN的方向射入偏转磁场。偏转磁场是一个以直线MN为边界、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为。带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片的H点。带电粒子的重力忽略不计。求：
（1）粒子从加速电场射出时速度v的大小；
（2）粒子速度选择器中匀强磁场的磁感应强度的大小和方向；
（3）实验过程中，为了提高测量精确度，需要使GH值增大。某次实验只增大加速电压U后，发现没有达到实验目的，请你通过推导给出合理的操作建议。

【答案】（1）；（2）；垂直纸面向外；（3）见解析
【详解】（1）粒子在电场中加速，可得
解得
（2）粒子在速度选择器中受力平衡，可得
解得
根据左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸面向外。
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
由几何关系，可知GH值为
易知可以通过减小的方法，来使GH值增大。

33．（2023·北京门头沟·统考一模）类比是研究问题常用的方法。
（1）有一段长度为l（l很小）、通过电流为I的导线垂直于匀强磁场时受磁场对它的力为F。请类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义。
（2）如图1所示，真空存在正点电荷Q，以点电荷为球心作半径为r的球面。请类比磁通量的定义方式，求通过该球面的电通量。（已知静电力常数为k）
（3）狄拉克曾预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁场呈均匀辐射状分布，距离磁单极子r处的磁感应强度大小为（c为常数）。设空间有一固定的S极磁单极子，磁场分布如图2所示。有一带正电微粒（重力不能忽略）在S极正上方做匀速圆周运动，周期为T，运动轨迹圆心到S极的距离为d，重力加速度为g。求带电微粒所在圆轨道处的磁感应强度B的大小。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）电场强度的定义是放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量的比值，即
则类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义，可将很小段的通电导线类比于电场中的电荷，将导线长度与所通入电流的乘积类比与电荷所带电荷量，因此磁感应强度可定义为垂直放入磁场中某位置的通电导线所受磁场力跟通电导线的长度与通入电流乘积的比值，即为
（2）根据磁通量的定义磁感应强度B与面积S（垂直通过磁场线的面积，即有效面积）的乘积，叫做穿过这个平面的磁通量（穿过面积S的磁场线条数），即
若类比磁通量的定义来定义通过球面的电通量，则可定义为电场强度E与球面面积S的乘积，叫做穿过这个球面的电通量，即
（3）设粒子在其轨道任意一点处与磁单极子的连线与竖直方向的夹角为，该粒子的质量为，带电量为，该粒子做圆周运动的轨迹半径为，则由题意可得


两式相比可得
由几何关系可知
可得
由正余弦关系，
可得
而由几何关系可知
解得
而
代入解得

34．（2023·北京通州·统考一模）如图所示，两足够长的平行光滑金属导轨水平放置，相距为L，电阻不计，其间连接一阻值为R的电阻和一理想电压表，导轨处在匀强磁场中，磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直。当电阻为r的金属棒MN在水平拉力的作用下向右做匀速运动时，电压表读数为U，求：
（1）回路中的感应电流I的大小
（2）金属棒运动的速度v的大小；
（3）金属棒所受拉力F的大小，以及拉力的功率P。

【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）回路中的感应电流
（2）感应电动势
由法拉第电磁感应定律
金属棒运动的速度
（3）因为金属棒匀速运动，金属棒所受拉力
拉力的功率P，

35.（2023·昌平区市级名校·联考）如图所示，将某正粒子放射源置于原点，其向各方向射出的粒子速度大小均为，质量均为，电荷量均为. 在的第一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与轴正方向相同，在的第一、二象限范围内分布着一个匀强磁场，方向垂直于平面向里.粒子离开电场上边缘时，能够到达的最右侧的位置为. 最终恰没有粒子从磁场上边界离开磁场. 若只考虑每个粒子在电场中和磁场中各运动一次，不计粒子重力以及粒子间的相互作用.求：

（1）电场强度；
（2）磁感应强度；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)粒子离开电场上边缘时,能够到达最右侧位置的粒子是沿轴正方向发射的粒子,对此粒子,有,
由类平抛运动基本规律得
，，
联立可得.
(2)沿轴正方向发射的粒子射入磁场时,有，
联立可得，
,方向与水平方向成斜向右上方,
根据题意知该粒子的运动轨迹恰与磁场上边界相切,其余粒子均不能达到边界,
由几何关系可知,
由，得，联立可得.

(3)粒子运动的最长时间对应最大的圆心角,运动轨迹经过且恰与磁场上边界相切的粒子,其轨迹对应的圆心角最大，由几何关系可知圆心角,
粒子运动的周期，.

36．（2023·昌平区市级名校·联考）如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合金属线框abcd，线框平面与磁场垂直．已知磁场的磁感应强度为B0，线框匝数为n、面积为S、总电阻为R。现将线框绕cd边转动，经过Δt时间转过90°。求线框在上述过程中
(1)感应电动势平均值E；
(2)感应电流平均值I；
(3)通过导线横截面的电荷量q。

【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
(1)线圈从图示位置开始转过90°的过程中，磁通量的变化量为
∆φ=BS
所用时间为
根据法拉第电磁感应定律有
则平均电动势为
(2)依据闭合电路欧姆定律，那么感应电流的平均值为
(3)由电量公式
可得

37．（2023·北京西城·统考二模）电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。
（1）直流电动机的工作原理可以简化为图1所示的模型。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。质量为m、电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端接有直流电源，电源电动势为E、内阻不计。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。在导体棒运动过程中，导体棒上的电流I与速度v的大小关系满足，导体棒始终受到大小为f的阻力作用。求：
a、 闭合S瞬间，导体棒受到的安培力的大小；
b、 导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小a
（2）某兴趣小组根据直流电动机的工作原理设计了模型飞机的电磁弹射装置。如图2所示，用于弹射模型飞机的线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B，线圈可沿导轨滑动。开关接通，电动势为E、内阻不计的电源与线圈连接，线圈推动飞机从静止开始加速，运动过程中线圈和飞机受到的总阻力恒为f、线圈总电阻为R，匝数为n，每匝周长为l。
a、 若导轨足够长，求飞机能够获得的最大速度。
b、 为了让线圈在模型飞机弹出后尽快停下来，该小组在图2的基础上改进了电路。如图3所示，单刀双掷开关接通1，线圈推动飞机加速；飞机弹出后，将单刀双掷开关接通2，让线圈减速。请说明这一设计的原理。

【答案】（1）a．；b．；（2）a．；b．见解析
【详解】（1）a．闭合S瞬间，根据闭合电路欧姆定律有
导体棒受到的安培力的大小
b．导体棒速度为v时，反电动势为
导体棒受到的安培力的大小
由牛顿第二定律可得导体棒加速度的大小
（2）a．当飞机与线圈组成的系统受到的安培力与阻力大小相等时，飞机的速度达到最大，则有
线圈受到的安培力为
由
可得
b．飞机弹出后，开关接通2，线圈和电阻组成闭合回路，线圈在磁场中做切割磁感线的运动，产生感应电流，受到与运动方向相反的安培力，安培力使线圈做减速运动。

38．（2023·北京海淀·统考二模）电磁场，是一种特殊的物质。
（1）电场具有能量。如图所示，原子核始终静止不动，α粒子先、后通过A、B两点，设α粒子的质量为m、电荷量为q，其通过A、B两点的速度大小分别为vA和vB，求α粒子从A点运动到B点的过程中电势能的变化量ΔEp。
（2）变化的磁场会在空间中激发感生电场。如图所示，空间中有圆心在O点、垂直纸面向里、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，当空间中各点的磁感应强度随时间均匀增加时，请根据法拉第电磁感应定律、电动势的定义等，证明磁场内，距离磁场中心O点为r处的感生电场的电场强度E与r成正比。（提示：电荷量为q的电荷所受感生电场力F=qE）
（3）电磁场不仅具有能量，还具有动量。如图所示，两极板相距为L的平行板电容器，处在磁感应强度为B的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里。将一长度为L的导体棒ab垂直放在充好电的电容器两极板之间（其中上极板带正电），并与导体板良好接触。上述导体棒ab、平行板电容器以及极板间的电磁场（即匀强磁场、电容器所激发的电场）组成一个孤立系统，不计一切摩擦。求当电容器通过导体棒ab释放电荷量为q的过程中，该系统中电磁场动量变化量的大小Δp和方向。

【答案】（1）；（2）见详解；（3），水平向左
【详解】（1）由能量守恒可得
（2）假设磁场中有以O为圆心半径为r的圆形闭合回路。磁感应强度随时间均匀增加则
回路中产生的感应电动势为
带电量为q的粒子在回路中运动一圈有
解得
距离磁场中心O点为r处的感生电场的电场强度E与r成正比。
（3）对导体棒ab由动量定理可得
得
即导体棒ab动量变化量大小为BLq，方向水平向右。系统动量守恒，所以
即电磁场动量变化量的大小为，方向水平向左。

39．（2023·北京丰台·统考二模）如图所示，两根间距为的平行金属导轨在同一水平面内，质量为的金属杆b垂直放在导轨上。整个装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向与金属杆垂直且与导轨平面成角斜向上。闭合开关S，当电路电流为时，金属杆ab处于静止状态，重力加速度为。求：
（1）金属杆ab受到的安培力大小；
（2）导轨对金属杆ab的支持力大小；
（3）滑动变阻器的滑片P向右移动，金属杆ab受到的支持力减小，金属杆ab仍保持静止。某同学认为：由于金属杆ab受到的支持力减小，所以它受到的摩擦力减小。你是否同意该同学的说法，请分析说明。

【答案】（1）；（2）；（3）不同意，分析见解析
【详解】（1）金属杆ab受力示意图如图所示

磁场对金属杆ab的安培力大小为
（2）竖直方向根据受力平衡可得
解得
（3）不同意该同学的说法。
金属杆ab所受摩擦力f为静摩擦力，其大小与支持力无关；由于金属杆ab处于静止状态，其所受静摩擦力大小等于安培力在水平方向的分力大小，即
因此金属杆ab中电流增大时，金属杆ab所受静摩擦力变大。

40．（2023·北京东城·统考二模）如图所示，粗细均匀的导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的水平匀强磁场上方h处。线框由静止开始自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零。已知重力加速度为g。在线框进入磁场过程中，求：
（1）线框中产生的感应电动势大小E，及cd两点间的电势差Ucd；
（2）线框的质量m；
（3）通过线框的电荷量q。

【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）线框自由下落过程中，由动能定理得
解得
由法拉第电磁感应定律感应电动势为
cd两点间的电势差
（2）线框中电流
则cd边所受安培力
cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零，则
解得线框的质量
（3）在线框进入磁场过程中，通过线框的电荷量
又，，
解得

41．（2023·北京东城·统考二模）在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻。
（1）图甲所示的半导体薄片的厚度为d，薄片中自由电荷的电荷量为q，单位体积内的自由电荷数为n。磁感应强度大小为B。请你推导霍尔电阻的表达式。
（2）在发现霍尔效应约100年后，科学家又发现某些半导体材料的霍尔电阻，在低温和强磁场下，与外加磁场的关系出现一个个的“平台”，在平台处霍尔电阻严格等于一个常数除以正整数，即，其中h为普朗克常数，e为电子电荷量，i为正整数，这个现象被称为整数量子霍尔效应。在环境温度小于4K时，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度B的关系图像如图乙所示。由于量子霍尔电阻只与基本物理常数有关，国际计量委员会推荐在世界范围内用量子电阻标准替代实物电阻标准，以避免实物电阻阻值因环境影响而变化。由于霍尔电阻与实物电阻的定义并不相同，因此需要利用一些方法才可以将量子霍尔电阻标准电阻值“传递”给实物电阻。“传递”的一种方法叫“电位差计比较法”，其原理可简化为图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。通过比较霍尔电势差与实物电阻两端的电势差，即可达到比较霍尔电阻与实物电阻阻值的目的。
a．某次实验时，霍尔元件所处环境温度为1.5K，磁感应强度大小为8T，此时a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等。若，。通过分析，计算该实物电阻的阻值（结果保留两位有效数字）。
b．如果要通过量子霍尔效应“传递”出一个阻值为的标准实物电阻，请你说明操作思路。

【答案】（1）；（2）a．；b．见解析
【详解】（1）当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有
半导体内的电流为I，有
设半导体的长为a，宽为b，半导体的通电流方向的横截面积为
其半导体两端的霍尔电压为
整理有
根据霍尔电阻定义有
解得
（2）a．根据题意此时的霍尔电阻为
环境温度为1.5K，磁感应强度为8T，结合题意，带入数据有
因为通过霍尔元件的电流与通过实物电阻的电流相等，霍尔电势差与实物电阻两端的电势差相同，所以实物电阻的电阻等于此时霍尔元件的霍尔电阻，所以有
b．实验时，利用图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。让霍尔元件所处环境温度低于4K，磁感应强度大小为5T，调节a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等，则此时通过量子效应 “传递”出的即为阻值的标准实物电阻。

42．（2023·北京朝阳·统考二模）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原子核外的电子以角速度绕核做匀速圆周运动，电子的电荷量为e，求等效电流I的大小。
（2）如图所示，由绝缘材料制成的质量为m、半径为R的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为Q的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度随时间t均匀增加，即（为已知量）。不计圆环上的电荷作加速运动时所产生的电磁辐射。
a．求角速度为时圆环上各点的线速度大小v以及此时整个圆环的总动能；
b．圆环转动同样也形成等效的环形电流，已知该电流产生的磁场通过圆环的磁通量与该电流成正比，比例系数为k（k为已知量）。由于环加速转动形成的瞬时电流及其产生的磁场不断变化，圆环中会产生感应电动势，求此感应电动势的大小E；
c．设圆环转一圈的初、末角速度分别为和，则有。请在a、b问的基础上，通过推导证明圆环每转一圈外力所做的功W为定值。

【答案】（1）；（2）a．，；b．；c．见解析
【详解】（1）等效电流的大小为
（2）a．角速度为时圆环上各点的线速度大小为
整个圆环的总动能为
b．角速度随时间t均匀增加，即，则等效电流为
磁通量与该电流成正比，比例系数为k，根据法拉第电磁感应定律有
c．圆环转一圈的初、末动能分别为，
根据动能定理有
可知圆环每转一圈外力所做的功W为定值。
43．（2023·北京昌平·统考二模）现代科学研究中常用到高能粒子，产生这些高能粒子的“工厂”就是各种各样的粒子加速器。
（1）如图所示，真空中平行金属板M、N之间所加电压为U，一个质量为m、电荷量为的粒子从M板由静止释放，经电场加速后到达N板，不计带电粒子的重力。求带电粒子到达N板时的速度大小v。
（2）1930年，物理学家劳伦斯设计出了回旋加速器，其工件原理如图所示。半径为R的高真空的D形金属盒处在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与盒面垂直。将两盒与电压为U的高频交流电源相连，两盒的狭缝间形成周期性变化的电场。A处粒子源产生的带电粒子，质量为m、电荷量为，初速度忽略不计。调整交流电源的频率可使粒子每次通过狭缝时都能被加速。不计带电粒子穿过狭缝的时间和粒子所受重力。
a．求所用交流电源的频率f；
b．对于用回旋加速器加速带电粒子，甲、乙两位同学有不同的看法：甲同学认为增大交流电源的电压U，就能得到更大能量的粒子；乙同学认为增大D形盒的半径R，就能得到更大能量的粒子。忽略相对论效应。你认为哪位同学的看法合理？简要说明理由。

【答案】（1）；（2）；
【解析】
【详解】（1）带电粒子从M板由静止释放加速到N板的过程，根据动能定理，有
带电粒子到达N板时的速度大小为
（2）a．根据回旋加速器的工作原理可知，交流电源的频率与粒子做圆周运动的频率相同
b．乙同学的看法合理；
理由是：粒子的速度与半径成正比，所以当圆周运动的半径最大时，粒子的动能最大，则有
解得
所以增大交流电源的电压U，不能得到更大能量的粒子；增大D形盒的半径R，能得到更大能量的粒子。

44．（2023·北京十二中·校考模拟）如图所示，在光滑绝缘的水平面上有一矩形区域，和边长度分别为9cm和8cm，O为矩形的中心。在矩形区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。在O点把一带电小球向各个方向发射，小球质量为、所带电荷量为。
(1)求小球在磁场中做完整圆周运动时的最大速度；
(2)现在把小球的速度增大为的倍，欲使小球尽快离开矩形，求小球在磁场中运动的时间。

【答案】（1）2.5m/s（2）
【解析】（1）O点到ad(bc)边的距离为，到ab(cd)边的距离为，要使小球不离开磁场，小球与两边相切时，小球做圆周运动的半径最大，如图所示，设最大半径为，
由几何知识有


联立解得
由解得v0=2.5m/s

（2）把小球的速度增大为的倍，即v=4m/s，此时小球运动的半径为
欲使小球尽快离开矩形，则轨迹如图；由几何关系可知，粒子在磁场中的圆周角为60°，则时间


45．（2023·北京一五六中学·校考模拟）如图，两相互平行的光滑金属导轨，相距L=0.2m，左侧轨道的倾角θ=30°，M、P是倾斜轨道与水平轨道连接点，水平轨道右端接有电阻R=1.5Ω，MP、NQ之间距离d=0.8m，且在MP、NQ间有宽与导轨间距相等的方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化关系如图乙所示，－质量m=0.01kg、电阻r=0.5Ω的导体棒在t=0时刻从左侧轨道高H=0.2m处静止释放，下滑后平滑进入水平轨道（转角处天机械能损失）。导体棒始终与导轨垂直并接触良好，轨道的电阻和电感不计，g取10m/s2。求：
(1)导体棒从释放到刚进入磁场所用的时间t；
(3)导体棒在水平轨道上的滑行距离d；
(2)导体棒从释放到停止过程中，电阻R上产生的焦耳热。

【答案】(1)；(2)；(3)0.111J
【详解】(1)设导体棒进入磁场前瞬间速度大小为，导体棒从释放到刚进入磁场的过程中，由机械能守恒定律有
解得
根据位移公式有
解得
导体棒从释放到刚进入磁场所用的时间为0.4s。
(2)导体棒进入磁场到静止，由动量定理得
根据安培力公式有
又
联立得
通过导体棒的电荷量为


联立解得
导体棒在水平轨道上的滑行距离为0.25m。
(3)导体棒滑入磁场之前上产生的焦耳热为
由法拉第电磁感定律有
由闭合电路欧姆定律
可得
根据能量守恒可知，导体棒进入磁场后的总热量
又
解得
故电阻上产生的焦耳热为
故总热量为0.111J。

46.（2023·北京十九中学·校考模拟）如图所示，虚线AB、BC、CD将平面直角坐标系四个象限又分成了多个区域。在第一、二象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第三、四象限中，－2dd区域有沿x轴负方向的匀强电场；在x<－d区域有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小相等；－d (1)电场区域内的电场强度大小E；
(2)y<－2d区域内磁场的磁感应强度B2；
(3)由原点O出发开始，到第2次回到O点所用时间。

【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】粒子的运动轨迹如图所示。

(1)在x<-d的电场区域中粒子做类平抛运动，可知



由以上三式可得
(2)由(1)向中各式可解得
粒子在B点的速度

可得
运动轨迹经过B、C两点，由几何关系可知，粒子在y<-2d的磁场区域内运动的轨道半径为
运动轨迹对应的圆心角=90°
由
可得
(3)由对称性可知，粒子从O点进入电场时的速度大小为v0


在d>x>-d电场区域内，粒子沿y轴负方向运动的位移
粒子将做往返运动
在两个磁场中的运动周期均为
粒子在磁场中运动总时间为
由原点O出发开始。到第2次到达O点所用的时间


47．（2023·北京十九中学·校考模拟）如图所示，在直角坐标系xOy的第一、四象限内，在边界MN与y轴之间有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，边界MN右侧有沿x轴正向的匀强电场，电场强度大小为E，MN上P点的坐标为（a，0），MN与x轴正向的夹角θ=45°，一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子从坐标原点沿y轴正向射入磁场，不计粒子的重力，，求：
(1)要使粒子不进入电场，粒子进入磁场的最大速度为多少；
(2)若粒子从P点进入电场，则粒子在电场中运动的时间为多少；
(3)若粒子刚好垂直MN进入电场，且将电场反向，则粒子在电场中运动时经过x轴的位置坐标。

【答案】(1) (2) (3)
【详解】(1)粒子在磁场中的运动轨迹刚好与MN相切时，粒子运动的速度为不进入电场运动的最大速度，设粒子做圆周运动的半径为r1，根据几何关系有

解得
根据牛顿第二定律有
解得
(2)粒子从P点进入磁场时，粒子在磁场中做圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有
解得
粒子从P点进入电场后，作粒平抛运动，假设粒子使从边界PM上射出电场，设粒子在电场中运动的时间为t1，则

y=v2t1

qE=ma
解得
由于 ，因此y 因此粒子在电场中运动的时间
(3)当粒子重直MN进入电场时，粒子在磁场中做圆周运动的半径为a，粒子进入磁场时的速度为
粒子出磁场时的位置离x轴的距离为
粒子进电场时，垂直于电场方向的速度大小为
平行于电场方向的速度大小
粒子从进电场到经过x轴时所用的时间为
沿电场方向运动的位移
则经过x轴坐标为