第10讲 有理数混合运算与近似数（3种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

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第10讲 有理数混合运算与近似数（3种题型）
【知识梳理】
一、 有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
二．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
三．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
【考点剖析】
一．有理数的混合运算（共25小题）
1．（2022秋•新化县校级期中）下列各组运算中，其值最小的是（　　）
A．﹣（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）
C．（﹣3）2÷（﹣2）2 D．（﹣3）2÷（﹣2）
【分析】先分别计算出四个选项的值，再进行比较，即可得出它们的最小值．
【解答】解：A、﹣（﹣3﹣2）2＝﹣25；
B、（﹣3）×（﹣2）＝6；
C、（﹣3）2÷（﹣2）2＝；
D、（﹣3）2÷（﹣2）＝﹣；
由于A、D均为负数，因此最小值必在这两者之中；
由于25＞，所以﹣25＜﹣，
即﹣（﹣3﹣2）2＜（﹣3）2÷（﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数大小的比较方法，有理数大小的比较法则：
1、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；
2、两个正数，绝对值大的数大；
3、两个负数，绝对值大的数反而小．
2．（2022秋•永康市期中）计算：（1）4﹣28.5﹣（﹣29.5）+（﹣24）
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×
【分析】（1）把相加得整数的先相加；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣24）+（﹣28.5+29.5）
＝﹣20+1
＝﹣19；
（2）原式＝﹣4+|﹣3|+24×（﹣）×
＝﹣4+3﹣
＝﹣．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．
3．（2022秋•永康市期中）定义一种新运算：“*”，规则为a*b＝，如2*3＝＝，求出[3*（﹣4）]*（﹣）的值．
【分析】根据新定义列出算式计算即可．
【解答】解：[3*（﹣4）]*（﹣）
＝[+（﹣）]*（﹣）
＝*（﹣）
＝12+（﹣13）
＝﹣1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．
4．（2023•杭州）（﹣2）2+22＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．
5．（2022秋•兰溪市期末）计算5÷（﹣2﹣3）的结果是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【分析】原式先算括号中的减法运算，再算除法运算即可求出值．
【解答】解：原式＝5÷（﹣5）
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2022秋•云梦县期末）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　）
A．9900 B．99! C． D．2
【分析】根据“!”的含义，可得100！＝100×99×98×97×…×2×1＝100×99×98！，据此求出的值是多少即可．
【解答】解：由题意得：

＝
＝100×99
＝9900，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，明确新的运算含义．
7．（2020秋•衢州期中）定义一种新运算：新定义运算a*b＝a（a﹣b）2，则2*5的结果是 　18　．
【分析】将a＝2，b＝5代入a*b＝a（a﹣b）2得出答案．
【解答】解：2*5
＝2×（2﹣5）2
＝2×（﹣3）2
＝2×9
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
8．（2022秋•苍南县期末）计算：
（1）12﹣（﹣3）+（﹣12）+|﹣4|；
（2）（﹣18）÷6+5×（﹣2）3．
【分析】（1）原式先化简绝对值，再根据有理数加减法法则进行计算即可；
（2）原式先计算乘方，再进行乘法和除法运算，最后再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）原式＝12+3﹣12+4
＝15﹣12+4
＝3+4
＝7；
（2）原式＝﹣3+5×（﹣8）
＝﹣3+（﹣40）
＝﹣43．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2022秋•余姚市期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后算加减法即可．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣9+8﹣2
＝﹣3；
（2）
＝﹣1+9×2﹣2
＝﹣1+18﹣2
＝15．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
10．（2022秋•鄞州区期末）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）先利用乘法分配律计算，然后计算加减法即可；
（2）先计算乘方运算，然后计算乘除运算．
【解答】解：（1）
＝
＝40﹣（15+20+24）
＝40﹣59
＝﹣19；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题关键．
11．（2022秋•长兴县月考）“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，小明记录了本周写家庭作业的时间，情况如表（以30分钟为标准，时间多于30分钟用正数表示，时间少于30分钟用负数表示）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与标准时间的差（分钟）
﹣5
﹣6
﹣8
﹣2
﹣9
+8
+15
（1）这一周内写家庭作业用时最多的是星期 　日　，用时最少的是星期 　五　；
（2）求小明这一周每天写家庭作业的平均时间．
【分析】（1）通过对本周小明每天写作业时间比较并作差计算，可确定此题结果；
（2）计算出小明本周写数学家庭作业的时间的平均数，再加上30即可．
【解答】解：（1）∵﹣9＜﹣8＜﹣6＜﹣5＜﹣2＜+8＜+15，
∴这一周内家庭作业用时最多的是星期日，用时最少的是星期五，
故答案为：日，五；
（2）30+（﹣5﹣6﹣8﹣2﹣9+8+15）÷7
＝30+（﹣7）÷7
＝29（分钟），
答：这一周每天写家庭作业的平均时间为29分钟．
【点评】此题考查了利用正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列式、计算．
12．（2022秋•阳新县校级期末）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）．
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
+2
﹣0.5
+1.5
﹣1
+1
（1）星期一收盘时，该股票每股多少元？
（2）这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，是盈利还是亏损，盈利或亏损了多少元？
【分析】（1）由买进时的股价，根据表格求出星期一收盘时的股价即可；
（2）根据表格得出一周的股价，找出最高与最低即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30+2＝32（元）；
答：星期一收盘时，该股票每股32元；

（2）一周的股价分别为：32（元）；32﹣0.5＝31.5（元）；31.5+1.5＝33（元）；33﹣1＝32（元）；32+1＝33（元）；
这周内该股票收盘时的最高价是33元，最低价是31.5元；

（3）根据题意得：33×1000×（1﹣5‰）﹣30×1000×（1+5‰）＝2685（元），
则赚了2685元．
【点评】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．某服装店购进了30套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这30套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示：
售出件数
7
6
7
8
2
售价（元）
+5
+1
0
﹣2
﹣5
（1）与标准价格相比，30件保暖内衣总售价超过或不足多少元？
（2）若该服装店每件进价为80元，则盈利多少元？
【分析】（1）把正负数加起来进行计算即可得出答案；
（2）根据总的售价﹣成本＝总利润，列出代数式，再进行计算即可．
【解答】解：（1）7×5+6×1+7×0+8×（﹣2）+2×（﹣5）＝35+6+0﹣16﹣10＝15（元），
答：与标准价格相比，30件保暖内衣总售价超过15元；

（2）根据题意得：
30×100+15﹣80×30＝615（元），
答：盈利615元．
【点评】本题主要考查正数和负数，用到的知识点是有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
14．（2021秋•祥云县期末）计算：﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．
【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
【点评】此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理．
15．（2022秋•永康市期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．请用这种方法解决下列问题．
（1）当a＝3，a＝﹣2时，分别求的值．
（2）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求+的值．
（3）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，试求的值．
【分析】（1）直接将a＝3，a＝﹣2代入求出答案；
（2）分别利用a＞0，b＞0或a＜0，b＜0分析得出答案；
（3）分别利用当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0，当a，b，c都小于0，分析得出答案．
【解答】解：（1）当a＝3时，＝1；
当a＝﹣2时，＝﹣1；
（2）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况：
当a＞0，b＞0时，
+＝1+1＝2，
当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1＝﹣2．
∴当ab＞0时，+的值为±2；
（3）若a，b是有理数，当abc＜0时，分2种情况：
①当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，
＝﹣1+1+1﹣1＝0，
②当a＜0，b＜0，c＜0时，
＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，
综上所述，的所有可能的值为0或﹣4．
【点评】本题主要考查了绝对值，掌握分类讨论是关键．
16．（2022秋•余姚市月考）在一次班会活动上，全班同学参加一个游戏，游戏的规则如下：连续从一个箱子中随机抽取4张卡片，并按照如下步骤进行计算：第一步：把第1张卡片上的数字平方；第二步：把第一步的计算结果除以第2张卡片上的数字；第三步：把第二步的计算结果减去第3张卡片上的数字；第四步：把第三步的计算结果乘以第4张卡片上的数字．比较最后的结果，规定计算结果小的同学表演节目．小强抽到如图1的4张卡片，小华抽到如图2的4张卡片，请你通过计算说明由谁会为大家表演节目．


【分析】先按照步骤列出算式，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：小强：[（﹣1）2÷（﹣）﹣（﹣2）]×
＝[1÷（﹣）﹣（﹣2）]×
＝[1×（﹣）+2]×
＝（﹣+2）×
＝×
＝；
小华：（22÷1﹣4）×（﹣）
＝（4÷1﹣4）×（﹣）
＝（4×﹣4）×（﹣）
＝（3﹣4）×（﹣）
＝（﹣1）×（﹣）
＝；
∵＜，
∴小强表演节目．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀]的值．
【分析】按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（﹣2）∀[（﹣1）∀]
＝（﹣2）∀
＝（﹣2）∀
＝（﹣2）∀
＝
＝
＝，
∴（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值为．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
18．（2022秋•慈溪市期末）定义一种新运算符号“Θ”，满足aΘb＝|a﹣b|+ab，则（﹣1）Θ（2Θ3）的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．11
【分析】按照新运算符号“Θ”的定义进行运算即可．
【解答】解：∵aΘb＝|a﹣b|+ab，
∴（﹣1）Θ（2Θ3）
＝（﹣1）Θ（|2﹣3|+23）
＝（﹣1）Θ（1+8）
＝（﹣1）Θ9
＝|﹣1﹣9|+（﹣1）9
＝10﹣1
＝9，
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，新定义运算、绝对值化简等知识，理解新定义的运算方式并掌握相关计算是解题关键．
19．（2020秋•拱墅区校级期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※3＝2×3+（2+3）a+1＝5a+7．若2※（﹣1）的值为3，则a的值为　4　．
【分析】根据x※y＝xy+a（x+y）+1，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵2※（﹣1）的值为3，
∴2※（﹣1）＝3，
∴2×（﹣1）+a[2+（﹣1）]+1＝3，
解得a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
20．（2022秋•武义县期末）计算：6×（﹣■）+2．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于14，求被污染的数字．
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）
＝6×﹣6×+2
＝3﹣8+2
＝﹣3；
（2）设被污染的数字为x，
由题意可得，6×（﹣x）+2＝14，
解得x＝﹣，
即被污染的数字为﹣．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（2022秋•青田县期末）计算：．
毛毛在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果计算结果等于14，求被污染的数字．
【分析】根据有理数混合运算法则计算即可．
【解答】解：根据题意可得，
被污染的数字＝．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
22．（2021秋•椒江区期末）食品厂为检测某袋装食品的质量是否符合标准，从袋装食品中抽出样品30袋，每袋以100克为标准质量，超过和不足100克的部分分别用正、负数表示，记录如表：
与标准质量的差值/克
﹣4
﹣2
0
1
2
3
袋数
3
4
6
8
6
3
（1）在抽测的样品中，任意挑选两袋，它们的质量最大相差多少克？
（2）食品袋中标有“净重100±2克”，这批抽样食品中共有几袋质量合格？请你计算出这30袋食品的合格率；
（3）这批样品的平均质量比每袋的标准质量多（或少）多少克？
【分析】（1）找到最大和最小值相减即可求解；
（2）找到所给数值中，绝对值小于或等于2的食品的袋数占总袋数的多少即可；
（3）根据有理数的加法和乘法，求出所抽取的袋数与标准质量的差的和，再求平均数即可．
【解答】解：（1）3﹣（﹣4）＝7（克）．
答：它们的质量相差最大7克．
（2）合格有：4+6+8+6＝24（袋），
24÷30×100%＝80%，
答：这批抽样食品中共有24袋质量合格，合格率为：80%．
（3）（﹣4）×3+（﹣2）×4+0×6+1×8+2×6+3×3＝9（克），
9÷30＝0.3（克），
答：这批样品的平均质量比每袋的标准质量多0.3克．
【点评】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，关键是根据题意列出算式，在计算时要注意运算结果的符号．
23．（2022秋•余姚市月考）班会活动上有一个游戏，规则如下：连续从一个箱子中随机抽取4张卡片，并按以下步骤进行计算：第一步：把第1张卡片上的数字平方；第二步：把第一步的计算结果除以第2张卡片上的数字；第三步：把第二步的计算结果减去第3张卡片上的数字；第四步：把第三步的计算结果乘以第4张卡片上的数字．规定计算结果小的同学表演节目．小强抽到如图1的4张卡片，小华抽到如图2的4张卡片，请你通过计算说明谁表演节目．


【分析】先根据步骤列出算式，然后再分别进行计算即可解答．
【解答】解：小强：[（﹣1）2÷（﹣）﹣（﹣2）]×
＝[1÷（﹣）﹣（﹣2）]×
＝[1×（﹣）﹣（﹣2）]×
＝（﹣+2）×
＝×
＝；
小华：（22÷1﹣4）×（﹣）
＝（4÷1﹣4）×（﹣）
＝（4×﹣4）×（﹣）
＝（3﹣4）×（﹣）
＝（﹣1）×（﹣）
＝；
∵＜，
∴小强表演节目．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2022秋•临平区月考）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：＝
＝＝问题：
计算：
①；
②．
【分析】（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为＝﹣，依此抵消即可求解；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为＝（﹣），依此抵消即可求解．
【解答】解：①
＝
＝
＝；

②
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．
25．（2021秋•南浔区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：F（n）＝，以F（n，k）表示对正整数n进行k次“F”运算．例如，F（2，2）表示对2进行2次“F”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为1+5＝6，所以F（2，2）的运算结果是6．据此回答下列问题：
（1）求F（3，1）的运算结果．
（2）若n为偶数，且F（n，2）的运算结果为8，求n的值．
（3）求F（3，2022）的运算结果．
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算；
（2）根据新定义列等式，求出n的值；
（3）利用新定义计算．
【解答】解：（1）F（3，1）表示对正整数3进行1次“F”运算，
∵3为奇数，
∴n+5＝3+5＝8，
∴F（3，1）的运算结果为8；
（2）∵n为偶数，
∴第一次运算的结果为n，
第二次运算的结果为n或n+5，
∵F（n，2）的运算结果为8，
∴n＝8或n+5＝8，
∴n＝32或n＝6；
（3）F（3，2022）表示对正整数3进行2022次“F”运算，
根据题意可得：F（3，1）＝8，
F（3，2）＝4，
F（3，3）＝2，
F（3，4）＝1，
F（3，5）＝6，
F（3，6）＝3，
F（3，7）＝8，
F（3，8）＝4，
F（3，9）＝2，
F（3，10）＝1，
F（3，11）＝6，
F（3，12）＝3，
F（3，13）＝8，
.....．
猜想结果是以3，8，4，2，1，6循环出现的，能被6整除的结果为3，
∵2022能被6整除，
∴F（3，2022）的运算结果为3．
【点评】本题考查了有理数混合运算的新定义，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．
二．近似数和有效数字（共8小题）
26．（2022秋•青田县期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）
【分析】A．精确到0.1就是保留小数点后一位，因为小数点后第二位是5，进一得0.1；
B．精确到千分位，就是保留小数点后三位，因为小数点后第四位是1，舍去得0.050，C．精确到百分位，就是保留小数点后两位，因为小数点后第三位是0，舍去得0.05，故C符合题意；
D．精确到0.0001，就是保留小数点后四位，因为小数点后第五位是9，进一得0.0502，故D不符合题意．
【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；
B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故B符合题意；
C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故C不符合题意；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解题的关键．
27．（2022秋•仪征市期末）全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为　1.49×108　km2．
【分析】先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度四舍五入即可．
【解答】解：149 480 000km2≈1.49×108km2（精确到百万位）．
故答案为1.49×108．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
28．（2022秋•上城区校级期中）近似数13.7万精确到（　　）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数13.7万精确到千位．
故选：C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
29．（2022秋•泗阳县期末）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（　　）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到百位 D．精确到千位
【分析】由于103代表1千，所以8.8×103等于8.8千，小数点后一位是百．
【解答】解：近似数8.8×103精确到百位．
故选：C．
【点评】本题考查了近似数精确度的意义，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
30．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到 　百分　位．
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数5.20精确到百分位．
故答案为：百分．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
31．（2022秋•苍南县期末）用四舍五入法对5.423取近似值，并精确到0.1后的结果是（　　）
A．5.4 B．5.5 C．5.42 D．5.43
【分析】根据精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入直接进行判断．
【解答】解：用四舍五入法对5.423取近似值，并精确到0.1后的结果是5.4，
故选：A．
【点评】本题考查了近似数的求法，精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入．
32．（2022秋•东阳市期中）用四舍五入法，把4.76精确到十分位，取得的近似数是（　　）
A．5 B．4.7 C．4.8 D．4.77
【分析】对百分位数字四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法，把4.76精确到十分位，取得的近似数是4.8，
故选：C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
33．（2022秋•瑞安市期中）小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（　　）
A．1.675≤a＜1.685 B．1.675＜a≤1.685
C．1.675≤a≤1.685 D．1.675＜a＜1.685
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为1.675≤a＜1.685．
故选：A．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
三．计算器—有理数（共4小题）
34．计算器按键顺序为
（
﹣
4
）
x2
﹣
1
．
5
＝
结果是　（14.5）　．
【分析】由按键顺序可知：先算﹣4的平方，再把计算的结果减去1.5即可，由此得出答案即可．
【解答】解：（﹣4）2﹣1.5
＝16﹣1.5
＝14.5．
故答案为：14.5．
【点评】此题主要考查运用计算器计算．可实际操作验证一下．
35．在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣7
﹣5
﹣3
﹣1
1
3
上面操作程序中所按的“□□”中应分别填入 　﹣，3　．
【分析】根据图表中数据以及计算器上程序分别进行计算即可；
【解答】解：根据表格中数据分析可得：
题中x、y之间的关系为y＝2x﹣3；
故所按的“□□”中应分别是“﹣”“3”．
故答案为﹣，3．
【点评】此题主要考查了计算器﹣有理数，根据计算器程序分别进行得出函数关系式是解题关键，同学们要能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算．
36．用计算器探索规律：按一定规律排列的一组数：，，，…，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少需选　7　个数．
【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算．
【解答】解：从最大的开始，从大到小逐个求和，即+…，当它们的和大于0.5时，停止．
统计一下，用了7个数．
故答案为：7．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，并根据计算器算出的结果进行分析处理．
37．有一台单一功能的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果，比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
（1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是　4　．
（2）若小明将1到2014这2014个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为　2013　．
【分析】（1）根据已知得出输入与输出结果的规律求出即可；
（2）先将1到n（n≥3）这n个正整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果为m，根据分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算分别得出最大值与最小值，从而得出n＝2014时的最大值．
【解答】解：（1）根据题意可以得出：||3﹣4|﹣5|＝|1﹣5|＝4；
故答案为：4．
（2）对于任意两个正整数x1，x2，|x1﹣x2|一定不超过x1和x2中较大的一个，对于任意三个正整数x1，x2，x3，
||x1﹣x2|﹣x3|一定不超过x1，x2和x3中最大的一个，
以此类推，设小明输入的n个数的顺序为x1，x2，…xn，则m＝|||…|x1﹣x2|﹣x3|﹣…|﹣xn|，
m一定不超过x1，x2，…xn，中的最大数，所以0≤m≤n，易知m与1+2+…+n的奇偶性相同；
1，2，3可以通过这种方式得到0：||3﹣2|﹣1|＝0；
任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0：|||a﹣（a+1）|﹣（a+3）|﹣（a+2）|＝0（*）；
下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算．
当n＝4k时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n＝4k+1时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n＝4k+2时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和n﹣1，
则最小值为1，
从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为n﹣1；
当n＝4k+3时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，
则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n，
则最大值为n﹣1．
∴当n＝2014时，m的最大值为2013，最小值为0，
故答案为：2013．
【点评】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据近似数的精确度得到，然后分别进行判断．
【详解】解：∵精确到百分位得到的近似数是5.28，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
2．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）由四舍五入法得到的近似数万，下列说法正砫的是（    ）
A．精确到百位 B．精确到千位 C．精确到百分位 D．精确到千分位
【答案】A
【分析】近似数由四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：近似数万末尾数字0表示0百，
∴近似数万，精确到百位．
故选：A．
【点睛】本题考查的是近似数，熟练掌握四舍五入是解题的关键．
3．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）中国首艘航母“辽宁号”满载排水量达吨．“”这个数据用科学记数法可表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据运算法则，先算括号里面的，再算除法，即可求解．
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）当使用计算器的键，将的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（　　）
A．它不是准确值 B．它是一个估算结果
C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数
【答案】B
【分析】化为小数，是一个无限循环小数.
【详解】将化为小数，是一个无限循环小数.
所以，将的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，是一个四舍五入的近似数.
故选B
【点睛】本题考核知识点：近似数. 解题关键点：理解近似数的意义.
6．（2022秋·七年级单元测试）2010年5月1日至2010年10月31日期间在上海举行的世界博览会总投资约450亿元人民币，其中“450亿”用科学记数法表示为（   ）元
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将450亿用科学记数法表示为：4.5×1010．
故选A．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2022秋·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）如下图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果是（   ）

A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列式，进行计算即可得．
【详解】解：输入a的值为，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，正确计算．
8．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）世界杯的小组赛比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则战胜丁的球队是（    ）
A．甲 B．甲和乙 C．丙 D．甲和丙
【答案】D
【分析】4个队一共要比场比赛，每个队都要进行3场比赛，各队的总得分恰好是四个连续奇数，甲、乙、丙、丁四队的得分情况只能是 进行分析即可．
【详解】解∶根据题意得：4个队一共要比场比赛，每个队都要进行3场比赛，∵各队的总得分恰好是四个连续奇数，甲、乙、丙、丁四队的得分情况只能是
所以，甲队胜2场，平1场，负0场．
乙队胜1场，平2场，负0场．
丙队胜1场，平0场，负2场．
丁队胜0场，平1场，负2场．
战胜丁的球队是甲和丙，
故选D．
【点睛】首先确定比赛总场数，然后根据“各队的总得分恰好是四个连续的奇数”进行分析是完成本题的关键．

二、填空题
9．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）近似数，精确到________位．
【答案】十
【分析】近似数精确到哪一位，应当看的末位数字实际在哪一位．
【详解】解：∵的原数约为，
∴7后面的0所在的数位是十位，所以近似数精确到十位，
故答案为：十．
【点睛】本题主要考查科学记数法和近似数，对于用科学记表示的数，要看的最末位在原数中的位置．
10．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）定义一种新运算：，则______．
【答案】
【分析】根据新运算可得，再代入，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查新定义下的运算，解题的关键是理解新定义运算，根据新定义运算法则，进行计算．
11．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）已知有理数，，，，请你通过有理数的加减乘除混合运算，使得运算结果最大，则这个最大结果为__________．
【答案】
【分析】根据有理数的四则混合运算法则编排、计算即可．
【详解】最大的组合为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键．
12．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）现给出四个数，请你写出一个包含这4个数并使其结果为24的算式 _____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意列出结果为24的算式，根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出结果为24的算式是解题的关键．
13．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为______________.

【答案】4
【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴输出y的值为4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义．
14．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若规定，则______．
【答案】
【分析】利用新运算的规定先运算括号内的，再运算括号外的．
【详解】原式




故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算的规定是解题的关键．
15．（2022秋·浙江·七年级校考期中）给定一个定义：对于排好顺序的三个数：称为数列，计算||，||，||，将这三个数的最小值称为数列的价值，例如：对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，||＝，||＝，所以数列2，，3的价值为，我们发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其对应的价值，如数列，2，3的价值为；数列3，，2的价值为1；经过研究发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为，根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列4，3，2的价值为____________；
（2）将“4，3，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，则这些数列的价值的最小值____________．
【答案】 3； ．
【分析】（1）根据定义，代入直接可求；
（2）数列共6种排列方式，分别求出每一种情况的价值，即可求解；
【详解】解：（1）因为，
所以，数列4，3，2的价值是3；
故答案为：3；
（2）因为，故数列4，3，的价值是；
因为，故数列的价值是；
因为，故数列3，，4的价值是；
因为，故数列3，4，的价值是；
因为，故数列，4，3的价值是；
因为，故数列，3，4的价值是；
数列的价值的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的规律，新定义．理解题意，利用新定义是解题的关键．
16．（2022秋·浙江杭州·七年级期中）（1）将用科学记数法表示为_________；
（2）把精确到十分位的近似数是____________；
（3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于_________，而小于_________的数．
【答案】
【分析】（1）根据科学记数法表示即可求解；
（2）将百分位的9四舍五入即可求解；
（3）根据近似数四舍五入法，判断范围即可求解．
【详解】（1）解：将用科学记数法表示为
故答案为：．
（2）把精确到十分位的近似数是；
故答案为：．
（3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于，而小于的数，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题
17．（2022秋·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)24
(2)

【分析】（1）根据有理数的混合运算的计算法则求解即可；
（2）根据乘法分配律，求出每个算式的值再相减即可．
【详解】（1）


（2）



【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键．
18．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）如果规定△表示一种运算，且，求下列运算的结果：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解．
（2）先计算，再根据新定义进行计算即可求解．
【详解】（1）解：依题意，


；
（2）解：




．
【点睛】本题考查有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算．
19．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)6

【分析】（1）根据有理数的加减运算法则求解即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：

．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算，熟练掌握相关的运算法则和运算顺序是解答的关键．
20．（2023春·浙江金华·七年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）先算绝对值，再算减法；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）

；
（2）


．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
21．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？
(2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？
(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？
【答案】(1)在距离第一批乘客出发地的东面，距离是3千米
(2)44千米小时
(3)130元

【分析】（1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面；
（2）先求出路程和，由速度路程时间可求解；
（3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：（千米），
∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在距离第一批乘客出发地的东面，距离是3千米；
（2）由题意得：（千米），
上午李师傅开车的时间是：1小时15分小时；
（千米小时），
答：上午沈师傅开车的平均速度是44千米小时；
（3）一共有10位乘客，则起步费为：（元），
超过3千米的收费总额为：
（元），
（元），
答：沈师傅在上午一共收入130元．
【点睛】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键．
22．用计算器计算：
(1)0.84÷4＋(－0.79)×2；
(2) 49.75÷0.252；
(3)×(5.63－3.31)×112－25.
【答案】(1)－1.37(2)796(3)108.36
【分析】（1）利用计算器输入方法依次输入即可求解；（2）利用计算器输入方法依次输入即可求解；（3）利用计算器输入方法依次输入即可求解．
【详解】解：(1)－1.37
(2)796
(3)108.36
【点睛】本题主要考查了用计算器进行有理数的计算，正确输入数据是解题关键．
23．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题

(1)从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 　．
(2)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如与视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．

【答案】(1)20；
(2)，（答案不唯一）

【分析】（1）根据题意可以找到四张卡片中乘积最大的两张；
（2）根据题意可以得到用运算符号连接结果为24的四张卡片，本题得以解决．
【详解】（1）解：由题意可得，
从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：；
（2）解：，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．