第09讲拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7558" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7558 \h 2
\l "_Tc26825" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26825 \h 3
\l "_Tc28219" 高频考点一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc28219 \h 3
\l "_Tc23528" 高频考点二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc23528 \h 9
\l "_Tc15811" 高频考点三：构造或型 PAGEREF _Tc15811 \h 14
\l "_Tc26812" 高频考点四：构造或型 PAGEREF _Tc26812 \h 17
\l "_Tc17064" 高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc17064 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
④
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.
故选：B.
例题2．（2023·陕西安康·统考二模）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.
所以.
构造函数，
所以在区间上单调递增，所以，
即，也即.
故选：A
例题4．（2023秋·陕西·高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.
故选：A.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，又为定义在上的偶函数，则，
故为定义在上的奇函数；
又，由题可知，当时，，即在单调递增，
结合是上的奇函数可知，为上的单调增函数；
又，
又，，，
故.
故选：B.
例题6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】或
【详解】令，
则，
由当时， ，
所以当时，
即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，
所以，
所以，
所以是偶函数，在递减，
所以，
，
即不等式等价为，
所以，所以或.
故答案为：或.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，
设，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B
2．（多选）（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（ ）
A． B．只有一个零点
C．有两个零点D．有一个极大值
【答案】BD
【详解】令，则，
所以，，所以，.
又，则，解得.
所以，.
则，，且，A项错误.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
所以，在处有极大值为，
且只有一个极值点，D正确.
且时，有恒成立.
又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误.
故选：BD.
3．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
因为当时，成立，所以，为递减函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
因为，所以，，，
当时，由为奇函数可得不满足题意；
当时，由可得，所以；
当时，由可得，所以，此时，
综上所述，不等式的解集是
故选：D
4．（多选）（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】由，得，
设，则,
设，则在上为增函数,且，
则当时，，此时，此时函数为增函数；
当时，，此时，此时函数为减函数，
故由，即，A正确；
由，得，即，B错误；
与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由，得，即，D正确．
故选：AD
5．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．
【答案】
【详解】令，取，则函数为偶函数，
当时，，故，即，
由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，
又，故等价于或，
解得．
故答案为：
高频考点二：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
例题2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，则，∴在上单调递增.
∵不等式可化为，即，∴，
则不等式的解集为.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值D．在上没有极值
【答案】D
【详解】解：根据题意，，故，
又，得，故，
令，
则，
即，
记，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，即，
所以在上单调递增，故在上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】构造函数，
，
所以在上递增，，
由于，
根据的单调性解得，
所以的解集.
故选：D
2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
∴在上单调递减.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：B．
3．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可知构造函数，
则，所以在上是单调递减函数，
于是：，于是，所以A正确；
，于是，所以B错误；
，于是，所以C正确；
由于而，所以的范围无法确定，D不一定正确．
故选：AC
4．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，函数的定义域为，
因为
所以，
故
故在R上单调递减，
又因为
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为
故选：B.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设，
则，
因为恒成立，
所以，
所以在单调递增，
则，，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，
即．
故选：B
高频考点三：构造或型
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知，
令，则
，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以不等式等价于，则，
所以不等式的解集为
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，
，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】令，
则，
由条件得当时，，
∴函数在上单调递减．
因为，是奇函数，∴函数为偶函数，
∴函数在上单调递增．
①当时，，不等式可化为，
∴；
②当时，，不等式可化为，
∴．
综上可得不等式的解集为．
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
高频考点四：构造或型
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】构造函数，，则，所以在上单调递增，
则，所以，即，故A不正确；
则，所以，即，故B不正确；
则，所以，即，故C正确；
则，所以，即，故D不正确.
故选：C.
例题2．（多选）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】令，则，
由已知可得，即在上单调递减.
所以，
故，，即C、D选项正确.
故选：CD
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】令，其中，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
对于A选项，因为，则，即，
所以，，A对；
对于B选项，，
因为，则，即，
所以，，即，B对；
对于CD选项，，
因为，则，即，
所以，，即，C对D错.
故选：ABC.
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】构造函数，其中，则，
∵对于任意的满足，
∴ 当时，，则函数在上单调递增，
又函数是偶函数，，∴，
∴在上为偶函数，
∴函数在上单调递减．
∵，则，即，即，化简得，A正确；
同理可知，即，即，化简得，B正确；
，且即，即，化简得，C错误；
，且，即，即，化简得，D正确．
故选：ABD.
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，则，
当时，，
即在上单调递减，而，
所以，
故是偶函数，所以在上单调递增，
因为，
所以，
即．
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，，
∴当时，∴单调递增，当时，，∴单调递减.
对于A：，即.故A错误；
对于B：，又，
∴，故B正确；
对于C：，又，
∴，故C错误；
对于D：，又，∴，故D错误.
故选:B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
故选：B
例题4．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．
【答案】
【详解】令，则在上恒成立，
所以在上单调递减.
又，即，
又，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，
可得
因为当x≥0时, ，
所以在上递增，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以的图像关于对称，如图，
所以在R上递增，
又因为，所以，
则等价于，
所以，即的解集是，
故选：C.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以在上单调递增，
,
等价于,
即，
即，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
4．（2023·高二课时练习）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】解：令，
因为是定义在上的偶函数，则，
所以，
所以为奇函数，
因为当时，，
则，
所以在上单调递增，
由奇函数的性质可得在上单调递增，
又，所以，所以，
不等式等价于，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8