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第08讲函数与方程（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）
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这是一份第08讲函数与方程（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考），文件包含第08讲函数与方程高频精讲解析版docx、第08讲函数与方程高频精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28634" 第08讲 函数与方程(精讲） PAGEREF _Tc28634 \h 1
\l "_Tc2859" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc2859 \h 2
\l "_Tc23081" 1、函数的零点 PAGEREF _Tc23081 \h 2
\l "_Tc333" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc333 \h 2
\l "_Tc10936" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10936 \h 6
\l "_Tc94" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc94 \h 6
\l "_Tc15980" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc15980 \h 9
\l "_Tc26931" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc26931 \h 14
\l "_Tc5180" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc5180 \h 20
\l "_Tc17014" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc17014 \h 23
\l "_Tc21875" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc21875 \h 29
\l "_Tc110" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc110 \h 33
\l "_Tc23770" 第四部分：新文化（定义）题 PAGEREF _Tc23770 \h 35
\l "_Tc21485" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc21485 \h 38
\l "_Tc7269" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc7269 \h 38
\l "_Tc472" ②数形结合的思想 PAGEREF _Tc472 \h 40
\l "_Tc32027" ③分类讨论的思想 PAGEREF _Tc32027 \h 43
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第一部分：知识点必背
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数在上单调递增，
因为，，，，
所以，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选：C．
例题3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线，
，，
，，
，
因为，所以函数有零点的区间为，
即方程有实数解的区间是.
故选：B.
例题4．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，且，.
则由零点存在定理得所求零点在区间.
故选：B.
练透核心考点
1．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于在上是增函数，在上是减函数，
因此在上是增函数，
又，，因此函数有唯一零点且在区间上，
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，
∵，
∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，
故.
故选：B.
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在上单调递增，
因为，，，则，
所以函数的零点所在区间是，
故选：.
4．（多选）（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知，，，，
所以，，，
又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点，
即至少有个零点，故D正确；
对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，
所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；
故选：ABD
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
例题2．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】，解得或，
当时，，解得，，解得（舍）；
当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为3个，
故选：A.
例题3．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
例题4．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数的零点个数为___________.
【答案】
【详解】当时，由，得，
当时，由，得，
则时，函数零点的个数，
即为函数图象交点的个数，
如图，作出函数的图象，
由图可知，两函数的图象有个交点，
即当时，函数有个零点，
综上所述，函数有个零点.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由，
则可作出函数的图象如下：
由方程，得或，
所以方程的实根个数为3．
故选：A．
2．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（ ）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【详解】
分别做出函数和函数的图像，如上图所示，
由图像可知，两个函数的交点个数是，
所以函数的零点个数是.
故选:C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】时，，解得
时，，，，无解.
由，则有，
时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，
时，，无解.
故选：.
4．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
【答案】
【详解】解：当时，，解得；
当时，得，
易得，
作出函数，的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点，
所以当时，有两个实数根，
所以，函数的零点个数为
故答案为：
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，方程有两个不同实数根，
等价于函数与的图象有两个不同的交点，
当时，如图所示，
由图可知，当时，函数与的图象有两个不同的交点，满足题意
当时，如图所示
由图可知，当时，函数与的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数的取值范围为．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
例题3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
【答案】
【详解】
，，画出的图像，
化简，，故的必过点，
恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，
直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），
当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，
结合图像可得，或
故答案为：
例题4．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）已知函数（且）是奇函数，且.
(1)求，的值及的定义域；
(2)设函数有零点，求常数的取值范围；
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由，可得 ①
又是奇函数，∴，
即 ②
联立①、②并注意到，解得， ，
所以，要使函数有意义，则有，解得：
∴的定义域为.
（2）∵，，∴，
∴有零点，即关于x的方程有实数解，
∴有实数解，
∵，且，
∴且，
∴k的取值范围是.
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
【答案】BD
【详解】因为函数与函数交于点,
由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，
由题意，函数，函数有两个交点，
若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；
若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，
则或
解得，
结合选项，可得的可能取值为和.
故选：BD.
2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
4．（2023·高三课时练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是________
【答案】
【详解】解：设，
则函数存在零点等价于图像有交点，
如图：
函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，
，
所以的图像有交点时，
故答案为：
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知，且是方程的两实数根，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标，
令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标，
易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以.
故选：C.
例题2．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，.
故选：A.
2．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．m＜a＜n＜bD．a＜m＜b＜n
【答案】B
【详解】因为函数，
令，
a、b为的零点，
函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的，
又m，n是方程的两个根（m＜n），
如图所示：
由图知：a＜m＜n＜b，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】因为零点，等价于与函数图像交点的横坐标，
因为，故可得是周期为的函数；
又因为，当时，，
解得.
不妨在同一直角坐标系中画出两者的图象如下所示：
数形结合可知，有6个交点，
则有6个零点，且每两个零点关于对称，
则每组零点之和为，共有3组，
故可得所有零点之和为.
故选：D.
例题3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
【答案】18
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
例题4．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】作出函数的图象及直线，如图，
观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，，
而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解，
所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是；
如图，三个交点的横坐标分别为，且，
由对称性可知，，
对于函数，当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【详解】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
2．（多选）（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．a的取值范围是B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】因为函数有四个不同的零点，
所以方程有四个不同的解，
即函数与图象有四个不同的交点，如图，
由图可知，，，
且，，
得，解得，
所以，
当且仅当即时等号成立，但，故等号不成立，
所以.
故选：ABC
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．
【答案】
【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，
当时，，函数与在上图象如图所示：
设与图象交点的横坐标分别为，
由对称性可知，，.
由，结合奇偶性得出，即
解得，即.
故答案为：
4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则______．
【答案】
【详解】作出函数的图像如图所示，
由于方程恰有5个不同的实数解，
令，则有两个不等的实数根，且其中一个为，
画出直线，，与函数交于5个点，
其横坐标分别为，，，，，设，
且， 因为函数的图像关于直线对称，
则，所以.
故答案为：
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在上递增，
则函数在上存在零点，
需，
解得.
故选：B.
例题2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）设函数，，若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则
令，即，故
，作出函数的图象如图所示：
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，直线过定点
当直线过点时，，
当直线与曲线相切时，
设切点坐标为，由，故切线的斜率为
所以，解得，则，解得
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，即函数在区间上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是，
故选：C
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
例题4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数的零点为，且，则__________.
【答案】2
【详解】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数的零点所在的区间是，
所以．
故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】方程在上有解，
等价于函数与在有交点，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
3．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
【答案】2
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
4．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：由题意得方程在区间内有解，
即在区间内有解，
即函数的图象与的图象在区间内有交点，
如图，作出函数与在区间上的图象，
把点带入，得，解得，
所以.
故答案为：．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，
由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得
由知，下一步应当确定零点位于区间，
故选：A
例题3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度）可取为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）内，又精确度0.1，
∴方程的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
2．（多选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】选项A：由，可得在上存在零点；
选项B：由，可得在上存在零点；
选项C：，则其零点为，
但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点；
选项D：由，可得在上存在零点.
故选：ABD
3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________.
【答案】
【详解】设，则，，
，；，，
故近似解所在的区间为.
故答案为：
第四部分：新文化（定义）题
1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】，函数在上单调递增，
，
，
若，则，
所以.
故选：B
2．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则，
化简并整理得，
令，则；，
又在单调递增，
∴在内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
5．（2022秋·山东·高一统考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．
①若函数，则的值域为______；
②若函数，则方程所有的解为______．
【答案】
【详解】①，存在，使得，则，因此，所以函数的值域为；
②令，则，，由方程，得，
由解得，，而，于是得或，
当时，，当时，，
所以方程所有的解为.
故答案为：；
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
根据题意，，
所以且，
，
所以且，
对比和可知，结合和只有一个交点，
所以，故，故选项A错误；
分析图像可知，，故选项B错误；
若成立，则有，即有，
即有，故矛盾，所以选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
3．（2020秋·安徽合肥·高三长丰县第一中学校考阶段练习）已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】画出函数的图象如图，
令，
当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，，且，
当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解，
当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个；
当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且，
当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，
当时，方程的根的个数为4个；
综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个．
故选：A
4．（2023·高一课时练习）若正实数是方程的根，则___________．
【答案】
【详解】由题可得：，即，
令，则在上单调递增，
，
∵正实数是方程的根，
∴，即．
②数形结合的思想
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据，可画出其图象为下图所示，
若关于的方程有8个不相等的实根，令，则有两个不相等的实数根，且，若 则不符合，所以，
令，则需要满足 ，解得，
故选：D
3．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则______．
【答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当或时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
当时，方程有四个解，
因为关于x的方程有且仅有5个不同实数根，
所以关于方程的方程其中一个根，
另一个根或，
又因，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】设，则函数的图象如图所示：
其中，
若关于的方程有四个实数解，函数与直线的交点有4个交点，
由图可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
③分类讨论的思想
1．（2023秋·浙江·高一期末）设函数．
(1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递减；
(2)设，若在上存在两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）任取且，则
∵
∴
∴，即
∴在区间上单调递减．
（2）令
原命题等价于方程在上有2个相异实根；
显然
当时，
当时，
综上所述：
2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若对任意，存在，求实数的取值范围；
(3)若函数，求函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【详解】（1））由得：或，
即的定义域为或，
令在内单调递增，
而时，为减函数，时，为增函数，
故函数的单调递减区间是；
（2）由与可知，
所以或，
分离参数得，或有解，
令，则或有解，
，或，
得或.
（3）依题意，
令，当且仅当时取等号，即时取等号，
则函数转化为，
此时只需讨论方程大于等于2的解的个数，
①当时，没有大于等于2的解，此时没有零点；
②当时，，
当时，，方程没有大于等于2的解，此时没有零点；
当时，，方程有一个等于2的解，函数有一个零点；
当时，，方程有一个大于2的解，函数有两个零点.
③当时，恒成立，
即方程不存在大于等于2的解，此时函数没有零点；
综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当或时，没有零点.
3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，讨论函数在上的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为，最小正周期为
(2)答案见解析
【详解】（1），
令，解得：，
的单调递减区间为，最小正周期.
（2）由题意得：；
当时，，
当，即时，单调递增，值域为；
当，即时，单调递减，值域为；
则当，即时，无零点；
当，即时，有且仅有一个零点；
当，即时，有两个不同零点；
当，即时，有且仅有一个零点；
当，即时，有且仅有一个零点；；
当，即时，无零点；
综上所述：当时，无零点；当时，有且仅有一个零点；当时，有两个不同零点.0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28634" 第08讲 函数与方程(精讲） PAGEREF _Tc28634 \h 1
\l "_Tc2859" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc2859 \h 2
\l "_Tc23081" 1、函数的零点 PAGEREF _Tc23081 \h 2
\l "_Tc333" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc333 \h 2
\l "_Tc10936" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10936 \h 6
\l "_Tc94" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc94 \h 6
\l "_Tc15980" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc15980 \h 9
\l "_Tc26931" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc26931 \h 14
\l "_Tc5180" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc5180 \h 20
\l "_Tc17014" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc17014 \h 23
\l "_Tc21875" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc21875 \h 29
\l "_Tc110" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc110 \h 33
\l "_Tc23770" 第四部分：新文化（定义）题 PAGEREF _Tc23770 \h 35
\l "_Tc21485" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc21485 \h 38
\l "_Tc7269" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc7269 \h 38
\l "_Tc472" ②数形结合的思想 PAGEREF _Tc472 \h 40
\l "_Tc32027" ③分类讨论的思想 PAGEREF _Tc32027 \h 43
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第一部分：知识点必背
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数在上单调递增，
因为，，，，
所以，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选：C．
例题3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线，
，，
，，
，
因为，所以函数有零点的区间为，
即方程有实数解的区间是.
故选：B.
例题4．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，且，.
则由零点存在定理得所求零点在区间.
故选：B.
练透核心考点
1．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于在上是增函数，在上是减函数，
因此在上是增函数，
又，，因此函数有唯一零点且在区间上，
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，
∵，
∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，
故.
故选：B.
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在上单调递增，
因为，，，则，
所以函数的零点所在区间是，
故选：.
4．（多选）（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知，，，，
所以，，，
又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点，
即至少有个零点，故D正确；
对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，
所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；
故选：ABD
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
例题2．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】，解得或，
当时，，解得，，解得（舍）；
当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为3个，
故选：A.
例题3．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
例题4．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数的零点个数为___________.
【答案】
【详解】当时，由，得，
当时，由，得，
则时，函数零点的个数，
即为函数图象交点的个数，
如图，作出函数的图象，
由图可知，两函数的图象有个交点，
即当时，函数有个零点，
综上所述，函数有个零点.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由，
则可作出函数的图象如下：
由方程，得或，
所以方程的实根个数为3．
故选：A．
2．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（ ）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【详解】
分别做出函数和函数的图像，如上图所示，
由图像可知，两个函数的交点个数是，
所以函数的零点个数是.
故选:C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】时，，解得
时，，，，无解.
由，则有，
时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，
时，，无解.
故选：.
4．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
【答案】
【详解】解：当时，，解得；
当时，得，
易得，
作出函数，的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点，
所以当时，有两个实数根，
所以，函数的零点个数为
故答案为：
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，方程有两个不同实数根，
等价于函数与的图象有两个不同的交点，
当时，如图所示，
由图可知，当时，函数与的图象有两个不同的交点，满足题意
当时，如图所示
由图可知，当时，函数与的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数的取值范围为．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
例题3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
【答案】
【详解】
，，画出的图像，
化简，，故的必过点，
恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，
直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），
当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，
结合图像可得，或
故答案为：
例题4．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）已知函数（且）是奇函数，且.
(1)求，的值及的定义域；
(2)设函数有零点，求常数的取值范围；
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由，可得 ①
又是奇函数，∴，
即 ②
联立①、②并注意到，解得， ，
所以，要使函数有意义，则有，解得：
∴的定义域为.
（2）∵，，∴，
∴有零点，即关于x的方程有实数解，
∴有实数解，
∵，且，
∴且，
∴k的取值范围是.
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
【答案】BD
【详解】因为函数与函数交于点,
由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，
由题意，函数，函数有两个交点，
若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；
若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，
则或
解得，
结合选项，可得的可能取值为和.
故选：BD.
2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
4．（2023·高三课时练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是________
【答案】
【详解】解：设，
则函数存在零点等价于图像有交点，
如图：
函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，
，
所以的图像有交点时，
故答案为：
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知，且是方程的两实数根，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标，
令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标，
易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以.
故选：C.
例题2．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，.
故选：A.
2．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．m＜a＜n＜bD．a＜m＜b＜n
【答案】B
【详解】因为函数，
令，
a、b为的零点，
函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的，
又m，n是方程的两个根（m＜n），
如图所示：
由图知：a＜m＜n＜b，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】因为零点，等价于与函数图像交点的横坐标，
因为，故可得是周期为的函数；
又因为，当时，，
解得.
不妨在同一直角坐标系中画出两者的图象如下所示：
数形结合可知，有6个交点，
则有6个零点，且每两个零点关于对称，
则每组零点之和为，共有3组，
故可得所有零点之和为.
故选：D.
例题3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
【答案】18
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
例题4．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】作出函数的图象及直线，如图，
观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，，
而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解，
所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是；
如图，三个交点的横坐标分别为，且，
由对称性可知，，
对于函数，当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【详解】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
2．（多选）（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．a的取值范围是B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】因为函数有四个不同的零点，
所以方程有四个不同的解，
即函数与图象有四个不同的交点，如图，
由图可知，，，
且，，
得，解得，
所以，
当且仅当即时等号成立，但，故等号不成立，
所以.
故选：ABC
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．
【答案】
【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，
当时，，函数与在上图象如图所示：
设与图象交点的横坐标分别为，
由对称性可知，，.
由，结合奇偶性得出，即
解得，即.
故答案为：
4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则______．
【答案】
【详解】作出函数的图像如图所示，
由于方程恰有5个不同的实数解，
令，则有两个不等的实数根，且其中一个为，
画出直线，，与函数交于5个点，
其横坐标分别为，，，，，设，
且， 因为函数的图像关于直线对称，
则，所以.
故答案为：
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在上递增，
则函数在上存在零点，
需，
解得.
故选：B.
例题2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）设函数，，若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则
令，即，故
，作出函数的图象如图所示：
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，直线过定点
当直线过点时，，
当直线与曲线相切时，
设切点坐标为，由，故切线的斜率为
所以，解得，则，解得
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，即函数在区间上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是，
故选：C
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
例题4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数的零点为，且，则__________.
【答案】2
【详解】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数的零点所在的区间是，
所以．
故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】方程在上有解，
等价于函数与在有交点，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
3．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
【答案】2
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
4．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：由题意得方程在区间内有解，
即在区间内有解，
即函数的图象与的图象在区间内有交点，
如图，作出函数与在区间上的图象，
把点带入，得，解得，
所以.
故答案为：．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，
由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得
由知，下一步应当确定零点位于区间，
故选：A
例题3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度）可取为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）内，又精确度0.1，
∴方程的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
2．（多选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】选项A：由，可得在上存在零点；
选项B：由，可得在上存在零点；
选项C：，则其零点为，
但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点；
选项D：由，可得在上存在零点.
故选：ABD
3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________.
【答案】
【详解】设，则，，
，；，，
故近似解所在的区间为.
故答案为：
第四部分：新文化（定义）题
1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】，函数在上单调递增，
，
，
若，则，
所以.
故选：B
2．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则，
化简并整理得，
令，则；，
又在单调递增，
∴在内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
5．（2022秋·山东·高一统考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．
①若函数，则的值域为______；
②若函数，则方程所有的解为______．
【答案】
【详解】①，存在，使得，则，因此，所以函数的值域为；
②令，则，，由方程，得，
由解得，，而，于是得或，
当时，，当时，，
所以方程所有的解为.
故答案为：；
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
根据题意，，
所以且，
，
所以且，
对比和可知，结合和只有一个交点，
所以，故，故选项A错误；
分析图像可知，，故选项B错误；
若成立，则有，即有，
即有，故矛盾，所以选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
3．（2020秋·安徽合肥·高三长丰县第一中学校考阶段练习）已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】画出函数的图象如图，
令，
当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，，且，
当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解，
当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个；
当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且，
当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，
当时，方程的根的个数为4个；
综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个．
故选：A
4．（2023·高一课时练习）若正实数是方程的根，则___________．
【答案】
【详解】由题可得：，即，
令，则在上单调递增，
，
∵正实数是方程的根，
∴，即．
②数形结合的思想
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据，可画出其图象为下图所示，
若关于的方程有8个不相等的实根，令，则有两个不相等的实数根，且，若 则不符合，所以，
令，则需要满足 ，解得，
故选：D
3．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则______．
【答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当或时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
当时，方程有四个解，
因为关于x的方程有且仅有5个不同实数根，
所以关于方程的方程其中一个根，
另一个根或，
又因，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】设，则函数的图象如图所示：
其中，
若关于的方程有四个实数解，函数与直线的交点有4个交点，
由图可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
③分类讨论的思想
1．（2023秋·浙江·高一期末）设函数．
(1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递减；
(2)设，若在上存在两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）任取且，则
∵
∴
∴，即
∴在区间上单调递减．
（2）令
原命题等价于方程在上有2个相异实根；
显然
当时，
当时，
综上所述：
2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若对任意，存在，求实数的取值范围；
(3)若函数，求函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【详解】（1））由得：或，
即的定义域为或，
令在内单调递增，
而时，为减函数，时，为增函数，
故函数的单调递减区间是；
（2）由与可知，
所以或，
分离参数得，或有解，
令，则或有解，
，或，
得或.
（3）依题意，
令，当且仅当时取等号，即时取等号，
则函数转化为，
此时只需讨论方程大于等于2的解的个数，
①当时，没有大于等于2的解，此时没有零点；
②当时，，
当时，，方程没有大于等于2的解，此时没有零点；
当时，，方程有一个等于2的解，函数有一个零点；
当时，，方程有一个大于2的解，函数有两个零点.
③当时，恒成立，
即方程不存在大于等于2的解，此时函数没有零点；
综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当或时，没有零点.
3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，讨论函数在上的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为，最小正周期为
(2)答案见解析
【详解】（1），
令，解得：，
的单调递减区间为，最小正周期.
（2）由题意得：；
当时，，
当，即时，单调递增，值域为；
当，即时，单调递减，值域为；
则当，即时，无零点；
当，即时，有且仅有一个零点；
当，即时，有两个不同零点；
当，即时，有且仅有一个零点；
当，即时，有且仅有一个零点；；
当，即时，无零点；
综上所述：当时，无零点；当时，有且仅有一个零点；当时，有两个不同零点.0
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