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第12讲 实数（5种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）
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这是一份第12讲 实数（5种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版），文件包含第12讲实数5种题型解析版docx、第12讲实数5种题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
第12讲 实数（5种题型）
【知识梳理】
一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点的关系
我们尝试用数轴上的一个点来表示．
由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．
这样，就在数轴上确定一个点来表示．
要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3.两个实数比较大小
①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。
②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离
4.估算：怎样估算无理数 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？
误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.
估算无理数的方法是：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
【考点剖析】
题型一．实数
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
【变式1】（2022•乐清市开学）给出四个实数，3.14，0，，其中无理数是（ ）
A． B．3.14 C．0 D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：在实数，3.14，0，中，无理数是．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式2】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
【变式3】把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
…
有理数集合
…
无理数集合
【答案与解析】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
【变式4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限
小数和无限小数表示.
题型二．实数的性质
例2．若有一个实数为，则它的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案．
【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的相反数，掌握一个数a的相反数是﹣a是解题的关键．
【变式1】．的相反数是 ﹣ ．
【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵与﹣是只有符号不同的两个数，
∴的相反数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是上实数的性质，即只有符号不同的两个数叫互为相反数．
【变式2】在电视台一档互动节目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，”请问：a﹣b+c+d＝ 3或1 ．
【分析】根据题意写出a．b，c，d的值，然后分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±1，
∴当d＝1时，a﹣b+c+d＝1+1+0+1＝3；
当d＝﹣1时，a﹣b+c+d＝1+1+0﹣1＝1；
故答案为：3或1．
【点评】本题考查了实数，绝对值，倒数，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数．
【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；
（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．
【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝2 且m＜0，
∴m＝﹣2，
∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m
＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m
＝﹣1+6
＝5；
（2）∵＝m，
∴a＝m3＝﹣8，
∴b＝8，
∵，
∴，
∴b﹣4d+m
＝
＝8﹣2﹣2
＝4．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．
题型三、实数与数轴
例3．如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．
（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．
【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，求出正方形ABCD的面积，然后再求出边长即可；
（2）点B在数轴上的位置有两种情况，点B在原点左侧，点B在原点右侧．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间，
理由是：∵正方形ABCD的面积＝4×4﹣4××2×2＝8，
∴AB＝＝，
∵22＝4，32＝9，
∴4＜8＜9，
∴，
∴2＜＜3，
正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间；
（2）分两种情况：
当点B在原点左侧，点B在数轴上所表示的数是：，
当点B在原点右侧，点B在数轴上所表示的数是：，
∴点B在数轴上所表示的数是：±．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式1】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
【变式2】如图，实数﹣1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】先确定的范围，再推出的范围，从而得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴在在数轴上的对应点可能是C．
故选：C．
【点评】此题考查了实数与数轴，估算出的大小是解本题的关键．
【变式3】定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．
（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 2 ．
（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．
【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；
（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．
【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，
所以和谐距离为2；
故答案为：2；
（2）∵A，B处于和谐位置，
∴b＝3a+2，
∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，
∴2a+2＝±2022，
∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．
【点评】本题考查了实数与数轴，新定义，体现了方程思想，根据A，B的和谐距离为2022列出方程是解题的关键．
【变式4】设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为3，请求出下列代数式的值：5a+5b﹣+e．
【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，e＝3或e＝﹣3，然后分两种情况分别代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，
∴a+b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵e的绝对值为3，
∴e＝3或e＝﹣3，
当e＝3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣+3＝；
当e＝﹣3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣﹣3＝．
综上所述，代数式的值为或﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，倒数，实数的性质，体现了分类讨论的思想，掌握绝对值等于一个正数的数有2个是解题的关键，不要漏解．
【变式5】数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读理解】
|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 6 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝ 1或﹣5 ；
（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．
①则表示10的点与表示 ﹣12 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是 ﹣1012 ，B表示的数是 1010 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 a+b＝﹣2 ；
（3）【拓展延伸】
①当x＝ 1 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 5 ；
②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 5 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 ﹣5 ．
【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；
（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；③由题意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；
（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6；
②∵|x﹣（﹣2）|＝3，
∴x＝1或﹣5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，
∴折叠点是﹣1，
①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，
故答案为：﹣12；
②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，
∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，
故答案为：﹣1012，1010；
③由题意得，（a+b）＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故答案为：a+b＝﹣2；
（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，
当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，
当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，
当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，
∴当x＝1时，最小值是5，
故答案为：1，5；
②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，
当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，
当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，
∴最大值是5，最小值是﹣5，
故答案为：5，﹣5．
【点评】本题考查数轴、绝对值、两点的距离，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．
题型四、实数大小比较
例4.实数a在数轴上的位置如图所示，则，1，0的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．0＜1且1和的大小无法确定
【分析】根据数轴上a所在的位置可用取特殊值的方法比较个数的大小．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴令a＝﹣，
则﹣＝；
∵0＜1＜，
∴0＜1＜﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间对应关系及实数的大小的比较，当给出的未知字母的值在一个确定的范围内时，可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
【变式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（ ）
A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y
【分析】根据各选项中x，y，z的大小关系分别计算已知等式的左边和右边，看是否相等即可判断．
【解答】解：A、当x＞y＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
B、当z＞y＞x时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（z﹣x）＝y﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合题意；
C、当y＞x＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（x﹣z）＝y+z﹣2x，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
D、当x＞z＞y时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的大小和绝对值的意义，正确根据字母的大小关系将绝对值化去是解本题的关键．
【变式2】请用符号“＜”将下面实数﹣32，，﹣3连接起来 ﹣32＜﹣3＜ ．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：∵﹣32＝﹣9，|﹣9|＝9，|﹣3|＝3，
∴9＞3，
∴﹣32＜﹣3，
∴﹣32＜﹣3＜，
故答案为：﹣32＜﹣3＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
【变式3】已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|；
（1）根据数轴判断：a+b ＝ 0，c﹣b ＜ 0．（填＞，＜，＝）
（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．
【分析】（1）根据绝对值的意义和点在数轴上的位置可得结论；
（2）根据点在直线上的位置，先判断c﹣a、c﹣b、a+b、c﹣1的正负，再利用绝对值的意义去掉绝对值，最后合并同类项．
【解答】解：由题图知a＜0＜c＜b，
（1）∵|a|＝|b|，
∴a＝﹣b，c＜b．
∴a+b＝0，c﹣b＜0．
故答案为：＝，＜．
（2）∵a＜0＜c＜b＜1，
∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0，c﹣1＜0．
∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．
＝c﹣a﹣（b﹣c）+（a+b）+1﹣c
＝c﹣a﹣b+c+a+b+1﹣c
＝1+c．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，根据数轴确定两个数的和差与零的关系及掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
题型五、估算无理数的大小
例5.如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∵数轴上的点C，D分别对应的数是3，4，
∴表示的点应在线段CD上，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．
【变式1】绝对值小于的整数有 13 个．
【分析】由题意可知，这个整数在﹣到之间，再由6＜＜7，即可求解．
【解答】解：由题意可知，这个整数在﹣到之间，
∵6＜＜7，
∴满足的整数有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共13个，
故答案为13．
【点评】本题考查无理数的大小；掌握绝对值的意义，能够准确估计无理数的大小是解题的关键．
【变式2】的整数部分是 3 ．
【分析】根据平方根的意义确定的范围，则整数部分即可求得．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3】如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．
【分析】（1）根据正方形的面积是69即可得出答案；
（2）故选的范围即可求出m，n的值；
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为69，
∴正方形ABCD的边长a＝；
（2）∵64＜69＜81，
∴8＜＜9，
∴m＝8，n＝9；
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•嘉兴期末）在实数3.14，，，中，属于无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：3.14，，是有理数；是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2．（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足，则整数a是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先计算，，然后看哪个平方数在7和15之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜15，
∴＜3＜，
∴如果整数a满足，则a的值是：3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（ ）
A．5的绝对值是﹣5 B．任何实数都有倒数
C．任何实数都有相反数 D．﹣2的倒数是
【分析】直接利用绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、5的绝对值是5，不符合题意；
B、0没有倒数，不符合题意；
C、任何实数都有相反数，符合题意；
D、﹣2的倒数是﹣，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
4．（2022秋•新昌县期末）若实数a，b，c，d满足，则a，b，c，d这四个实数中最大的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据题目所给等式进行依次变形，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，
∴b＝a﹣1+，
即b＞a，
∵a﹣1＝c+1，
∴a＝c+2，
∴a＞c，
∵c+1＝d+2，
∴c＝d+1，
即c＞d，
∴b＞a＞c＞d，
∴b最大．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的加减及实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是关键．
5．（2022秋•金华期末）若正数x满足x2＝18，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】估算的大小即可求解．
【解答】解：∵正数x满足x2＝18，
∴，
∵42＝16，4.52＝20.25，
∴最接近4，
∴x最接近的是4．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．
6．（2022秋•南浔区期末）估算的值大概在（ ）
A．﹣1到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间
【分析】根据4＜7＜9，可得，即可求解．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的值大概在2到3之间．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
7．（2021秋•南浔区期末）下列关于的说法中，正确的是（ ）
A．是有理数 B．是2的算术平方根
C．不是实数 D．不是无理数
【分析】利用实数，有理数无理数的定义，算术平方根判断即可．
【解答】解：是实数，是无理数，是2的算术平方根．
∴只有B选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数，有理数无理数的定义，算术平方根．
8．（2021秋•温州期中）若有一个实数为，则它的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案．
【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的相反数，掌握一个数a的相反数是﹣a是解题的关键．
9．（2022秋•拱墅区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10．（2020秋•鄞州区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到﹣a的位置是求解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•慈溪市期末）比较大小： ＞ 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出2＜＜3，进而比较得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴+1＞3，
∴＞1．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确估算无理数的大小是解题关键．
12．（2022秋•义乌市校级期中）比较大小： ＞ 2.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先比较它们的平方数，平方大的数就大．
【解答】解：∵（）2＝7，2.52＝6.25，且7＞6.25，
∴＞2.5，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的比较，计算平方数是解题的关键．
13．（2022秋•嘉兴期末）如图，已知数轴上A、B两点分别对应实数﹣1和，则A、B两点间的距离为 +1 ．
【分析】根据“线段AB的长＝|点B表示的数﹣点A表示的数|”列式计算即可．
【解答】解：A、B两点间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，掌握“线段AB的长＝|点B表示的数﹣点A表示的数|”是解答本题的关键．
14．（2022秋•杭州期中）＝ 4 ，1﹣π的相反数是 π﹣1 ．
【分析】利用算术平方根，相反数的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：＝4，1﹣π的相反数是π﹣1，
故答案为：4，π﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握算术平方根，相反数的意义是解题的关键．
15．（2023春•宣恩县校级期中）比较大小：﹣π ＜ ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较﹣π＜﹣3.14的大小．
【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，
故﹣π＜﹣3.14．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
16．（2020秋•舟山期中）请写出一个大于﹣4而小于﹣3的无理数 ﹣（答案不唯一） ．
【分析】先找出﹣16到﹣9之间的一个数，再把其相反数进行开方即可求解
【解答】解：∵﹣16＜﹣10＜﹣9，
∴﹣＜﹣＜﹣，
即：﹣4＜﹣＜﹣3．
故答案为：﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，属开放性题目，答案不唯一．
17．（2022秋•越城区期中）设n为正整数，且，则n的值为 8 ．
【分析】估算出的取值范围即可解答．
【解答】解：∵64＜66＜81，
∴，
∵，
∴n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”，平方和开平方互逆运算是关键．
18．（2022秋•海曙区校级期中）已知7+的整数部分是m，的小数部分是n，则m+n＝ 7+ ．
【分析】先根据的范围，推出7+的取值范围，求出m，n的值，再代入求解．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴10＜7+＜11
∴m＝10，n＝﹣3，
∴m+n＝10+﹣3＝7+．
故答案为：7+．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：完全平方数的计算是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精确表示）
【分析】先求出﹣的近似值，再在数轴上表示出各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接起来即可．
【解答】解：﹣≈﹣1.414，
如图，
故﹣1.5＜﹣＜0＜π＜4．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数比左边的大是解题的关键．
20．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
21．（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：
①﹣3.14，②2π，③﹣，④0.618，⑤﹣，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．
整数集合：{ ⑤⑥⑦⑧ ……}；
分数集合：{ ①③④⑨ ……}；
无理数集合：{ ②⑩ ……}．
【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．
【解答】解：整数有：⑤﹣＝﹣4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；
分数有：①﹣3.14，③﹣，④0.618，⑨；
无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），
故答案为：⑤⑥⑦⑧；
①③④⑨；
②2⑩．
【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．
22．（2022秋•镇海区校级期中）已知4的算术平方根是2a﹣1，3a+b﹣1的平方根是±3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b﹣2c的平方根．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】（1）解：根据4的算术平方根是2a﹣1，
则2a＝3，
，
根据3a+b﹣1的平方根是±3，
则3a+b﹣1＝9，
则3a+b＝10，
则3×+b＝10，
则，
根据c是的整数部分，
则c＝2；
（2）解：根据，，c＝2，
则a+b﹣2c＝，
即a+b﹣2c的平方根是．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
23．（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ﹣3
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）利用已知得出的取值范围，进而得出答案；
（2）首先得出，的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；
故答案为：3，﹣3；
（2）∵＜＜，
∴的小数部分为：a＝﹣2，
∵＜＜，
∴的整数部分为b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
【点评】此题主要考查了估计无理数，得出无理数的取值范围是解题关键．
第12讲 实数（5种题型）
【知识梳理】
一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点的关系
我们尝试用数轴上的一个点来表示．
由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．
这样，就在数轴上确定一个点来表示．
要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3.两个实数比较大小
①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。
②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离
4.估算：怎样估算无理数 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？
误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.
估算无理数的方法是：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
【考点剖析】
题型一．实数
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
【变式1】（2022•乐清市开学）给出四个实数，3.14，0，，其中无理数是（ ）
A． B．3.14 C．0 D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：在实数，3.14，0，中，无理数是．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式2】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
【变式3】把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
…
有理数集合
…
无理数集合
【答案与解析】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
【变式4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限
小数和无限小数表示.
题型二．实数的性质
例2．若有一个实数为，则它的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案．
【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的相反数，掌握一个数a的相反数是﹣a是解题的关键．
【变式1】．的相反数是 ﹣ ．
【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵与﹣是只有符号不同的两个数，
∴的相反数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是上实数的性质，即只有符号不同的两个数叫互为相反数．
【变式2】在电视台一档互动节目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，”请问：a﹣b+c+d＝ 3或1 ．
【分析】根据题意写出a．b，c，d的值，然后分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±1，
∴当d＝1时，a﹣b+c+d＝1+1+0+1＝3；
当d＝﹣1时，a﹣b+c+d＝1+1+0﹣1＝1；
故答案为：3或1．
【点评】本题考查了实数，绝对值，倒数，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数．
【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；
（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．
【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝2 且m＜0，
∴m＝﹣2，
∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m
＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m
＝﹣1+6
＝5；
（2）∵＝m，
∴a＝m3＝﹣8，
∴b＝8，
∵，
∴，
∴b﹣4d+m
＝
＝8﹣2﹣2
＝4．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．
题型三、实数与数轴
例3．如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．
（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．
【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，求出正方形ABCD的面积，然后再求出边长即可；
（2）点B在数轴上的位置有两种情况，点B在原点左侧，点B在原点右侧．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间，
理由是：∵正方形ABCD的面积＝4×4﹣4××2×2＝8，
∴AB＝＝，
∵22＝4，32＝9，
∴4＜8＜9，
∴，
∴2＜＜3，
正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间；
（2）分两种情况：
当点B在原点左侧，点B在数轴上所表示的数是：，
当点B在原点右侧，点B在数轴上所表示的数是：，
∴点B在数轴上所表示的数是：±．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式1】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
【变式2】如图，实数﹣1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】先确定的范围，再推出的范围，从而得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴在在数轴上的对应点可能是C．
故选：C．
【点评】此题考查了实数与数轴，估算出的大小是解本题的关键．
【变式3】定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．
（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 2 ．
（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．
【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；
（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．
【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，
所以和谐距离为2；
故答案为：2；
（2）∵A，B处于和谐位置，
∴b＝3a+2，
∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，
∴2a+2＝±2022，
∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．
【点评】本题考查了实数与数轴，新定义，体现了方程思想，根据A，B的和谐距离为2022列出方程是解题的关键．
【变式4】设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为3，请求出下列代数式的值：5a+5b﹣+e．
【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，e＝3或e＝﹣3，然后分两种情况分别代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，
∴a+b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵e的绝对值为3，
∴e＝3或e＝﹣3，
当e＝3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣+3＝；
当e＝﹣3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣﹣3＝．
综上所述，代数式的值为或﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，倒数，实数的性质，体现了分类讨论的思想，掌握绝对值等于一个正数的数有2个是解题的关键，不要漏解．
【变式5】数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读理解】
|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 6 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝ 1或﹣5 ；
（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．
①则表示10的点与表示 ﹣12 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是 ﹣1012 ，B表示的数是 1010 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 a+b＝﹣2 ；
（3）【拓展延伸】
①当x＝ 1 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 5 ；
②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 5 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 ﹣5 ．
【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；
（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；③由题意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；
（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6；
②∵|x﹣（﹣2）|＝3，
∴x＝1或﹣5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，
∴折叠点是﹣1，
①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，
故答案为：﹣12；
②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，
∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，
故答案为：﹣1012，1010；
③由题意得，（a+b）＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故答案为：a+b＝﹣2；
（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，
当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，
当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，
当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，
∴当x＝1时，最小值是5，
故答案为：1，5；
②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，
当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，
当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，
∴最大值是5，最小值是﹣5，
故答案为：5，﹣5．
【点评】本题考查数轴、绝对值、两点的距离，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．
题型四、实数大小比较
例4.实数a在数轴上的位置如图所示，则，1，0的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．0＜1且1和的大小无法确定
【分析】根据数轴上a所在的位置可用取特殊值的方法比较个数的大小．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴令a＝﹣，
则﹣＝；
∵0＜1＜，
∴0＜1＜﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间对应关系及实数的大小的比较，当给出的未知字母的值在一个确定的范围内时，可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
【变式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（ ）
A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y
【分析】根据各选项中x，y，z的大小关系分别计算已知等式的左边和右边，看是否相等即可判断．
【解答】解：A、当x＞y＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
B、当z＞y＞x时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（z﹣x）＝y﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合题意；
C、当y＞x＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（x﹣z）＝y+z﹣2x，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
D、当x＞z＞y时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的大小和绝对值的意义，正确根据字母的大小关系将绝对值化去是解本题的关键．
【变式2】请用符号“＜”将下面实数﹣32，，﹣3连接起来 ﹣32＜﹣3＜ ．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：∵﹣32＝﹣9，|﹣9|＝9，|﹣3|＝3，
∴9＞3，
∴﹣32＜﹣3，
∴﹣32＜﹣3＜，
故答案为：﹣32＜﹣3＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
【变式3】已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|；
（1）根据数轴判断：a+b ＝ 0，c﹣b ＜ 0．（填＞，＜，＝）
（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．
【分析】（1）根据绝对值的意义和点在数轴上的位置可得结论；
（2）根据点在直线上的位置，先判断c﹣a、c﹣b、a+b、c﹣1的正负，再利用绝对值的意义去掉绝对值，最后合并同类项．
【解答】解：由题图知a＜0＜c＜b，
（1）∵|a|＝|b|，
∴a＝﹣b，c＜b．
∴a+b＝0，c﹣b＜0．
故答案为：＝，＜．
（2）∵a＜0＜c＜b＜1，
∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0，c﹣1＜0．
∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．
＝c﹣a﹣（b﹣c）+（a+b）+1﹣c
＝c﹣a﹣b+c+a+b+1﹣c
＝1+c．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，根据数轴确定两个数的和差与零的关系及掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
题型五、估算无理数的大小
例5.如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∵数轴上的点C，D分别对应的数是3，4，
∴表示的点应在线段CD上，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．
【变式1】绝对值小于的整数有 13 个．
【分析】由题意可知，这个整数在﹣到之间，再由6＜＜7，即可求解．
【解答】解：由题意可知，这个整数在﹣到之间，
∵6＜＜7，
∴满足的整数有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共13个，
故答案为13．
【点评】本题考查无理数的大小；掌握绝对值的意义，能够准确估计无理数的大小是解题的关键．
【变式2】的整数部分是 3 ．
【分析】根据平方根的意义确定的范围，则整数部分即可求得．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3】如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．
【分析】（1）根据正方形的面积是69即可得出答案；
（2）故选的范围即可求出m，n的值；
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为69，
∴正方形ABCD的边长a＝；
（2）∵64＜69＜81，
∴8＜＜9，
∴m＝8，n＝9；
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•嘉兴期末）在实数3.14，，，中，属于无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：3.14，，是有理数；是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2．（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足，则整数a是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先计算，，然后看哪个平方数在7和15之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜15，
∴＜3＜，
∴如果整数a满足，则a的值是：3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（ ）
A．5的绝对值是﹣5 B．任何实数都有倒数
C．任何实数都有相反数 D．﹣2的倒数是
【分析】直接利用绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、5的绝对值是5，不符合题意；
B、0没有倒数，不符合题意；
C、任何实数都有相反数，符合题意；
D、﹣2的倒数是﹣，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
4．（2022秋•新昌县期末）若实数a，b，c，d满足，则a，b，c，d这四个实数中最大的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据题目所给等式进行依次变形，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，
∴b＝a﹣1+，
即b＞a，
∵a﹣1＝c+1，
∴a＝c+2，
∴a＞c，
∵c+1＝d+2，
∴c＝d+1，
即c＞d，
∴b＞a＞c＞d，
∴b最大．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的加减及实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是关键．
5．（2022秋•金华期末）若正数x满足x2＝18，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】估算的大小即可求解．
【解答】解：∵正数x满足x2＝18，
∴，
∵42＝16，4.52＝20.25，
∴最接近4，
∴x最接近的是4．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．
6．（2022秋•南浔区期末）估算的值大概在（ ）
A．﹣1到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间
【分析】根据4＜7＜9，可得，即可求解．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的值大概在2到3之间．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
7．（2021秋•南浔区期末）下列关于的说法中，正确的是（ ）
A．是有理数 B．是2的算术平方根
C．不是实数 D．不是无理数
【分析】利用实数，有理数无理数的定义，算术平方根判断即可．
【解答】解：是实数，是无理数，是2的算术平方根．
∴只有B选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数，有理数无理数的定义，算术平方根．
8．（2021秋•温州期中）若有一个实数为，则它的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案．
【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的相反数，掌握一个数a的相反数是﹣a是解题的关键．
9．（2022秋•拱墅区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10．（2020秋•鄞州区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到﹣a的位置是求解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•慈溪市期末）比较大小： ＞ 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出2＜＜3，进而比较得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴+1＞3，
∴＞1．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确估算无理数的大小是解题关键．
12．（2022秋•义乌市校级期中）比较大小： ＞ 2.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先比较它们的平方数，平方大的数就大．
【解答】解：∵（）2＝7，2.52＝6.25，且7＞6.25，
∴＞2.5，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的比较，计算平方数是解题的关键．
13．（2022秋•嘉兴期末）如图，已知数轴上A、B两点分别对应实数﹣1和，则A、B两点间的距离为 +1 ．
【分析】根据“线段AB的长＝|点B表示的数﹣点A表示的数|”列式计算即可．
【解答】解：A、B两点间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，掌握“线段AB的长＝|点B表示的数﹣点A表示的数|”是解答本题的关键．
14．（2022秋•杭州期中）＝ 4 ，1﹣π的相反数是 π﹣1 ．
【分析】利用算术平方根，相反数的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：＝4，1﹣π的相反数是π﹣1，
故答案为：4，π﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握算术平方根，相反数的意义是解题的关键．
15．（2023春•宣恩县校级期中）比较大小：﹣π ＜ ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较﹣π＜﹣3.14的大小．
【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，
故﹣π＜﹣3.14．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
16．（2020秋•舟山期中）请写出一个大于﹣4而小于﹣3的无理数 ﹣（答案不唯一） ．
【分析】先找出﹣16到﹣9之间的一个数，再把其相反数进行开方即可求解
【解答】解：∵﹣16＜﹣10＜﹣9，
∴﹣＜﹣＜﹣，
即：﹣4＜﹣＜﹣3．
故答案为：﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，属开放性题目，答案不唯一．
17．（2022秋•越城区期中）设n为正整数，且，则n的值为 8 ．
【分析】估算出的取值范围即可解答．
【解答】解：∵64＜66＜81，
∴，
∵，
∴n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”，平方和开平方互逆运算是关键．
18．（2022秋•海曙区校级期中）已知7+的整数部分是m，的小数部分是n，则m+n＝ 7+ ．
【分析】先根据的范围，推出7+的取值范围，求出m，n的值，再代入求解．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴10＜7+＜11
∴m＝10，n＝﹣3，
∴m+n＝10+﹣3＝7+．
故答案为：7+．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：完全平方数的计算是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精确表示）
【分析】先求出﹣的近似值，再在数轴上表示出各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接起来即可．
【解答】解：﹣≈﹣1.414，
如图，
故﹣1.5＜﹣＜0＜π＜4．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数比左边的大是解题的关键．
20．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
21．（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：
①﹣3.14，②2π，③﹣，④0.618，⑤﹣，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．
整数集合：{ ⑤⑥⑦⑧ ……}；
分数集合：{ ①③④⑨ ……}；
无理数集合：{ ②⑩ ……}．
【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．
【解答】解：整数有：⑤﹣＝﹣4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；
分数有：①﹣3.14，③﹣，④0.618，⑨；
无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），
故答案为：⑤⑥⑦⑧；
①③④⑨；
②2⑩．
【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．
22．（2022秋•镇海区校级期中）已知4的算术平方根是2a﹣1，3a+b﹣1的平方根是±3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b﹣2c的平方根．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】（1）解：根据4的算术平方根是2a﹣1，
则2a＝3，
，
根据3a+b﹣1的平方根是±3，
则3a+b﹣1＝9，
则3a+b＝10，
则3×+b＝10，
则，
根据c是的整数部分，
则c＝2；
（2）解：根据，，c＝2，
则a+b﹣2c＝，
即a+b﹣2c的平方根是．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
23．（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ﹣3
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）利用已知得出的取值范围，进而得出答案；
（2）首先得出，的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；
故答案为：3，﹣3；
（2）∵＜＜，
∴的小数部分为：a＝﹣2，
∵＜＜，
∴的整数部分为b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
【点评】此题主要考查了估计无理数，得出无理数的取值范围是解题关键．
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