第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
故选：C．
2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为第四象限角，所以，
，
由，可得在第三象限，
所以，

     
故选：C.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，得.
故选：B.
4．（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由可得，即充分性成立；
当时，可得；所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知角满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，，即，解得，
又因为，，
可得，或，，
所以，
故选：D．
6．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知第二象限角满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，
第二象限角满足，可得，，
所以，．

．
故选D．
7．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）24届国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，直角三角形中较小的锐角为，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
设小正方形的边长为，则大正方形边长为，直角三角形的面积为6，
设直角三角形的直角边分别为且，则由对称性可得，
而直角三角形的面积为＝6，
联立方程组可得，
，，
.
故选：B
8．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A．
二、多选题
9．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）下列正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】对于A，因为
所以，故A错误；
对于B，，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
故D正确.
故选：CD.
10．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）下列等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，.
故选：CD.
三、填空题
11．（2023·全国·高一专题练习）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值等于________．
【答案】1
【详解】由题可得，

.
故答案为：1.
12．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）______________．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·云南西双版纳·高一统考期末）
(1)已知角的终边经过点 ，求 ．
(2)已知，，，为锐角，求的值．
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）由题意：，
故原式 ；
（2）因为， ，，为锐角，也是锐角，
所以 ， ，
则；
综上，（1）原式 ；（2） .
14．（2023·全国·高一专题练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则，消去，可得，
分解因式可得，解得或，
由，则，即，故.
（2）由（1）可知，，
.
15．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中、角的项点与原点重合，以x轴非负半轴为始边的两个锐角、，它们的边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和.

(1)求，的值.
(2)求的值
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由三角函数的定义可知，，因为为锐角，则，从而，同理可得，因此，
（2）∵，，
所以
16．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）；
（2）由（1）得，
，
.
B能力提升
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来构造无理数，，，…，记，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图可知，，，，
所以

故选：B
2．（2023·吉林长春·校联考一模）若，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为，
展开可得，
所以，所以，
即，解得，
即；
，
因为，
  所以.
故选：C
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）的值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】解：，

，
故，
故选：D.
4．（2023·广西·统考模拟预测）设钝角满足，则（    ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【详解】因为，则，
解得，而为钝角，则，，
所以.
故选：D
5．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,
，
所以，
故选：D
C综合素养
1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，则______.
【答案】
【详解】依题意，
因为，
故，
故，解得，
所以
，所以.
故答案为：.
2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）计算：______．
【答案】
【详解】



．
故答案为：.
3．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）若，，，，则______
【答案】
【详解】因为，，故，，
故由可得，
由可得，
则
，
故答案为：
4．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）因为为锐角，且，所以.
所以，.
，所以.
5．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，
∴，解得.
∴；
（2）∵，且，∴，
∴，
∴，又，
∴，∴.
∴，
又∵，
∴.