第10讲第二章函数与基本初等函数章节总结（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第10讲 第二章 函数与基本初等函数章节总结 (精讲）
目录
第一部分：典型例题讲解 3
题型一：函数的定义域 3
角度1：具体函数的定义域 3
角度2：抽象函数的定义域 4
角度3：已知定义域求参数 5
题型二：函数的值域 6
角度1：单调性法求值域 6
角度2：分离常数法 8
角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值 9
角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题） 11
角度5：利用基本不等式求值域（最值） 12
题型三：求函数的解析式 14
题型四：分段函数问题 16
角度1：分段函数求值 16
角度2：分段函数的值域或最值 17
角度3：分段函数的单调性与参数 20
题型五：函数的单调性 22
角度1：根据函数的单调性求参数 22
角度2：根据单调性解不等式 25
角度3：比较大小 27
角度4：复合函数单调性 28
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用 30
角度1：利用函数的奇偶性求参数 30
角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 31
角度3：构造奇偶函数求值 33
角度4：奇偶性与周期性综合问题 35
角度5：单调性与奇偶性综合问题 37
角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题 40
角度7：利用周期性求值 44
题型七：不等式中的恒成立问题 45
题型八：不等式中的能成立问题 48
题型九：函数的图象 50
角度1：利用函数解析式选择图象 50
角度2：利用动点研究函数图象 53
角度3：利用函数图象解决不等式问题 58
角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题 61
角度5：指对函数图象相结合 64
题型十：指数函数，对数函数，幂函数 67
角度1：定义域问题 67
角度2：值域问题 69
角度3：过定点问题 71
角度4：单调性问题 73
角度5：指对幂综合问题 76
题型十一：函数中的零点问题 80
角度1：零点个数问题 80
角度2：零点所在区间问题 83
角度3：零点中的参数问题 85
角度4：零点的代数和（积）问题 88
题型十二：函数模型的应用 92
第二部分：新定义（文化）问题 98
第三部分：高考新题型 101
角度1：开放性试题 101
角度2：劣够性试题 103
第四部分：数学思想方法 106
角度1：函数与方程思想 106
角度2：分类讨论思想 108
角度3：数形结合思想 112
角度4：转化与化归思想 114
角度5：极限思想 117



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第一部分：典型例题讲解
题型一：函数的定义域
角度1：具体函数的定义域
1．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）设全集U＝R，若集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由集合的意义，可得M为函数的值域，
令 ，
由二次函数的性质可得 ，易得 ，
进而可得0≤≤2；
在中，有1≤y≤4；
即M＝{y|1≤y≤4}，则或y＞4}；
集合N为函数的定义域，则，
解可得 ，
即 ；
则 ；
故选：D．
2．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数的定义域是_____________．
【答案】
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数的定义域为______；
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数的定义域
1．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（    ）
A．[0，2022] B．
C．（1，2024] D．
【答案】D
【详解】因的定义域是[1，2023]，
则由可得：，
则定义域为：.
故选：D
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）设函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】要使有意义，
只需，即，
解得或，
则函数的定义域为.
故选：B.
角度3：已知定义域求参数
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【详解】因函数的定义域为，于是得，不等式成立，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
综上得：，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.
故选：ABC
2．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【详解】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
4．（2023·高三课时练习）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，求实数a的取值范围．
【答案】．
【详解】由，解得，所以．
由，得．因为函数的定义域为非空集合，所以，则．
根据题意，或，即实数a的取值范围为．
题型二：函数的值域
角度1：单调性法求值域
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数且的图象过点，若当时，的值域中正整数的个数超过2023个，则的最小值为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】依题意，；
易知在上单调递增，
当时，，此时正整数的个数是1027，
当时，，此时正整数的个数是2051，
故的最小值为11，
故选：C.
2．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）函数，若时，函数值均小于0，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】 ，
当 时， ， 是减函数， ；
当 时， ，不符合题意；
故答案为： .
3．（2023·高三课时练习）设，，求的最小值．
【答案】
【详解】令，则，于是,
当时,在上单调递增，
因此，即．
当时，在上单调递增，
因此，即．
当时，,
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增,
①当，即时，在上单调递增，
因此，即．
②当，即时，根据的单调性得，
即，
综上所述，.
角度2：分离常数法
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【详解】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
3．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的值域为________.
【答案】
【详解】因为函数，
又因为，所以，则，
所以，则有，
所以函数的值域为，
故答案为：.
角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值
1．（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）函数，的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：令，，则在上单调递增，
又，，所以，
又在上单调递增，
所以，即.
故选：A
2．（2022秋·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）函数时，的值域为__________．
【答案】
【详解】，令，则，，因为在上单调递减，上单调递增，，，所以的值域为，即的值域为.
故答案为：.
3．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知指数函数经过点.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数，的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意（负根舍去），
，
在上递增，在区间上递减，在区间上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是.
（2），
.
4．（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知函数．
(1)求的定义域;
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
所以,解得,
所以的定义域为．
（2）因为
,
由(1)知的定义域为,
所以,,，
因为是增函数，所以，
故的值域为．
5．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）已知函数，则的值域为________﹔函数图象的对称中心为_________.
【答案】         
【详解】因为，则，所以，，
所以，函数的值域为，
因为，则，
因此，函数图象的对称中心为.
故答案为：；.
角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题）
1．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期中）已知函数，
(1)当时，解不等式；
(2)若时，求函数的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）当时，即为，解得：，
故不等式解集为；
（2）因为的图像开口向下且对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
故，；
②当时，即时，根据函数图像得：在上
；
③当时，即时，根据函数图像得：在上
；
④当时，即时，在上单调递增，
.
综上，，
2．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知二次函数满足，且
(1)求函数的解析式.
(2)当时，求函数的最大值（用表示）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，所以，，
即，
所以，解得 ，所以.
（2），开口向下，在上单调递增，在 单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上所述：

角度5：利用基本不等式求值域（最值）
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）命题：，使得成立.若是假命题，则实数取值范围是（    ）
A． B． C．D．
【答案】A
【详解】因为命题：，使得成立，
所以命题的否定为：，成立，
而是假命题，故命题的否定为真命题.
所以在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即.
故选：A
2．（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（    ）
A．23 B．26 C．22 D．25
【答案】D
【详解】由题意得，，，
故，
当且仅当，结合，即时取等号，
故的最小值是25，
故选：D
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】6
【详解】因为，，
所以，

令，
则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6
4．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）求函数的值域．
【答案】
【详解】，
若，则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
若，则，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的值域为．
题型三：求函数的解析式
1．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）设是定义域为R的单调函数，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
因为是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即，
所以，解得，
所以，
故.
故选：B
2．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知函数满足，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】分别令，，则，解得.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
所以由解得，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
题型四：分段函数问题
角度1：分段函数求值
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知，当时，，
所以，
因为，
故选:C.
2．（2023秋·福建三明·高一统考期末）若函数为奇函数，则（    ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【详解】函数为奇函数，设，则，∴，
∴，.
故选：C.
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数，则______．
【答案】
【详解】因为，
故，
故答案为：
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.
【答案】
【详解】，

．
故答案为：．
角度2：分段函数的值域或最值
1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数，则的最小值是（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值为，
当时，函数在上单调递增，
所以，
综上，当时，函数有最小值为1.
故选：C
2．（2023秋·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）已知，设，则函数的最小值是（    ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】由，即，解得或；
由，即，解得.
由题意，
则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是．
故选：A．
3．（2023秋·上海松江·高一校考期末）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】因为，
当时函数单调递减且，
由是函数的最大值，
所以的最大值为，
当时，
可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则，不符题意；
若，，则，即，
综上可得的范围是．
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）若函数的表达式为，则函数的值域是______．
【答案】
【详解】当时，，当时，，
所以函数的定义域是.
故答案为：
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
6．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________.
【答案】     ；     .
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故的值域是；
若的值域是，
因为时，，

因为时，，故需满足 ，
又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，
故答案为：;.
角度3：分段函数的单调性与参数
1．（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：是R上的减函数，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数满足对任意，都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
4．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】BC
【详解】因为在上单调递增，
所以，解得，
则BC符合取值范围.
故选：BC.
5．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
6．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为函数在上严格增，
所以，解得，即实数的取值范围是，
故答案为：
题型五：函数的单调性
角度1：根据函数的单调性求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
2．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围为___________．
【答案】
【详解】解：根据题意，二次函数的对称轴为，
函数在上不单调，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：．
3．（2023·高一课时练习）若奇函数在上是严格减函数，则的取值范围是______．（结果用区间表示）
【答案】
【详解】因为是上的奇函数，
所以，即，
所以；
又因为在上是减函数，
所以，解得；
所以.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为在与上单调递减，
而在上单调递增，
所以，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
【答案】          2
【详解】注意到是减函数，
∴在上单调递减，
而的递减区间是，
∴，.
∵的最大值为2，
∴的最小值为，
即，，
令，，，
∴在处取得最小值2.
故答案为：，2
角度2：根据单调性解不等式
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的图象关于y轴对称，为偶函数，，
∴不等式可变为，
偶函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（    ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得函数的定义域为，
因为与在均为单调递增函数，
所以在为单调递增函数，
因为，
所以的解集为.
故选：C.
4．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数是定义域为的减函数，因，
故，解得，
故选：C
5．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______.
【答案】
【详解】因为是在定义域上的奇函数，，
所以，
故，
因为是在定义域上的严格减函数，
所以，解得：，
故答案为：
6．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】对于函数，则定义域为，
且，所以是偶函数，
当时，又函数、、在上单调递增，
所以在上单调递增，则在上单调递减.
又，所以不等式，即，
即，即，所以，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：
角度3：比较大小
1．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，，，所以，
故选：B
2．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由指数函数的单调性可知：；
由对数函数的单调性可知：；
由余弦函数的单调性可知：，
故选：.
3．（多选）（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知,则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】解:因为在单调递增,
所以,即,
因为在单调递增,
所以,,
综上:,故选项B错误,选项A、C正确;
因为,且,
即,所以,故选项D正确.
故选:ACD
角度4：复合函数单调性
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是___________
【答案】[3，）
【详解】由题意，，而函数的对称轴为：，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数的增区间为：，又因为函数在上单调递增，所以.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）函数的单调递减区间为________．
【答案】
【详解】因为复合函数是由与复合而得，
而在上单调递减，
所以的单调减区间即为的单调增区间，
因为开口向下，对称轴为，
所以的单调增区间.
则答案为：.
4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：设，则，
因为在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，
所以，解得,
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【详解】在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
角度1：利用函数的奇偶性求参数
1．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）若为奇函数，则实数______.
【答案】
【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数，且函数是偶函数，求实数___________
【答案】4
【详解】因为函数，且函数是偶函数，
所以所以图像关于对称，即，
即恒成立，化简为


当时，，不可能恒成立，舍去；
当时，恒成立，
，解得.
故答案为：4.
角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题知的图象关于点中心对称，所以关于中心对称，因为定义域为，所以为奇函数，
记，当时，，
即，所以在上单调递减，
因为，所以在上为偶函数，
所以在上单调递增，因为，，
是在上为偶函数，且在上单调递增，所以当，单调递减，，而，所以，当，单调递减，，而，所以，因为为奇函数，所以的解集为.
故选：C.
2．（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为定义域为R的奇函数在内单调递减，且, ，
所以在上也是单调递减，且，
所以当 时， ，当时，，
所以由可得 或 或 ,
解得或 ，
所以满足的x的取值范围是，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数是定义在R上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____
【答案】
【详解】解：因为，且是定义在上的偶函数，
则，
∴函数为偶函数，
原不等式可化为，
即，
又因为函数在区间上是增函数，则，解之得：或，
故答案为：
4．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】令，
则易得，
即为偶函数，
当时，有，
即函数在上单调递减，故在上单调递增，
由
得，
即，
由为偶函数得，
又在上单调递增，所以，
故答案为：．
5．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知是偶函数，则________，的最小值为________．
【答案】         
【详解】因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
角度3：构造奇偶函数求值
1．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）设函数的最大值为，最小值为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，.
故选：D.
2．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中），若，则__________.
【答案】4
【详解】令，则，为奇函数，
由，解得，所以.
所以.
故答案为：4.
3．（2023·高一课时练习）已知函数，其中，、、，且，则______．
【答案】
【详解】设，则，
的定义域为，
，所以为奇函数，
所以，，所以，
所以，
故答案为: .
4．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）函数，（a，b为常实数），若，则______．
【答案】3
【详解】令，则，，
因为，所以，
因为，
所以为奇函数，
所以，
所以，
故答案为：3
5．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知关于x的函数在上的最大值为M，最小值N，且，则实数t的值是__________．
【答案】
【详解】解：

又
故令
则，定义域关于原点对称
且
所以为奇函数
（奇函数的性质）

故解得：
故答案为：
角度4：奇偶性与周期性综合问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ）
A． B．4 C．14 D．0
【答案】A
【详解】因为，令，则，
所以，即，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，则，
故的周期是4，
因为当时，，
所以.
故选：A.
2．（2023·河南·统考模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以，又，
所以.
故选：D
3．（多选）（2023·吉林·东北师大附中校考二模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．时，
C． D．
【答案】AC
【详解】因为函数的，所以，则，故函数的周期为，所以，故A正确；
又当时，，则当时，，，故B不正确；
由周期可得，又函数是R上的奇函数，
所以，即，所以，故C正确；
当时，，所以，又因为，所以，，
则，所以，故D不正确.
故选：AC.
4．（2023·山东泰安·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________.
【答案】##0.25
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以；
又，所以，
所以是周期为2的函数，则.
故答案为：.
角度5：单调性与奇偶性综合问题
1．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）定义在R上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设对任意都有，
所以在上递减，又为R上的奇函数，
所以，
故在R上也为奇函数，则在上递减，
又，则，故，
综上，有.
故选：B
2．（多选）（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ）
A．可能是偶函数 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A，当时，符合题意，所以A正确；
对于选项B，由是奇函数，则，
所以①，
是偶函数，同理易知：②，
由②得，联立①式得③，
所以④，
由③④得，即，
所以，选项B错；
对于选项C，由知，当得，
由知，当得，
所以，
所以，
由已知在上单调递增，且，所以，
所以，所以C正确；
对于选项D，由及
得，
所以，
因为，即，所以选项D正确，
故选：ACD．
3．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，
又，则，
两式相加可得，
若对于任意，都有，
可变形为，
令，则函数在上递增，
当时，在上递增，符合题意，
当时，则函数为二次函数，对称轴为，
因为函数在上递增，
所以或，解得或，
综上所述，.
故答案为：.
4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：

根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
5．（2022秋·云南玉溪·高二统考期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】∵是偶函数，
∴，即：
∴关于对称.
∵当时，，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，即：，
∴，即：，解得：或.
故答案为：或.
角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题
1．（辽宁省抚顺市2023届普通高中应届毕业生高考模拟数学试题）定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是（    ）
A．函数为奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．函数的周期
【答案】C
【详解】定义在R上的函数，由得：，即函数为奇函数，A正确；
令，则，
因此函数，即的图象关于直线对称，B正确；
由得：，由得：，
于是，即，所以函数的周期，D正确；
由知，，显然由给定条件的值不确定，又，
因此不确定，D错误.
故选：D
2．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （    ）
A．21 B．22 C． D．
【答案】C
【详解】∵为偶函数且，则，
故关于点对称，
又∵，则，
则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，
∴，
则，
又∵，
则，
故.
故选：C.
3．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设函数定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列四个结论错误个数是（    ）
（1）
（2）为奇函数
（3）在上为减函数
（4）的一个周期为8
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，所以(4)正确；
，所以(1)正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，所以(2)正确；
由时，递增，则时，递增，所以(3)错误．
故选：A．
4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，，且当时，，则下列关于函数的判断中，其中正确的判断是（    ）．
A．函数的最小正周期为4
B．
C．函数在上单调递增
D．不等式的解集为．
【答案】ABD
【详解】由得，于是，
所以函数的最小正周期为4，A正确；
，B正确；
在上递增，由是奇函数得在上递增，即在上递增，
又图象关于直线对称（∵），因此在上递减，
而是周期为4的周期函数，因此在上递增，C错误；
由选项C的讨论，可得到不等式的解集为，D正确．
故选：ABD．
5．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.
【答案】##0.5
【详解】由题意，，
在中，是奇函数，是偶函数，
∴，，，
∴，
∴，则，
∴，即，
∴函数是以4为周期的周期函数，，
∴，，，
∴.故答案为：.
6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关于直线对称；④函数在处取得最小值，其中判断正确的序号是______________．
【答案】①④
【详解】由得，
又是偶函数，所以，所以，
则，，
所以是以4为周期的周期函数，
令得解得，
所以，①正确；
由可得的图象关于点对称，③错误；
又为偶函数，可知的图象关于点对称，
因为在区间上单调递增，所以在上单调递增，
由偶函数的对称性得在上单调递减，②错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在处取得最小值，
又是以4为周期的周期函数，所以在处取得最小值，④正确；
故答案为：①④
角度7：利用周期性求值
1．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）设是定义域为的奇函数，且，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以由，
函数该函数的周期为，
，
故选：B
2．（多选）（2023秋·浙江·高一期末）定义在R上的函数，满足，且为偶函数，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A项：因为为偶函数，所以，故A正确；
B项：由，消去得，故B不正确；
C项：将代入①式得，即③，
由，消去得，故C正确；
D项：由，消去得，即，故的周期为4；
将代入①：；
将代入②：，
由关于中心对称，且；
将代入：，
故有，故D错误．
故选：AC.
3．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中学校考开学考试）已知函数的定义域为，对任意的恒成立，若，则__________
【答案】##0.5
【详解】已知，令，
则，
即.
因为，即，
所以，即函数的周期为6.
令，，又，则，
令，
，同理，，，，
.
故答案为：.
4．（2023秋·江苏南京·高一统考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若，则___________.
【答案】1
【详解】由可得的函数周期为4，则，
由，则，解得.
故答案为：1.
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【详解】因为对任意的，当时，都有，
所以在上单调递增，
又不等式恒成立，即，解得，
所以符合题意的有A、B、C.
故选：ABC
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为__________．
【答案】##
【详解】为偶函数，为奇函数，，即
又，解得，
时，等价于，
化简得，，
令，则，在上单调递增，
当时，
则实数的最大值为
故答案为：
4．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，
当时，显然成立，故符合，
当时，即，
综上：；
（2）令，由于，则，则问题转化成：恒成立，即，两边平方整理得，进一步得，
当时，即，此时的解为，此时，不等式，故不符合，
当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，
当时，即,此时的解为，
故的解为或，故要对，恒成立，则满足，解得，
综上，.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】
【详解】因为函数，，
而函数在为减函数，在为增函数，所以，
即函数的最小值为, 又，使得成立，则，
即，解得：或，
即实数的取值范围是或，
故答案为：
2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知函数，，，有，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】，有等价于当，时，.
∵时，则，且在定义域内为增函数，
则，
所以函数在上的最小值，
又∵的图象开口向上且对称轴为，
则在上的最小值，
∴，解得.
故答案为：.
3．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】因为，又函数在上单调递减，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以当时，，
因为对于任意，存在，使得，
又，
所以，解得：，
故答案为：.
4．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知，，若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】若对，总存在，使得成立，则，
当时，令，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，
故当时，，即对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，故.
故答案为：.
题型九：函数的图象
角度1：利用函数解析式选择图象
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（    ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意可得，
又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合．
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）函数的大致图象是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：易知函数的定义域为，
因为，
所以函数为非奇非偶函数，排除A；
易知当时，，故排除C；
因为，，所以，所以排除D．
故选：B．
3．（2023·云南昆明·统考一模）函数在区间上的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，
∵，
故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵，且，
故，C错误；
故选：A.
4．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）若函数，则函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除BD，
当时，，，所以，
故排除A，而C满足题意
故选：C.
5．（2021春·陕西延安·高二子长市中学校考期末）函数的部分图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，定义域为R，
，函数为偶函数，排除CD；
由，，则，排除B.
故选：A
角度2：利用动点研究函数图象
1．（2022秋·北京房山·高一统考期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由A沿线段向B移动，过点E作的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以当时，设直线与交点为，当点在中点左侧时，，，此时函数为下凸函数；当点在中点右侧时，，此时左侧部分面积为：，此时函数为上凸函数，C项符合.

故选：C
2．（2021秋·湖北武汉·高一武汉市第四十九中学校考期中）直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知：当时，，
当时，；
所以．
结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．
3．（2021秋·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考期中）一质点从正方形的一个顶点出发，沿着正方形的边顺时针运动一周后回到点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则质点到点的距离随时间变化的大致图象为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
如图，当该质点运动到AB段的G点时，，长度逐渐增大，变化图象为一条上升的线段；
当该质点运动到BC段的E点时，，不变，逐渐增大，变化图象为一段上升的曲线；
当该质点运动到CD段的F点时，，不变，逐渐减小，变化图象为一段下降的曲线；
当该质点运动到AD段的H点时，，长度逐渐减小，变化图象为一段下降的线段.
综上可知，只有D选项满足情况.
故选：D.
4．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动.

设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示

在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，
则MA1+MD＝MA′+MD，
由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的，
所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D；
因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确；
故选：C
5．（多选）（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是　　

A．函数在，上有两个零点
B．函数是偶函数
C．函数在，上单调递增
D．对任意的，都有
【答案】AB
【详解】解：当，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
作出函数的图象如图，
函数值域为，，则函数与直线的图象在，上有2个交点，故正确；
函数为偶函数，故正确；
由图可知，函数在，上单调递减，故错误；
由图，当时，，，此时，故错误
故选：．

角度3：利用函数图象解决不等式问题
1．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：

由图象知，只需，
解得，又，所以，
故选：A
2．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：函数，满足，则关于直线对称，
所以，即，
又在上递增，所以在上递减，
则可得函数的大致图象，如下图：

所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
3．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，
画出两函数图象，如下：

故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：

两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
5．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知集合，且关于x的不等式至少有一个负数解}，则集合A中的元素之和等于___________
【答案】
【详解】作出函数和的大致图象，

由图象可知，当的左边射线过点时，，
当的右边射线与的图象相切时，
由，即，可得，即，
∴满足题意的取值范围是，其中整数有，它们的和为，
即集合A中的元素之和等于．
故答案为：．
角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题
1．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】问题转化为方程：有三个大于0的根，
即等价于与在上有三个交点，如图所示，

显然，当时，不符合题意.
当时，
只需满足且方程：有两根，
则有，
令，函数开口向上，对称轴，要使函数两零点均大于，则有，解得，满足两根均大于，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据，可得图象如下：

因为有四个实数根，，，且，
由图知时，有四个实数根，且，
又，，
则，即，
所以，所以，且，
由在上单增，，
可知,
则的取值范围是为.
故选：A
3．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______.
【答案】
【详解】由得：；
当时，，则，解得：,∵，，满足题意；
当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；
当时，,结合图象可得：，解得：，则；
综上所述：原命题成立的充要条件为，
故答案为：-1
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】设，则函数的图象如图所示：

其中，
若关于的方程有四个实数解，函数与直线的交点有4个交点，
由图可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
角度5：指对函数图象相结合
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）若正数x，y，z满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示

易得，即,
故选：D
2．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.
故选：C.
3．（2022春·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.
①若,，在定义域内单调递减，，令时，
如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.
如图D，解得，无意义，故D错.
②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合
故选:B
4．（2022·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）已知，且，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，.
依次作出，，，在上的图像，
如图所示.由图像可知，，，所以.
故选：C.

5．（多选）（2022·高一单元测试）在同一直角坐标系中，函数与且a≠1)的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有（    ）

A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由图象可知，则.
故选：BC.
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
角度1：定义域问题
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）函数定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，所以函数定义域为.
故选 ：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
3．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）函数的定义域为___．
【答案】且
【详解】要使函数函数有意义，
需满足，解得且，
故函数的定义域为且，
故答案为：且
4．（2023·高一课时练习）若要使有意义，则取值范围是_______.
【答案】
【详解】∵，
要使有意义，则，即，
∴.
故答案为：.
5．（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．
【答案】
【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．
故答案为：
6．（2023春·北京·高一校考开学考试）函数的定义域为__________；值域为__________．
【答案】         
【详解】由题，即，解得函数定义域，值域为．
角度2：值域问题
1．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
2．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，，，，
当
当.
故选:D
3．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】．故的值域为．
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【详解】，
故，即，解得：或，
故值域为
故答案为：
5．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.
【答案】
【详解】因为，对于函数，则有，
所以，.
故答案为：.
6．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数与互为反函数，记函数.
(1)若，求x的取值范围；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为6
【详解】（1）因为与互为反函数，则，
故.
不等式，即为，
即，解得，故，
所以x的取值范围是.
（2）令，则，
函数等价转化为，
则，
所以当时，取得最大值，
故当时，函数的最大值为6.
角度3：过定点问题
1．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）不论取何值，函数且且的图象都必经过同一个定点，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】函数恒过定点，函数恒过定点，由条件可知，
，.
故选：D
2．（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）已知函数（且)恒过点，点在幂函数的图象上，则的值为（    ）
A．8 B．9 C．27 D．64
【答案】C
【详解】，令，得
，的图象恒过点
点在幂函数的图象上，则，
，.
故选：C．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（    ）
A．9 B．24 C．4 D．6
【答案】C
【详解】因为函数图象恒过定点
又点A的坐标满足关于的方程，
所以，即
所以
，当且仅当即时取等号；
所以的最小值为4．
故选：C．
4．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则__________.
【答案】
【详解】令，解得，，
所以函数，且的图象恒过定点，
因为点在函数的图象上，
所以，解得.
故答案为：.
5．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象必经过定点______．
【答案】
【详解】设，则由已知，得，
，
，
令，得，
则
所以函数的图象必经过定点.
故答案为：.
6．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
7．（2023·高一课时练习）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【详解】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
角度4：单调性问题
1．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由在定义域内单调递减，可得，即；
由在定义域内单调递减，可得，即；
由，则；
∴.
故选：B．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为对任意，都有成立，
所以函数在定义域内单调递增，
因为，所以，
解得，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于，有，
当时，对数函数在上为减函数，
所以，可得，
当时，对数函数在上为增函数，
所以，可得；
所以对于，有或；
对于，有，
因为在上为减函数，所以；
对于，有，
因为在上为增函数，所以；
综上：或，即.
故选：A.
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）函数的单调递增区间为_______.
【答案】
【详解】因为，
所以，则或，
所以的定义域为或，
又因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调递减，
所以由复合函数的的单调性可知函数的单调递增区间为.
故答案为：.
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，若在上单调递减，则实数的取值范围是___．
【答案】
【详解】由题意可知，对任意的，，则.
因为函数在上单调递增，且当时，，
所以.
当时，在上为减函数，函数为增函数，
所以与在上均为减函数，
所以在上是减函数，符合题意；
当时且时，，不符合题意；
当时，在上为增函数，函数为增函数，
所以与在上均为增函数，
所以在上是增函数，不符合题意.
综上所述，若在上单调递减，则实数的取值范围是.
故答案为:.
6．（2022秋·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知幂函数，在上单调递增，
(1)求；
(2)当满足时，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，即，解得或.
又因为在上单调递增，所以.
（2）由（1）知，，所以的解析式为，
由幂函数的性质知，在上单调递增，且，
所以，解得.
所以实数的范围为.
角度5：指对幂综合问题
1．（2023·全国·模拟预测）设函数，则满足的整数的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由，得或，易得当时，，当时，，
作出函数的大致图象如图所示.

故或，即或，
结合图象，通过估算得整数解为－1，0，1，2，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，在区间上单调递增；
当时，，
易知在区间上单调递增；
又∵，∴在上单调递增.
，，∴，
∴不等式等价于，
∵在上单调递增，∴，，
∴，，
当，即时，的最大值为，∴，
即的取值范围是.
故选：C.
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令，则，故为偶函数.
当时，函数为偶函数，且其图象过点，显然四个选项都不满足.
当为偶数且时，易知函数为偶函数，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，则选项，符合；
若为正偶数，因为，
则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递减，选项符合；若为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项.
当为奇数时，易知函数为奇函数，
所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项符合，
若为正奇数，因为，
则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，选项符合；
若为负奇数，函数的定义域为，
不妨取，则，当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以趋向于正无穷；
所以内先减后增，故选项符合.
故选：.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，
所以解得，
此时，
函数为奇函数，满足题意，
所以，
因为在R上单调递增，所以在R上单调递减，
所以在R上单调递增，
所以由可得，
即，
所以即在恒成立，
令，即，
当时，，
不等式可化为，
令，单调递减，所以，
所以；
当时，，
不等式显然成立；
当时，，
不等式可化为，
令，单调递减，
所以，所以；
综上，,
故答案为: .
5．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知函数（，且）的定义域和值域都是．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，函数在上单调递减，所以，无解；
当时，函数在上单调递增，所以，解得或（舍）；
综上，;
（2）由（1）得，，则函数在上单调递增，
又，则，解得，
所以不等式得解集为.
题型十一：函数中的零点问题
角度1：零点个数问题
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
2．（2023春·山西·高一统考阶段练习）已知函数，则方程的实数解的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当时，由，解得；
当时，由，得或，解得或．
故方程的实数解的个数为3．
故选：B
3．（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数为（　　）
A．2个 B．1个 C．0个 D．与的取值有关
【答案】A
【详解】∵，
①当，即时，，∴，解得：.
②当，即时，，∴，解得：，
∴，
当时，，只有三个零点，不合题意，
∴且，
∴关于x的方程中，
由时，方程为一元二次方程，，
方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
4．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】D
【详解】取，，则，此时，
即函数的零点是，，有无数个.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】时，，解得
时，，，，无解.
由，则有，
时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，

时，，无解.
故选：.
6．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数的零点个数为___________.
【答案】
【详解】当时，由，得，
当时，由，得，
则时，函数零点的个数，
即为函数图象交点的个数，
如图，作出函数的图象，

由图可知，两函数的图象有个交点，
即当时，函数有个零点，
综上所述，函数有个零点.
故答案为：.
角度2：零点所在区间问题
1．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）函数的一个零点所在的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，易知函数在上单调递增.
，
，
由零点存在性定理可知，函数的一个零点所在的一个区间是.
故选：C
2．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）函数的零点所在的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】计算得到，
,.
则，，.
根据零点存在性定理，函数零点所在的一个区间为.
故选：D
3．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）函数的零点所在区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
，
当时，，
，
，
因为，所以，
，
所以，所以的零点所在区间为.
故选：C．
4．（2023秋·山东临沂·高一校考期末），表示不超过的最大整数，例如，，.设为函数的零点，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由函数的单调性的性质可知该函数是正实数集上的增函数，
而，
所以函数存在唯一零点，即，
所以，
故选：A
5．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数的零点为，且，则__________.
【答案】2
【详解】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数的零点所在的区间是，
所以．
故答案为：2
角度3：零点中的参数问题
1．（2023·高一课时练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据，可画出其图象为下图所示，
若关于的方程有8个不相等的实根，令，则有两个不相等的实数根，且，若 则不符合，所以，
令，则需要满足 ，解得，
故选：D

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，，则其关于轴对称的图象所对应的函数解析式为.
由题意知当时，与的图象至少有两个公共点，
即方程在区间,内至少有两个实根.
令，
在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图：

由图可知，若直线与曲线至少有两个公共点，则.
故实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令可得，
当时，，
当时，的图象与关于轴对称，
所以作出函数与函数的图象如下图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点.
因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.
故选：D
5．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数的零点为，且，则__________.
【答案】2
【详解】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数的零点所在的区间是，
所以．
故答案为：2
6．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【详解】因为函数的两个零点都在内，
所以即
解得，所以的取值范围为
故答案为:
角度4：零点的代数和（积）问题
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ）
A．4 B． C． D．8
【答案】BD
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当时，即对应一个交点为，
方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为，
综上，4个实数根之和为或.

故选：BD.
3．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程在上恰有2个实数根，且，则的最小值为________．
【答案】##
【详解】当时，，
则，
当时，，
，
则函数在的图象，如下图所示：

由图可知，
设，，其中，，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
即的最小值为.
故答案为：
4．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数若存在，满足，且，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】作出函数的图象，如图所示，

因为，所以，由图象可知，，， ，
所以由得 所以
又的图象关于直线对称，则，
所以，
由于在上单调递增，故，所以的取值范围为.
故答案为：
5．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，若，求的取值范围.
【答案】
【详解】当时，即当时，；
当时，即当时，.
，作出函数的图象如下图所示：

因为，则、为方程的两个不等的实根，
即、为方程的两个不等的实根，所以，，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由，可得，
，解得，所以，.
因此，的取值范围是.
题型十二：函数模型的应用
1．（2023秋·上海金山·高一统考期末）某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．

(1)求当时，函数的表达式；
(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
【详解】（1）当时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，
可设，
代入点可得，解得，
故当时，.
（2）由（1）可得：，
当时，令，解得；
当时，令，解得；
综上所述：当时，空气属于污染状态.
2．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区､绩溪县的龙川景区､旌德县的江村景区､宁国市的青龙湾景区､广德市的太极洞景区､郎溪县的观天下景区､泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元.
(1)求2023年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润收入成本）；
(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元

【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入万元，共万元收入，
则利润
化简得；
（2）当时，此时单调递增，
，
当时，二次函数开口向下，对称轴为，
则，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
，
综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元.
3．（2023春·全国·高一校联考开学考试）某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）．










(1)给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由．
(2)该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？
注：收益收入成本．
【答案】(1)选择且较好，理由见解析
(2)
【详解】（1）若选择函数且，
将代入函数得：，解得：，；
当时，；当时，；
可知当或时，与实际数据差距较大；
若选择函数且，
将代入函数得：，解得：，；
当时，；当时，；
可知当或时，与实际数据比较接近；
综上所述：选择且较好.
（2）设该公司这天的仓库收益为元，
由表格数据可知：若货物存放天，每个仓库收费元，
，
由得：，的最小值为.
4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
5．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t
7
9
10
11
13
种植成本Q
19
11
10
11
19
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：
①，
②，
③，
④．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．
【答案】(1)选择，理由见解析，
(2)20
【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，
因为，，都是单调函数，所以不符合题意，
因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，
由表格数据可得，解得，
所以，经检验其他几组数据也满足表达式
（2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上，
，所以，
所以实数m的最大值为20
6．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）某公司近五年的年利润（单位：千万元）列表如下：
年份
1
2
3
4
5
年利润（千万元）
1.08
1.50
2.25
3.52
4.96
为了描述从第1年开始年利润y随年份x的变化关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.（以上各式均有，）
(1)请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第2年和第3年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第五年的公司利润，并说明哪个模型更好；
(2)利用（1）中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过10亿元？
（参考数据，）
【答案】(1)答案见解析
(2)预计第13年该公司的利润会超过10亿元
【详解】（1）去掉模型①，理由：函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数.
若用模型②，则  ∴，
∴；
若用模型③，则  ∴，
∴.
当时，利用模型②得，利用模型③得
，，
所以模型③更好.
（2）利用模型③得：
两边取对数得
∴
所以预计第13年该公司的利润会超过10亿元.
第二部分：新定义（文化）问题
1．（2023秋·北京大兴·高三校考阶段练习）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：根据题意可得，，
两式相比得，即，
所以.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（       ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【详解】由题设，，解得，则，
∴，要使声强级降低，则，
∴.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．
【答案】
【详解】∵，，
∴令，则
故函数的值域为，
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：

5．（2022秋·广东中山·高一统考期末）中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
(1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A．5    B．7    C．10
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)；
(2)大约冷却分钟，理由见解析.
（1）依题意，，，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，

若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，

所以.
（2）结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
第三部分：高考新题型
角度1：开放性试题
1．（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：___________.
①是偶函数；②在上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
因为
所以是偶函数，满足①；
任取，且
则，
即
所以在上单调递减，满足②；
故答案为：（答案不唯一）.
2．（2023·陕西商洛·统考一模）请写出一个同时满足以下三个条件的函数：___________.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是2.
【答案】（答案不唯一）
【详解】由为偶函数，在上单调递增，最小值为，满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
3．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）若为奇函数，则的表达式可以为______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，要使有意义，只需，解得，
因为，
所以是奇函数，
因为为奇函数，则根据奇偶函数的性质可得可以是偶函数，
故可取，
故答案为：（答案不唯一）
4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．
①；②在R上为增函数．
【答案】（答案不唯一）
【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递增，
所以满足条件的一个函数.
故答案为：（答案不唯一）
5．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数_____________．
①对，有；
②当时，恒成立．
【答案】(答案不唯一)
【详解】解：因为由满足的两个条件可以联想到对数函数，
当时，
对，,满足条件①；
当时，，满足条件②.
故答案为：(答案不唯一)
角度2：劣够性试题
1．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）① ；②为偶函数；③的图象经过的图象所在的定点．从这三个条件中选一个补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数，，且____．
(1)求的解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选择条件见解析，
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【详解】（1）选①：由，得，解得；
选②：为偶函数，
，即，即，对任意恒成立，所以；
选③，由于的图象所在的定点为，故，解得．
综上，，此时．
（2）在区间上单调递增．理由如下：
任取、，当时，．
由于，所以，，
所以，故，
所以在区间上单调递增．
2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知函数______．（①；②；请在给出的两个函数中选择其中的一个作为已知条件，将序号填写在横线上，解答下列问题．）
说明：只能选择其中1个函数对三个问题分别作答，比如已选择了第1个函数解答第（1）问，后面的问题若对第2个函数解答则视为无效，不计分．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在其定义域上的单调性；
(3)解关于m的不等式．
【答案】(1)函数为奇函数
(2)函数在其定义域上为增函数，证明见解析
(3)若选①，解集为；若选②，解集为
【详解】（1）若选①，则，其定义域为，，
所以为奇函数.
若选②，则，由，得，则其定义域为，
，所以为奇函数.
（2）若选①，则，其定义域为，函数在上为增函数，
证明如下：
任设，则
，
因为，所以，，又，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
若选②，则，由，得，则其定义域为，函数在上为增函数，
证明如下：
任设，
则，
因为，所以，，
，，，，即，
所以函数在上为增函数.
（3）若选①，则由（1）和（2）知，函数在上为增函数且为奇函数，
由，得，
得，得，
所以不等式的解集为.
若选②，则由（1）和（2）知，函数在上为增函数且为奇函数，
由由，得，
得，解得，
所以不等式的解集为
3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）已知_________，且函数．①函数在定义域为上为偶函数；②函数在区间上的最大值为2．在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出b的值，并解答本题．
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的，总存在，使得成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）解：当选①时：因为在定义域为上为偶函数，
所以，所以，
所以，所以对，都有，
故，即，所以是奇函数．
当选②时：因为，∴单调递增，
所以，解得，
所以，
所以对，都有，
故，即,所以是奇函数；
（2）由（1）知当，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，即时，，
因为是奇函数，所以即时，，
综上：，
记值域为集合A，所以，
因为，记值域为集合B，
所以，
因为，使得成立，
所以，
得，所以.
第四部分：数学思想方法
角度1：函数与方程思想
1．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点，
若有三个零点，则时，函数有两个零点；
当时，，故；
当时，要使有两个零点，
则，
所以，又，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
2．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，
作出函数的图象如图所示，

则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．
故选：C．
4．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.

角度2：分类讨论思想
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若不等式恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)m最大值为1
(2)
（1）∵，∴，
∴，则原不等式恒成立等价于：
恒成立，由绝对值不等式可得：
，
∴，∴，
∴实数m的最大值为1；
（2）由题意可得，
当时，恒成立，故没有零点，不符合题意；
当时，，解得：，即原函数有零点，
综上所述，实数的取值范围为
2．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【详解】（1）设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：

因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：

由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
3．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，其中．
(1)当时，求的零点；
(2)当为偶函数时，
①求的值；
②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或.
【详解】（1）解：当时，
因为函数在上单调递增，且，
外层函数为上的增函数，故函数在上单调递增，
又因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增，
因为，所以，函数的零点为.
（2）解：当为偶函数时，，
①，
因为，即，
所以，对恒成立，则，解得；
②因为函数与的图象有且只有一个公共点，
所以，只有一解，即只有一解，   
所以，只有一解，
令， 则关于的方程只有个正数解，      
（Ⅰ）当时，，不合题意；
（Ⅱ）当时，，设方程两根为、，
则，所以，方程有一正一负根，负根舍去，符合题意；
（Ⅲ）当时，因为当时，，
故只需，解得.
综上：实数的取值范围为或.
角度3：数形结合思想
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】由，
则可作出函数的图象如下：

由方程，得或，
所以方程的实根个数为3．
故选：A．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BCD
【详解】函数的图象，如图所示：

由题意知，直线与的图象有2个交点．
当直线过点时，，
当直线过点时，．
结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，
如图所示：

又当直线与曲线相切在第一象限时，
直线与的图象也有2个交点，如图所示：

，化简可得，由，得，
又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是.
故选：BCD．
3．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】作出函数的图像如下图所示：

设，由图像可知，
则，解得，
由可得，即，可得.
.
故答案为：.
角度4：转化与化归思想
1．（2023·高一课时练习）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵的定义域为且是奇函数，  
∴，即，解得，
此时，则，符合题意．
（2）解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，
因为 在单调递增，
所以 ，
即 ，
故，解得，
所以的取值范围是．
2．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考开学考试）已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．
(1)试确定函数的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为函数的图象经过点和，
可得，结合，且，解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：要使在区间上恒成立，
只需保证函数在区间上的最小值不小于即可，
因为函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以只需即可，即实数的取值范围为．
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：由题意，函数满足：对任意都有成立
令，则，所以．
（2）
解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
因为，所以
所以函数为奇函数.
（3）
解：因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为是上的单调递增函数，所以，即，
即对恒成立，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，即实数的取值范围是.
角度5：极限思想
1．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则函数图象可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由得函数与的零点相同，所以可排除C选项，
因为当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，趋近于正无穷，
所以当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，排除选项B和D，
故选：A．
2．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，其定义域为关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，
当时，，，，即，故排除D，
故选：B.
3．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数，则其图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AC，
当时，当时，，，
所以，所以排除D，
故选：B
4．（多选）（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.
故选：AB.