第07讲利用导数研究双变量问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30300" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc30300 \h 2
\l "_Tc14596" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14596 \h 2
\l "_Tc10503" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10503 \h 5
\l "_Tc13817" 高频考点一：分离双参，构造函数 PAGEREF _Tc13817 \h 5
\l "_Tc10596" 高频考点二：糅合双参（比值糅合） PAGEREF _Tc10596 \h 11
\l "_Tc11472" 高频考点三：糅合双参（差值糅合） PAGEREF _Tc11472 \h 18
\l "_Tc17457" 高频考点四：变更主元法 PAGEREF _Tc17457 \h 20
\l "_Tc10515" 高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 PAGEREF _Tc10515 \h 23
\l "_Tc2443" 高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 PAGEREF _Tc2443 \h 29
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第一部分：知识点必背
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．
例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．
(1)求实数m的值；
(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
高频考点五：利用根与系数的关系转单变量
典型例题
例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
练透核心考点
1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,当时，满足，求证：．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）有两个不同的零点，（为自然对数的底数）请证明：.