高考物理真题分项汇编（3年（2021-2023）（北京专用）专题20 力学计算（一）

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专题20 力学计算（一）

1.（2023·北京卷）如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
（1）A释放时距桌面的高度H；
（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能。
  
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）A释放到与B碰撞前，根据动能定理得

解得

（2）碰前瞬间，对A由牛顿第二定律得

解得

（3）A、B碰撞过程中，根据动量守恒定律得

解得

则碰撞过程中损失的机械能为


2.（2023·北京卷）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
  
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有

解得

（2）在内部，星体质量

由万有引力定律和向心力公式有

解得

（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有

对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有

解得


3.（2022·北京卷）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据动能定理有

（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则

运动周期

根据开普勒第三定律，k为常量，得

即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量

设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得
r2 = 4r1
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有

解得

由于恒星质量是太阳质量的2倍，得


4.（2021·北京卷）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为，人站立时摆长为。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能应满足的条件。
【答案】（1）；（2）a.见解析；b.
【详解】（1）根据牛顿运动定律

解得

（2）a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得


已知v1 = v2，得

因为，得

所以

b.设“摆球”由最大摆角摆至最低点时动能为，根据功能关系得

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为,根据牛顿运动定律得

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得

得


1.（2023·北京西城·统考三模）如图，半径R=0．5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点．半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°．将一个质量m=0．5kg的物体（视为质点）从A点左侧高为h=0．8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道．已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ=0．8，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0．6，cos37°=0．8，求：

（1）物体水平抛出时的初速度大小v0；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力大小FN；
（3）物体在轨道CD上运动的距离x
【答案】（1）3m/s；（2）34N；（3）1．09m
【详解】（1）物体在抛出后竖直方向做自由落体运动，竖直方向： m/s
物体恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，则：

得：m/s
（2）物体到达A点的速度：m/s
A到B的过程中机械能守恒，得：
代入数据得：m/s
物体在B点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则：
得：FN＝34N；
（3）B到C的过程中机械能守恒，得：
得：m/s
物体在斜面CD上受到的摩擦力：f＝μmgcos37°＝0.8×0.5×10×0.8N＝3.2N
设物体在轨道CD上运动的距离x，则：
解得：x＝1.09m

2.（2023·北京西城·统考三模）泥石流是在雨季由于暴雨、洪水将含有沙石且松软的土质山体经饱和稀释后形成的洪流。泥石流流动的全过程虽然只有很短时间，但由于其高速前进，具有强大的能量，因而破坏性极大。某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲所示的模型：在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移变化如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2.则：
(1)物体在运动过程中的最大加速度为多少？
(2)在距出发点多远处，物体的速度达到最大？
(3)物体在水平面上运动的最大位移是多少？

【答案】(1)15m/s2；(2)3m；(3)8m
【详解】(1)当推力F最大时，加速度最大，由牛顿第二定律，得

可解得

(2)由图象可知，随变化的函数方程为

速度最大时，合力为0，即

所以

(3)位移最大时，末速度一定为0，由动能定理可得

由图象可知，力做的功为

所以


3.（2023·北京市潞河中学·校考三模）某游乐园的大型“跳楼机”游戏，以惊险刺激深受年轻人的欢迎。某次游戏中，质量m=60kg的小明同学坐在载人平台上，并系好安全带、锁好安全杆。游戏的过程简化为巨型升降机将平台拉升100m高度，然后由静止开始下落，在忽略空气和台架对平台阻力的情况下，该运动可近似看作自由落体运动。下落时，制动系统启动，使平台均匀减速，再下落时刚好停止运动。取，求：
（1）下落的过程中小明运动速度的最大值；
（2）当平台落到离地面15m高的位置时，小明对跳楼机作用力的大小；
（3）在全部下落过程中，跳楼机对小明做的功。

【答案】（1）40m/s；（2）3000N；（3）
【详解】（1）制动系统启动前，小明做自由落体运动，下落时速度最大，则有

解得

（2）制动系统启动后，小明再下落时刚好停止运动，则有

解得

制动系统启动后，平台均匀减速，根据牛顿第二定律有

解得

根据牛顿第三定律有

方向竖直向下；
（3）根据功能关系有

解得


4.（2023·北京十一中学·校考三模）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，它具有体积小、造价低、使用方便等优点，随着民用无人机的快速发展，广告、影视、婚礼视频记录等正越来越多地出现无人机的身影，如图所示是我国新研究生产的一款航拍器无人机。该款无人机内置电动势E＝15.2V、容量A＝4500mA·h的智能电池，其内电阻忽略不计。若该款无人机正常工作时电池输出稳定的电流为I＝4.5A，飞行时电动机工作效率η＝80％，其他设施正常工作时的电功率为。求：
（1）充满一次电，该款无人机理论上正常工作的最长时间t；
（2）电动机1s内输出的机械能；
（3）已知该款无人机的总质量为m＝2.0kg，假设无人机飞行时所受到空气阻力恒为f＝4N，g取，求该款无人机竖直上升飞行时的最大速度。
  
【答案】（1）1h；（2）48J；（3）2m/s
【详解】（1）由题可得理论上正常工作的最长时间

（2）由能量守恒定律得

所以

（3）当加速度a＝0时速度最大，即

由，解得


5.（2023·北京十一中学·校考三模）如图所示，一质量为m=0.10kg的小物块以初速度v0从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间t=0.2s后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上．物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，桌面高h=0.45m，不计空气阻力，重力加速度g取．求：

（1）小物块的初速度的大小；
（2）小物块落地点距飞出点的水平距离x；
（3）小物块落地时的动能．
【答案】（1）3.5m/s   （2）0.9m   （3）0.9J
【详解】（1）由牛顿第二定律得小物块的加速度

由速度公式

代入数据解得

（2）小物块飞离桌面后做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向有

水平衡方向有

代入数据解得
x=0.9m
（3）对小物块从离开桌面到落地的过程，由动能定理得

代入数据解得


6.（2023·北京广渠门中学·校考三模）无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
（1）地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r处的引力场强度g的表达式。（已知r大于地球半径，结果用M、G和r表示）
（2）物体处于引力场中，就像电荷在电场中具有电势能一样，具有引力势能。
中国科学院南极天文中心的巡天望远镜追踪到由孤立的双中子星合并时产生的引力波。已知该双中子星的质量分别为、，且保持不变。在短时间内，可认为双中子星绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动。请分析说明在合并过程中，该双中子星系统的引力势能、运动的周期T如何变化。
（3）我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心（即银河系的中心）为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出图像，如图所示。已知太阳的质量，太阳距离银心。
a．某同学根据表达式认为：引力场强度g的大小与物质绕银心的旋转速度成正比，与到银心的距离r成反比。请定性分析说明该同学的观点是否正确。
b．将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能。

【答案】（1）；（2）系统的引力势能减小，运动的周期减小；（3）a．见解析；b．
【详解】（1）根据类比，有

（2）在电场中，在只有电场力做功时，当电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，二者之和保持不变；当电场力做负功，电荷的电势能增加，动能减小，二者之和保持不变。类比可知，在合并过程中，中子星受到的引力做了正功，则该中子星系统的引力势能将减小，由于引力势能和动能之和保持不变，则中子星的动能将增加，线速度将增大，同时由于运动半径的减小，所以运动的周期T将减小。
（3）a．根据引力场强度的定义及万有引力提供向心力可得

整理得

由上式可知，引力场强度g的大小与银心质量成正比，与到银心的距离平方成反比。表达式只能作为一个替换的计算式使用，不能用于定性分析引力场强度g的变化性质，因为它没有表达出引力场强度g的产生原因。
b．根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，则太阳在当前位置所具有的动能，就等于太阳在银河系中所具有的引力势能。由公式

可得太阳的速度平方为

由图可知，在时，，所以太阳的引力势能为


7.（2023·北京第166中学·校考三模）如图1所示，一小车放于平直木板上（木板一端固定一个定滑轮），木板被垫高一定角度θ，该角度下，小车恰能做匀速直线运动（假设小车所受摩擦力与小车对木板的正压力成正比，比例系数为μ），小车总质量为M。
（1）画出图1中小车的受力示意图；请推导θ与μ应满足的定量关系；并分析说明若增大小车质量，仍使小车做匀速直线运动，角度θ是否需要重新调整。
（2）如图2所示，将小车上栓一根质量不计，且不可伸长的细绳，细绳通过滑轮（滑轮与细绳之间摩擦不计）下挂一个砝码盘（内放砝码），在木板上某位置静止释放小车后，小车做匀加速直线运动。已知砝码盘及砝码的总质量为m，求：
①a.如果m=M，小车所受细绳拉力与砝码盘及砝码总重力的比值；
b.用F表示小车所受细绳的拉力，如果要求，此时应该满足的条件；
②小车沿木板运动距离为x的过程中，其机械能的变化量ΔE。

【答案】（1），μ=tanθ，θ无须不需要调整；（2）①a.，b. ；②
【详解】（1）小车受到重力、木板的支持力与沿木板向上的摩擦力，小车的受力示意图如图所示

重力沿木板向下的分力为

则小车受到的摩擦力为

小车匀速运动，由平衡条件可得

解得

当小车的质量由M变成M+∆m时，若使小车匀速运动，仍有

科技仍然满足

即若增大小车的质量，角度θ无须改变。
（2）①a.对小车由牛顿第二定律可得

对砝码和砝码盘由牛顿第二定律可得

解得

则有

b.利用a中得到结论

解得

可得

②小车沿木板运动距离为x的过程中，机械能的变化量等于小车所受的拉力和摩擦力做功的总和，则有


8.（2023·北师大实验中学·校考三模）如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光滑水平地面相切于圆环最低端点A．质量m=1kg的小球以初速度v0=5m/s从A点冲上竖直圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点，g取10m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度vB；
(2)求A、C两点间的距离x；
(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上。求小球落点与A点间的最小距离xmin。

【答案】(1)；(2)x=1m；(3)1m
【详解】(1)由机械能守恒定律得

解得

(2)由平抛规律得

x=v0t
解得
x=1m
(3)设小球运动到B点半圆环轨道对小球的压力为FN。
圆周运动向心力

得当FN=0时，小球运动到轨道末端B点时的速度最小

由（2）的计算可知，最小距离
xmin=x=1m

9.（2023·北大附中·校考三模）中国国家跳水队是中国体育届的王牌之师，自1984年首次参加洛杉矶奥运会以来，已为中国体育代表团累计贡献了40枚奥运金牌，在各项奥运项目中高居榜首，被誉为跳水“梦之队”，在第32届东京奥运会中，他们也取得了7金5银的骄人战绩。有位同学对跳水中的物理问题很感兴趣，打算利用频闪照相技术详细研究跳水的过程。在下面的问题中，空气阻力均可忽略，重力加速度取。
（1）该同学在研究某运动员高台跳水过程的频闪照片时，观察到该运动员从离水面高的平台向上跃起，到达最高点后近似竖直下落直至入水。该同学将照片放大进行观察，发现照片中的最后一个影像恰好为入水前一瞬间，由于运动员的运动，这一影像上下错开的距离约为。已知相机单次曝光时间为，实际高为的跳台在照片中高，试估算运动员的重心在最高点时相较入水前一刻的高度。
（2）运动员入水时往往是头部朝下，身体竖直且呈绷直状态，从运动员指尖触碰到水面到脚尖刚好完全进入水里的入水过程中，可以将人体简化为一竖直方向的均匀实心圆柱，并且只考虑人的重力和水的浮力对人的作用（即忽略水的阻力）。请通过推导证明运动员在入水过程中的运动性质是简谐运动，可以认为水的密度略大于人的密度。（注意：在解题过程中需要用到，但题目没有给出的物理量，需要在解题时做必要说明）
（3）除了跳台跳水外，跳板跳水是另一种常见的跳水方式。某同学通过上网查阅资料，了解到了跳水板的相关信息如下表所示：
名称
材质
规格型号
跳水板
航空级铝合金（6070-T6）
重量
尺寸
他考虑到跳板跳水在起跳过程中借助了跳板的弹性，可能更容易获得较高的腾空高度，因此利用频闪照相记录了某位运动员在3米跳板比赛中的全过程，如图所示。
a、在进行分析时，该同学把运动员看作一个质点，将跳板简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F与形变量x之间的关系为（已知相应的弹性势能为），其中k为常量。质量为的运动员静止站在跳板末端时，末端相比跳板在自由状态时下降了，之后，运动员通过自身做功将跳板末端压到最大形变量为后起跳，忽略该过程中的机械能损失，请计算该运动员的最大理论腾空高度H（即离开板面后重心上升的高度）和该过程需要做的功W。
b、请你评价该同学在（a）中的建模过程是否合理。如果认为合理，请通过计算比较在同等做功情况下跳台跳水和跳板跳水的最大腾空高度；如果认为不合理，请指出其存在的问题，并针对“估算最大腾空高度”的建模过程给出较为合理的分析思路。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）a.，，b.不合理，见解析
【详解】（1）入水前一帧照片对应的位移

运动员入水速度为

最高点的高度

（2）设人体建模成的圆柱体密度为，横截面积为，高度为L，水的密度为，记圆柱体进入水下的高度为，则

当其所受合力为零时，记入水高度为l0

得

设任意位置相对于l0位置的位移是x(向下为正)，则

说明所受合力与位移成正比，方向相反，故其运动性质为简谐运动
（3）a.在运动员静止时

得

从跳板压到最大形变量到运动员到达最高点

得

从静止时到最高点

b.不合理。根据题目信息，跳水板的质量约80kg，相比运动员质量45kg不可忽略,在建模时当作轻弹簧不合理。
先求出人板分离的位置点，再分析最低点到人板分离的过程，跳板弹性势能转化为人和跳板的动能、重力势能，算出人在分离点的速度，之后人以该速度为初速度的竖直上抛运动。

10.（2023·北大附中·校考三模）如图所示，把一个质量m1=0.2kg的小球放在高度为h=5.0m的直杆的顶端。一颗质量m′=0.01kg的子弹以v0=500m/s的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的距离为s=20m。g取10m/s2，求：
（1）子弹穿过小球时，小球的速度；
（2）子弹落地处离杆的距离sʹ；
（3）子弹击穿小球的过程中，子弹与小球系统损失的机械能。

【答案】（1）20m/s；（2）100m；（3）1160J
【详解】（1）子弹穿过小球后，小球平抛运动
t=1s
s=v1t
解得
v1=20m/s
（2）子弹穿过小球过程系统动量守恒
m′v0=m1v1+m′v2
v2=100m/s
s’=v2t
解得
s’=100m
（3）系统损失机械能：
E损==1160J

11.（2023·北京门房山·统考二模）如图所示，一个质量的物块从光滑的斜面顶端A下滑，斜面高度，斜面长为2.5m。物块与水平面动摩擦因数为0.1，斜面与水平面平滑连接，物块运动到水平面C点静止。g取10m/s2，求：
（1）物块在斜面上运动时的加速度大小a；
（2）物块到达斜面末端B点时的速度大小v；
（3）物块在水平面运动的位移大小x。

【答案】（1）；（2）5m/s；（3）12.5m
【详解】（1）对物体受力分析，根据牛顿第二定律有

根据几何关系有

解得

（2）物块从A到B根据运动学规律可得

代入数据可得
v=5m/s
（3）在水平面上运动摩擦阻力提供加速度有

物块从B到C根据运动学规律可得

代入数据可得
x=12.5m

12.（2023·北京门头沟·统考二模）如图所示，粗糙水平地面AB与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量m=2kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知AB=5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ=0.2。当小物块运动到B点时撤去力F。取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小；
（3）小物块离开D点落到水平地面上的点与B点之间的距离。
【答案】（1）5m/s；（2）25N；（3）1.2m
【详解】（1）设小物块到达B点时速度的大小为vB，对小物块从A到B的过程，根据动能定理有

解得

（2）设小物块运动到D点时速度的大小为vD，对小物块从B到D的过程，根据动能定理有

解得

设小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小为FN，在D点，根据牛顿运动定律有

解得

（3）小物块从离开D点到落到水平地面所经历的时间为

小物块离开D点落到水平地面上的点与B点之间的距离为
x=vDt=1.2m

13.（2023·北京朝阳·统考一模）如图所示，竖直平面内半径的光滑1/4圆弧轨道固定在水平桌面上，与桌面相切于B点。质量的小物块由A点静止释放，最后静止于桌面上的C点。已知物块与桌面间的动摩擦因数。取。求：
（1）物块在B点时的速度大小；
（2）物块在B点时所受圆弧轨道的支持力大小N；
（3）B、C两点间的距离x。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）物块从A运动到B，根据机械能守恒定律有
得
（2）物块在B点时，根据牛顿第二定律有
得
（3）物块由B点运动到C点的过程中，根据动能定理有得
解得

14．（2023·北京东城·统考一模）如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端与水平地面上的物块1接触（但未连接）。在外力作用下物块1静止，此时弹簧的压缩最为10，之后撤去外力，物块1开始向左运动，离开弹簧后与静止在水平地面上的物块2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后二者粘在一起。已知两物块质量均为，弹簧的劲度系数，当弹簧形变量为x时弹簧具有的弹性势能为，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力及一切摩擦，求：
（1）刚撤去外力时，弹簧弹力的大小，
（2）两物块碰撞前，物块1的速度大小，
（3）两物块碰撞过程中损失的总机械能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）根据胡克定律
代入数据解得
（2）物块1离开弹簧时，弹簧的弹性势能全部转化为物块1的动能
根据能量守恒定律
代入数据解得
（3）两物块碰撞过程动量守恒
根据能量守恒定律
代入数据解得

15．（2023·北京丰台·统考一模）如图所示，一圆盘在水平面内绕过圆盘中心的轴匀速转动，角速度是。盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。小物体与圆盘之间的动摩擦因数，两者之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。求：
（1）小物体随圆盘匀速转动时所需向心力的大小；
（2）要使小物体在圆盘上不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值；
（3）若圆盘由静止开始转动，逐渐增大圆盘的角速度，小物体从圆盘的边缘飞出，经过落地，落地点距飞出点在地面投影点的距离为。在此过程中，摩擦力对小物体所做的功W。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，由向心力公式可得，小物体随圆盘匀速转动时所需向心力的大小为
（2）根据题意可知，当小物体的向心力等于最大静摩擦力时，即将发生相对滑动，此时圆盘的角速度最大，则有
解得
（3）小物体飞出后做平抛运动，由平抛运动规律有
解得
小物体由静止到飞出的过程中，由动能定理有
解得


16．（2023·北京海淀八模（一））下面是一个物理演示实验，它显示图中自由下落的物体A和B经反弹后，B能上升到比初始位置高得多的地方。A是某种材料做成的实心球，质量为m1，在顶部的凹坑中插着质量为m2的棒B，已知m1=3m2，B只是松松地插在凹坑中，其下端与坑底之间有小空隙。将此装置从A下端离地板的高度H处由静止释放。实验中，A触地后在极短时间内反弹，且其速度大小不变；接着棒B脱离球A，A、B分别开始上升。不计空气阻力。
（1）已知球A上升的高度为h，求棒B上升的高度，重力加速度g=10m/s2。结果用H、h表示。
（2）实验发现，B的材料不同，A、B上升的高度不同，弹性越好，棒B上升的高度越高。试通过计算说明棒B上升的高度存在一个范围，即存在一个最大值和最小值，并求出这一最大值和最小值各是多少？结果只能用H表示，因为h在本问中是变化的。

【答案】（1）；（2），
【详解】（1）AB一起下落到地面时，由
解得
此后A原速率反弹，和B发生碰撞，有动量守恒可知
根据速度和位移关系可知


解得
（2）当AB发生弹性碰撞时，B的速度最大，反弹的高度也最高


解得
上升的高度为
解得
当AB碰后粘合在一起，此时B的速度最小，上升的高度也最小
解得
上升的高度为
解得
所以B上升的高度的最大值为
B上升的高度的最小值为

17．（2023·北京海淀八模（二））如图所示，在粗糙水平地面上静止放置着物块B和C，相距，在物块B的左侧固定有少量炸药，在物块B的左边有一弹簧枪，弹簧的弹性势能，弹簧枪将小球A水平发射出去后，小球A与B发生碰撞并导致炸药爆炸使小球A又恰好返回到弹簧枪中将弹簧压缩到初位置，物块B再与物块C发生正碰，碰后瞬间物块C的速度。已知物块A和物块B的质量均为，若C的质量为B质量的k倍，物块与地面的动摩擦因数。（设碰撞时间很短，g取）
（1）计算A与B碰撞后瞬间B的速度；
（2）计算B与C碰撞前瞬间的速度；
（3）根据B与C的碰撞过程分析k的取值范围，并讨论B与C碰撞后B的可能运动方向。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
详解】（1）根据题意可知，弹簧枪将小球A水平发射出，设小球A以发出，则有
解得
由于碰撞之后，A又恰好返回到弹簧枪中将弹簧压缩到初位置，则A与B碰撞后，A的速度大小为，方向向左，A与B碰撞过程中，系统动量守恒，由动量守恒定律有
解得
即A与B碰撞后瞬间B的速度为。
（2）从B开始运动到B与C碰撞的过程中，由动能定理有
解得
（3）根据题意可知，B和C碰撞过程中，系统动量守恒，由动量守恒定律有
整理可得
可知，若碰撞后B、C同向运动，则有
可得
若碰撞后B静止，则有
解得
若碰撞后B反向，则有
解得
由于碰撞过程中，动能不能增加，则有
解得
则有当时，碰撞后B、C同向运动；当时，碰撞后B静止；当，碰撞后B的方向与C的方向相反。

18．（2023·北京海淀八模（四））题1图为某种旋转节速器的结构示意图，长方形框架固定在竖直转轴上，质量为m的重物A套在转轴上，两个完全相同的小环B、C与轻弹簧两端连接并套在框架上，A、B及A、C之间通过铰链与长为L的两根轻杆相连接，A可以在竖直轴上滑动。当装置静止时，轻杆与竖直方向的夹角为。现将装置倒置，当装置再次静止时，轻杆与竖直方向的夹角为，如题2图所示，此时缓慢加速转动装置，直到轻杆与竖直方向的夹角再次为时装置保持匀速转动。已知装置倒置前、后弹簧的弹性势能减少量为，重力加速度为g，不计一切摩擦，取，。求：
（1）装置正置时弹簧弹力的大小；
（2）装置匀速转动时小环B所需的向心力；
（3）从倒置静止状态到匀速转动的过程中装置对系统所做的总功。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对A受力分析，由平衡条件知
B、C受力具有对称性，只需对B受力分析，由平衡条件知
联立方程得
（2）倒置且匀速转动时，物体A依然受力平衡，则
对B受力分析，由匀速圆周运动得
其中
联立可得
（3）设B、C质量为M，由（2）知
其中，由几何关系知
即B、C整体的动能为
A的重力势能增量为
其中，由几何关系知
则装置对系统做的总功为

19．（2023·北京平谷·统考一模）一篮球质量，一运动员将其从距地面高度处以水平速度扔出，篮球在距离抛出点水平距离处落地，落地后第一次弹起的最大高度。若运动员使篮球从距地面高度处由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，运动员对球的作用时间，球落地后反弹的过程中运动员不再触碰球，球反弹的最大高度。若该篮球与该区域内地面碰撞时的恢复系数e恒定（物体与固定平面碰撞时的恢复系数e指：物体沿垂直接触面方向上的碰后速度与碰前速度之比）。为了方便研究，我们可以假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，取重力加速度，不计空气阻力。求：
（1）运动员将篮球水平扔出时速度的大小；
（2）运动员拍球过程中对篮球所做的功W；
（3）运动员拍球时篮球所受的合外力与篮球自身重力的比值k。
【答案】（1）；（2）；（3）3.0
【详解】（1）篮球水平抛出后，做平抛运动，在水平方向则有
在竖直方向则有
联立解得
（2）由题意可得


由恢复系数定义可得
拍球后篮球落地时的速度为
由动能定理可得
代入数据解得
（3）由牛顿第二定律，可得
在拍球时间内篮球的位移
又有
联立解得
可得

20．（2023·北京西城·统考一模）滑雪是人们喜爱的一项冬季户外运动．如图所示，一位滑雪者，人与装备的总质量为，沿着倾角的平直山坡直线滑下，当速度达到时他收起雪杖自由下滑，在此后的时间内滑下的路程为。将这内滑雪者的运动看作匀加速直线运动，g取．求这内
（1）滑雪者的加速度大小a；
（2）滑雪者受到的阻力大小F；
（3）滑雪者损失的机械能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）滑雪者做匀加速直线运动，则由位移与时间的关系式可得
解得
（2）根据牛顿第二定律，有
解得
（3）滑雪者损失的机械能

21．（2023·北京西城·统考一模）流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量流量来解决实际问题。环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水，如图所示。他测出水平管口距落点的竖直高度为h，管口的直径为d，污水落点距管口的水平距离为l，重力加速度为g。请根据这些测量量估算：
a．污水离开管口时的速度大小v；
b．排出污水的流量Q。

【答案】a．；b．
【详解】a．污水由管口流出后可近似认为做平抛运动，有


得
b．排出污水的流量
其中
得

22．（2023·北京汇文中学·校考一模）某同学用实验室中的过山车模型研究过山车的原理。如图所示，将质量为m的小球从倾斜轨道上的某一位置由静止释放，小球将沿着轨道运动到最低点后进入圆轨道。他通过测量得到圆轨道的半径为R。已知重力加速度为g。
（1）小球能够顺利通过圆轨道最高点的最小速度v为多少？
（2）若不考虑摩擦等阻力，要使小球恰能通过圆轨道的最高点，小球的释放点距轨道最低点的高度差h为多少？
（3）该同学经过反复尝试，发现要使小球恰能通过圆轨道的最高点，小球的释放点距轨道最低点的高度差比（2）的计算结果高，则从释放点运动到圆轨道最高点的过程中小球损失的机械能为多少？

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球恰能通过最高点时，根据圆周运动规律，重力提供向心力有
解得
（2）若不考虑摩擦等阻力，小球从释放点运动到圆轨道最高点的过程，根据动能定理有
解得
（3）以轨道最低点所在平面为零势能面，从释放点运动到圆轨道最高点的过程中小球损失的机械能

由（2）可知
代入得
23．（2023·北京四中·校考一模）如图所示，在竖直平面内固定着半径为R的光滑半圆形轨道，A、B两小球的质量分别为m、4m。小球B静止在轨道的最低点处，小球A从离轨道最低点4.5R的高处由静止自由落下，沿圆弧切线进入轨道后，与小球B发生碰撞。碰撞后B球上升的最高点为C，圆心O与C的连线与竖直方向的夹角为60°。两球均可视为质点。求：
（1）A与B球相碰前的速度大小；
（2）第一次与B球相碰后瞬间A球的速度的大小和方向；
（3）A、B球第一次碰撞过程损失的机械能。

【答案】（1）；（2），方向向右；（3）2mgR
【详解】（1）根据机械能守恒可知
可得A球与B球相碰前的速度大小
（2）碰撞后，B球上升到C点，根据机械能守恒
可得B球碰后的速度
球A与B碰撞过程中，满足动量守恒
可得第一次与B球相碰后瞬间A球的速度
负号表示碰后A球速度水平向右，大小为。
（3）A、B球第一次碰撞过程损失的机械能
代入数据可得

24．（2023·北京海淀·统考一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。

【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）小球从A到B由机械能守恒定律
解得小球通过B点时的速度大小
（2）小球从A到C由机械能守恒定律
解得小球通过C点时的速度大小
在C点由牛顿第二定律
解得小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小
方向竖直向下。
（3）小球在B点的加速度大小为
小球在C点的加速度大小为
所以

25．（2023·北京通州·统考一模）地球对其周围的物体产生的万有引力是通过地球周围的引力场产生的，物体在引力场中具有的势能我们称为引力势能。在物理学中，动能、引力势能和弹性势能统称为机械能。若规定距地球无限远处为引力势能零点，可得到在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的人造地球卫星引力势能的表达式，其中M为地球的质量，m为卫星的质量，G为万有引力常量。
（1）求：①该卫星的动能；
②该卫星的机械能；
③若该卫星变轨后到达高轨道继续做匀速圆周运动，请说明随着轨道半径的增大，该卫星的机械能变化情况及原因。（不计卫星质量的变化）
（2）已知在地球表而附近，对于质量为m的物体离开地面高度为h时，若规定地球表面为重力势能零点，物体重力势能的表达式（g为重力加速度），这个表达式虽然与题干中引力势能的表达式在形式上有很大的差别，但二者本质相同，试证明在忽略地球自转的情况下，当h远小于地球半径R时，重力势能和引力势能的表达式是一致的。（可能用到的数学知识：当时，
【答案】（1）①；②；③变大，见解析；（2）见解析
【详解】（1）①根据万有引力提供向心力
动能的表达式
联立可得
②该卫星的机械能
③根据②卫星机械能表达式
若该卫星变轨后到达高轨道继续做匀速圆周运动，请说明随着轨道半径的增大，卫星的机械能变大。
（2）以无穷远处为零势能点，根据题意，物体在地表的引力势能为
在距离地表处的引力势能为
以地面为零势能点时
在地球表面时，万有引力等于重力，即
整理可得
联立可得
又
可得

26.（2023·北京西城·统考二模）图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角。将游客和座椅看作一个质点，质量。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度。（，）
（1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
a．向心力的大小；
b．线速度的大小v。
（2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。

【答案】（1）a．，b．；（2）
【详解】（1）对游客和座椅一起受力分析如下图所示

a．根据受力分子可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为
b．根据几何关系可知游客和座椅做圆周运动的半径为
由
代入数据得
（2）游客和座椅由静止到随转盘匀速转动得过程，根据功能关系有
代入数据解得

27．（2023·北京西城·统考二模）建立物理模型是解决实际问题的重要方法。
（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。
a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可视做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。
b、在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分（如图2所示）。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为，在远地点D的速度为，远地点D到地心的距离为r。根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）可知，请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。
（2）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】

【答案】（1）a、；b、见解析；（2）
【详解】（1）a、卫星在近地轨道Ⅰ上的运行时，根据万有引力提供向心力，有
解得卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小为
b、设卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，近地点和远地点的等效圆周运动的半径分别为和，根据牛顿第二定律可得，卫星在近地点时
卫星在远地点时
由椭圆的对称性可知
联立以上各式可得
（2）设木星质量为，地球质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有
物体在木星引力和地球引力作用下，有
其中，
当时，地球将被撕裂
由可得
整理得
因为，所以很小
代入得
推得“洛希极限”的表达式为

28．（2023·北京海淀·统考二模）设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。
（1）推导地球质量M的表达式。
（2）推导地球第一宇宙速度v的表达式。
（3）设地球的密度为ρ，靠近地球表面做圆周运动的卫星的周期为T，证明。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）忽略地球自转，地球表面的物体所受重力等于万有引力
解得地球质量
（2）在地球表面附近万有引力提供向心力
解得地球第一宇宙速度
（3）靠近地球表面做圆周运动的卫星，万有引力提供向心力
又地球质量
解得

29．（2023·北京海淀·统考二模）摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。
（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T。
b．摆的最大摆角θm。
（2）摆角θ很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
（3）小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，常用来制作摆钟。摆钟在工作过程中由于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场（可视为匀强电场），导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强度：他用质量为m的金属小球和长为L（远大于小球半径）的轻质绝缘细线制成一个单摆。他设法使小球带电荷量为-q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。
a．推导大气电场强度大小E的表达式。
b．实际上，摆球所带电荷量为10-7C量级，大气电场强度为102N/C量级，摆球质量为10-1kg量级，手机秒表计时的精度为10-2s量级。分析判断该同学上述测量方案是否可行。（提示：当时，有）

【答案】（1）a.2.16s，b.；（2）不合理，见解析；（3）a. ，b.见解析
【详解】（1）a.小球在A点与C点细绳的拉力最小且大小相等，小球从A到C再回到A是一个周期，故周期为
b.小球在A点与C点时，细绳的拉力最小
小球在A点与C点时，重力沿绳方向的分力大小等于细绳的拉力，则
小球在最低点B，细绳的拉力最大，由图可知
由牛顿第二定律可得
小球从A点到B点，由动能定理得
解得
（2）不合理，因为单摆的周期公式为，不同地区的纬度、海拔高度不同，g值不同，所以不可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。
（3）a.重力场与电场叠加为等效重力场，则
单摆的周期公式则为
解得大气电场强度的大小E的表达式为
b.不可行，因为实际上达到的数量级是，与大气电场强度102N/C量级相差太大，也就是摆球所带电荷量太小，达不到实验需求。

30．（2023·北京丰台·统考二模）如图所示，质量为m的物体在水平恒力F的作用下，沿水平面从A点加速运动至B点，A、B两点间的距离为l。物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。在物体从A点运动到B点的过程中，求：
（1）物体的加速度大小a；
（2）恒力F对物体做的功W；
（3）此过程中物体速度由变化到，请根据牛顿第二定律和运动学公式，推导合力对物体做的功与物体动能变化的关系。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由牛顿第二定律


联立解得
（2）从A到B的过程中，F为恒力，根据功的公式得
（3）在A到B过程中，由牛顿第二定律和运动学公式得


联立解得
即合力对物体做的功等于物体动能的变化量。

31．（2023·北京丰台·统考二模）物理源自生活，生活中处处有物理。
清洗玻璃杯外表面时，水流与玻璃杯表面的粘滞力会影响水流下落的速度，并使水流沿着玻璃杯的外表面流动，如图所示。已知该水龙头水流的流量为Q（单位时间内流出水的体积），水龙头内径为D。
（1）求水流出水龙头的速度；
（2）现用该水龙头清洗水平放置的圆柱形玻璃杯，柱状水流离开水龙头，下落高度为h，与玻璃杯横截面圆心O处于同一水平面时，开始贴着玻璃杯外表面流动，经过一段时间后达到如图所示的稳定状态。水流经过玻璃杯的最低点A时，垂直于速度方向的横截面可认为是宽度为d的矩形。水流在A点沿水平方向离开玻璃杯，落至水池底部B点，落点B到A点正下方C点的距离为x，AC竖直高度为H（H远大于玻璃杯表面水流厚度）。已知水池底面为水平面，不考虑空气阻力的影响，且认为下落过程水不散开，水的密度为，玻璃杯的外半径为R，重力加速度为g，求：
a.水流在A点还未离开玻璃杯时，竖直方向上单位面积受到的合力大小F；
b.达到稳定状态后，t时间内玻璃杯对水流的作用力所做的功W。

【答案】（1）；（2）a.，b.
【详解】（1）极短的时间内水龙头流出水的体积
解得
（2）a.以极短的时间内水龙头流出水为研究对象，水的质量为，该部分水在A点与玻璃杯底部接触面积为，水流在A点速度大小为v，则有，
水流离开玻璃杯后在空中运动的时间为，则有，
该部分水在A点，在竖直方向受到的合力提供向心力，则有
解得
b.设t时间内从水龙头流出的水质量为m，则有
在水从水龙头出水口运动至玻璃杯最低点A的过程中，由动能定理得
解得


32．（2023·北京东城·统考二模）利用物理模型对问题进行分析，是重要科学思维方法。
如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m1，杆的质量为m2。小球可视为质点。
（1）若杆的质量与小球质量相比可以忽略。把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放。
a．当杆转动至与水平方向成角时（），求小球的角速度ω。
b．若只增加杆的长度，小球由静止开始运动到最低点的过程中，所用时间是变长还是变短，通过分析定性说明。
（2）若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O点转动时，其动能的表达式为
。
a．请你利用单位制的知识，判断α、β、γ的数值。
b．把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放，当杆转动至与水平方向成θ角时（），求小球的角速度ω'。

【答案】（1）a．，b．变长，见解析；（2）a．，，，b．
【详解】（1）a．设当杆由水平位置转动至与水平方向成角时（）由线速度与角速度的关系公式和动能定理可得
解得小球的角速度
b．小球由静止开始运动到最低点的过程中，可类似看做单摆运动，由单摆的周期公式可知，摆长越长周期越大，因此若只增加杆的长度，小球由静止开始运动到最低点的过程中，所用时间是变长。
（2）a．杆的动能的表达式为，由动能的计算公式和线速度与角速度的关系公式可知，、、。
b．由线速度与角速度的关系公式和动能定理可得
解得

33．（2023·北京朝阳·统考二模）如图所示，倾角、高度的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度。，。求：
（1）小木块在斜面上运动时的加速度大小a；
（2）小木块滑至斜面底端时的速度大小v；
（3）小木块在水平面上运动的距离x。

【答案】（1）2m/s2；（2）2m/s；（3）0.4m
【详解】（1）小木块在斜面上运动时，由牛顿第二定律可知
解得加速度大小
（2）根据
可得小木块滑至斜面底端时的速度大小v=2m/s
（3）小木块在水平面上运动时的加速度
运动的距离

34．（2023·北京朝阳·统考二模）无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
（1）地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r处的引力场强度g的表达式。（已知r大于地球半径，结果用M、G和r表示）
（2）物体处于引力场中，就像电荷在电场中具有电势能一样，具有引力势能。
中国科学院南极天文中心的巡天望远镜追踪到由孤立的双中子星合并时产生的引力波。已知该双中子星的质量分别为、，且保持不变。在短时间内，可认为双中子星绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动。请分析说明在合并过程中，该双中子星系统的引力势能、运动的周期T如何变化。
（3）我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心（即银河系的中心）为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出图像，如图所示。已知太阳的质量，太阳距离银心。
a．某同学根据表达式认为：引力场强度g的大小与物质绕银心的旋转速度成正比，与到银心的距离r成反比。请定性分析说明该同学的观点是否正确。
b．将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能。

【答案】（1）；（2）系统的引力势能减小，运动的周期减小；（3）a．见解析；b．
【详解】（1）根据类比，有
（2）在电场中，在只有电场力做功时，当电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，二者之和保持不变；当电场力做负功，电荷的电势能增加，动能减小，二者之和保持不变。类比可知，在合并过程中，中子星受到的引力做了正功，则该中子星系统的引力势能将减小，由于引力势能和动能之和保持不变，则中子星的动能将增加，线速度将增大，同时由于运动半径的减小，所以运动的周期T将减小。
（3）a．根据引力场强度的定义及万有引力提供向心力可得
整理得
由上式可知，引力场强度g的大小与银心质量成正比，与到银心的距离平方成反比。表达式只能作为一个替换的计算式使用，不能用于定性分析引力场强度g的变化性质，因为它没有表达出引力场强度g的产生原因。
b．根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，则太阳在当前位置所具有的动能，就等于太阳在银河系中所具有的引力势能。由公式
可得太阳的速度平方为
由图可知，在时，，所以太阳的引力势能为


35．（2023·北京一七一中学·校考模拟）如图所示，一质量m=1.0kg的小球系在竖直平面内长度R=0.50m的轻质不可伸长的细线上，O点距水平地面的高度h=0.95m。让小球从图示水平位置由静止释放，到达最低点的速度v=3.0m/s，此时细线突然断开。取重力加速度g=10m/s2.求：
(1)小球落地点与O点的水平距离x。
(2)小球在摆动过程中，克服阻力所做的功W；
(3)细线断开前瞬间小球对绳子的拉力T。

【答案】 (1)0.9m；(2)0.5J；(3)28N，方向竖直向下
【解析】
(1)小球从最低点出发做平抛运动，根据平抛运动的规律得
水平方向x=vt
竖直方向
解得x=0.9m
(2)小球摆下的过程中，根据动能定理得

解得
(3)小球在圆最低点受重力和拉力，根据牛顿第二定律得
解得FT=28N
根据牛顿第三定律可知，球对绳拉力大小为28N，方向竖直向下。

36．（2023·北京十二中·校考模拟）如图光滑水平导轨AB的左端有一压缩的弹簧，弹簧左端固定，右端前放一个质量为m=1kg的物块（可视为质点），物块与弹簧不粘连，B点与水平传送带的左端刚好平齐接触，传送带的长度BC的长为L=6m，沿逆时针方向以恒定速度v=1m/s匀速转动．CD为光滑的水平轨道，C点与传送带的右端刚好平齐接触，DE是竖直放置的半径为R=0.4m的光滑半圆轨道，DE与CD相切于D点．已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，取g=10m/s1．

（1）若释放弹簧，物块离开弹簧，滑上传送带刚好能到达C点，求弹簧储存的弹性势能；
（1）若释放弹簧，物块离开弹簧，滑上传送带能够通过C点，并经过圆弧轨道DE，从其最高点E飞出，最终落在CD上距D点的距离为x=1.1m处（CD长大于1.1m），求物块通过E点时受到的压力大小；
（3）满足（1）条件时，求物块通过传送带的过程中产生的热能．
【答案】（1）（1）N=11.5N（3）Q=16J
【解析】（1）由动量定理知：
由能量守恒定律知：
解得：
（1）由平抛运动知：竖直方向：
水平方向：
在E点，由牛顿第二定律知：
解得：N=11.5N
（3）从D到E，由动能定理知：
解得：
从B到D，由动能定理知
解得：
对物块
解得：t=1s；
由能量守恒定律知：
解得：Q=16J

37．（2023·北京育才学校·校考模拟）半径R＝0.50 m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20 kg的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长为L0＝0.50 m，劲度系数k＝4.8 N/m，将小球从如图所示的位置由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时弹簧的弹性势能EPC＝0.6 J，g取10 m/s2.求：

(1)小球经过C点时的速度vc的大小；
(2)小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．
【答案】(1) 3 m/s. (2) 3.2 N，方向向上．
【详解】试题分析：(1)设小球经过C点的速度为vc，小球从B到C，据机械能守恒定律得
mg(R＋Rcos60°)＝EPC＋mv， （3分）
代入数据求出vc＝3 m/s. （2分）
(2)小球经过C点时受到三个力作用，即重力G、弹簧弹力F、环作用力FN. 设环对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律F＋FN－mg＝m， （2分）
由于F＝kx＝2.4 N， （2分）
FN＝m＋mg－F，
解得FN＝3.2 N，方向向上． （1分）
根据牛顿第三定律得出小球对环的作用力大小为3.2 N．方向竖直向下． （1分）
考点：考查匀速圆周运动
点评：难度中等，本题的关键在于找到提供向心力的合力，在C点由竖直方向的合力提供向心力

38．（2023·北京育才学校·校考模拟）引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为△r（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，求：
(1)Q、P两颗星的线速度之差△v；
(2)Q、P两颗星的质量之差△m。
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)星的线速度大小
星的线速度大小
则、两颗星的线速度大小之差为
(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，
则有
解得


则、两颗星的质量差为

39．（2023·北京六十六中学·校考模拟）如图所示，是重力为的匀质细直杆，其中端通过光滑铰链固定于竖直墙壁上，端受一与细直杆夹角恒为的拉力作用，使杆子由水平位置缓慢沿逆时针方向转到竖直位置。求：
(1)当杆与墙壁的夹角为时，杆、端受到的作用力的大小；
(2)当杆与墙壁的夹角为时，杆、端分别受到的作用力的大小。

【答案】(1)， ；(2)，
【详解】(1)当杆与墙壁的夹角为，对杆的受力分析如图所示：

据平衡条件可得


(2)当杆与墙壁的夹角为时，对杆的受力分析如图所示：

由三力组成的矢量三角形与相似，有
设杆子长为，由几何关系知



解得



40．（2023·北京六十六中学·校考模拟）如图1所示，足够长的固定斜面倾角为，一小物块从斜面底端开始以初速度沿斜面向上运动，若，则经过后小物块达到最高点，多次改变的大小，记录下小物块从开始运动到最高点的时间，作出图像，如图2所示，（g取），则：

（1）若斜面光滑，求斜面倾角；
（2）更换另一倾角的斜面，当小物块以沿斜面向上运动时，仍然经过到达最高点，求它回到原来位置的速度大小；
（3）更换斜面，改变斜面倾角，得到的图像斜率为k，则当小物块以初速度沿斜面向上运动时，求小物块在斜面上运动的总时间为多少？
【答案】（1）（2）（3）kv0 或者
【详解】试题分析：（1）由图可知：
根据牛顿第二定律：
可得：，则．
（2）根据牛顿第二定律：

上升过程中：
下降过程中：

由此可得：．
（3）由题意可知：，可知：
由于物体在斜面上上升过程中：，可得：
讨论：（a）当，即，物块上滑到最高点后不会下滑，则．
（b）当，即，物块到最高点后会下滑，则
上升的位移为
下滑时：
与联立得：
则：

考点：匀变速直线运动规律的综合运用、匀变速直线运动的位移与时间的关系
【名师点睛】对于复杂的运动，要做出具体的猜测，共有多少种情况，然后根据具体的计算作出判断．

41．（2023·北京一五六中学·校考模拟）一列沿x轴负向传播的简谐横波在t=0时刻波的图象如图所示，经0.1s，质点M第一次回到平衡位置，求：

(1)这列波传播的速度大小；
(2)质点M在1. 2s内，走过的路程．
【答案】（1）5m/s；（2）4m
【分析】运用波形的平移法研究质点M质点M第一次回到平衡位置时，波传播的距离，根据求解波速，根据数学知识求解波长，从而求出周期，而一个周期内，质点运动的路程为4A；
【详解】解：(1)根据数学知识得：
由题知：
则波长为：
波沿x轴负方向传播，当M第一次回到平衡位置，此过程中波传播的距离为：
则波速为：
(2)波沿x轴负方向传播，周期：

则质点M在1.2s内走过的路程：

42．（2023·北京十九中学·校考模拟）一列沿x轴负向传播的简谐横波在t=0时刻波的图象如图所示，经0.1s，质点M第一次回到平衡位置，求：

(1)这列波传播的速度大小；
(2)质点M在1. 2s内，走过的路程．
【答案】（1）5m/s；（2）4m
【分析】运用波形的平移法研究质点M质点M第一次回到平衡位置时，波传播的距离，根据求解波速，根据数学知识求解波长，从而求出周期，而一个周期内，质点运动的路程为4A；
【详解】解：(1)根据数学知识得：
由题知：
则波长为：
波沿x轴负方向传播，当M第一次回到平衡位置，此过程中波传播的距离为：
则波速为：
(2)波沿x轴负方向传播，周期：

则质点M在1.2s内走过的路程：