2023年贵州省遵义市仁怀市中考数学第一次适应性试卷（含解析）

这是一份2023年贵州省遵义市仁怀市中考数学第一次适应性试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 3的相反数是( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
2. 如图所示图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 由如图所示三视图得到的立体图形是( )
A. 长1cm宽1cm高3cm的长方体B. 长1cm宽3cm高1cm的长方体
C. 长3cm宽1cm高3cm的长方体D. 长3cm宽1cm高1cm的长方体
4. 下列计算正确的是( )
A. a3⋅a5=a15B. (a2b3)2=a4b6
C. b6÷b2=b3D. a6b2÷a2b=a3b2
5. 一组数据：4，5，6，6，6，7，8，下列描述错误的是( )
A. 中位数是6B. 众数是6C. 平均数是6D. 方差是1.4
6. 在数轴上表示不等式3(x+1)2≥3的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，一副三角板的两条直角边互相重合，则∠1=( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
8. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 5= 7B. 3× 6= 18
C. 2 3×3 3=18D. 1÷ 3=1 3
9. 下列是在同一直角坐标系中函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象如图，其中k1，k2，b的描述正确的是( )
A. k1>0，k2>0，b>0
B. k1>0，k2<0，b>0
C. k1>0，k2>0，b<0
D. k1>0，k2<0，b<0
10. 如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则OD=( )
A. 43cm
B. 53cm
C. 83cm
D. 103cm
11. 如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，其余部分种草.如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是( )
A. x2−25x+16=0B. x2−25x+3=0
C. x2−17x+16=0D. x2−17x−16=0
12. 如图，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc>0 ②2a−b=0 ③a+b+c=0 ④3a+c<0 ⑤当x>−2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax02+bx0>a−b成立.上述结论，正确的是( )
A. ①②⑤
B. ②③④
C. ②③⑥
D. ③④⑤
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 白酒产业一直是仁怀市的支柱产业，去年，仁怀市GDP位居贵州省各县市第一位，据统计，2022年仁怀市GDP达1700000000元，将17000000000用科学记数法表示是______ ．
14. 如图，四边形ABCD的对角线AC是⊙O的直径，AB=AD，∠AOD=110°，则∠BCD= ______ °.
15. 已知点A(a,2)点B(−3,2)关于y轴对称，点C(1,2)，点D(−1,b)关于原点对称，则a+b= ______ ．
16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边的中点，连接CE，DF，点C，H分别是CE，FD的中点，连接GH，则GH= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：(π−3.14)0−|1− 2|−(12)−2+3−8；
(2)有三个不等式：2x+3<1；3(x−1)>6；−2x>6.请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集．
18. (本小题8.0分)
以下是小明化简分式(xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1的过程．
解：原式=(xx2+x−x2+xx2+x)÷x2−1x2+2x+1…第一步
=(x−x2+xx2+x)×x2+2x+1x2−1…第二步
=−x(x−2)(x+1)2x(x+1)2(x−1)…第三步
=2−xx−1…第四步
(1)小明的解答过程在第______ 步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程．
19. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交AD边于点E、交CD边的延长线于点G，过点E作EF//DG，过点C作FG//AD．
(1)求证：四边形DEFG是菱形；
(2)如图2，若∠ABC=120°，BC=6cm，点E是BG的中点，求菱形DEFG的面积．
20. (本小题12.0分)
全国中考改革，2023年开始，由原来的各地州统考改为全省统考.为此，某学校为了了解九年级学生的学习状态，随机抽取了部分学生对自己最喜欢的科目进行调查(每个学生必选一项且只能选一项)，制定了如图不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

(1)补全条形图，计算扇形统计图中，英语学科所占扇形的圆心角是______ 度.
(2)若该学校有1200名师生，请估计最喜欢物理学科的学生有多少？
(3)若从最喜欢体育学科的3名男生和1名女生中随机抽取两名同学测试其体能，请用树状图或列表法求刚好抽到1名男生和1名女生的概率．
21. (本小题8.0分)
某超市投入12800元的资金购进甲、乙两种饮料共500箱，饮料的成本和售价如表所示：
(1)该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？
(2)全部售完500箱饮料，该超市共获得利润多少元？
22. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC和△CDE是等边三角形，点B，点C，点E在同一条直线上，连接BD，AE交于点F．
(1)求证：BD=AE；
(2)求∠AFB的度数；
(3)连接FC，求证：FC平分∠EFB．
23. (本小题10.0分)
近年来，仁怀市坛厂镇的八卦园旅游项目深受游客喜欢，每年3月份，“坐彩虹滑道，闻满园油菜花香”是一件令游客追捧的项目.彩虹滑道是一个修建在水平地面上的游玩设备，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点共四部分组成.如图2是某个数学爱好者根据彩虹滑道图1抽象出来的示意图.已知：助跑段AF=40米，缓冲段的跨度FG=20米，顶端E到BD的距离为20米，HG//BC，∠AFH=45°，∠EFG=25°，∠ECB=30°.求此彩虹滑道最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数)．
(参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47， 2≈1.41， 3≈1.73)
24. (本小题12.0分)
如图，在正方形ABCD中，以CD边为直径作⊙O，在⊙O的左半圆上取点E，使得BA=BE，延长BE交AD边于点F．
(1)将图形补充完整(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)证明：BE是⊙O的切线；
(3)若⊙O半径为2，求CE的长．
25. (本小题14.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A(−1,0)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值.若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据概念，3的相反数在3的前面加“−“号，则3的相反数是−3．
故选：A．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：观察图形可知，由如图所示三视图得到的立体图形是长3cm宽1cm高1cm的长方体．
故选：D．
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．依此即可求解．
本题考查由三视图判断几何体，根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
4.【答案】B
【解析】解：A.a3⋅a5=a8，故此选项不合题意；
B.(a2b3)2=a4b6，故此选项符合题意；
C.b6÷b2=b4，故此选项不合题意；
D.a6b2÷a2b=a4b，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘法运算、单项式乘除单项式、积的乘方运算法则分别判断，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算、单项式乘除单项式、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、把这些数从小到大排列为：4，5，6，6，6，7，8，则中位数是6，故本选项不符合题意；
B、6出现了3次，出现的次数最多，所以众数是6，故本选项不符合题意；
C、平均数是(4+5+6+6+6+7+8)÷7=6，故本选项不符合题意；
D、方差为：17×[(4−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(6−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2]=107，故本选项符合题意．
故选：D．
根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
6.【答案】C
【解析】解：3(x+1)2≥3，
3(x+1)≥6，
x+1≥2，
x≥1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：C．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图：

在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，
∴∠CAB=180°−45°−60°=75°，
∴∠1=∠CAB=75°．
故选：B．
在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，利用三角形的内角和即可得出∠CAB的度数，即可求出∠1的度数．
本题主要考查了三角形的内角和，熟知三角形的内角和是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、原式=3 2，故B不符合题意；
C、原式=18，故C符合题意；
D、原式= 33，故D不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加法和乘除法法则，分母有理化计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式的加法和乘除法，分母有理化等知识，正确的计算是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：k1>0，b>0，
根据反比例函数图象过一、三象限可知：k2>0，
∴k1>0，b>0，k2>0，
故选：A．
根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OA，
设OA=r(cm)，
则OC=OA=r(cm)，
∵点D为弦AB的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，
∵AB=8(cm)，
∴AD=BD=4(cm)，
∵CD=6(cm)，
∴OD=CD−OC=(6−r)(cm)，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，
∴r2=(6−r)2+42，
解得r=133，
∴OD=53(cm)，
故选：B．
连接OA，设OA=r(cm)，根据CD的长计算出OD的长，根据点D为弦AB的中点，O为圆心得到OD⊥AB，从而求出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值，即可求出OD的长．
本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
11.【答案】C
【解析】解：∵小路的宽为x m，
∴种草的部分可合成长为(16−2x)m，宽为(9−x)m的长方形．
根据题意得：(16−2x)(9−x)=112，
整理得：x2−17x+16=0．
故选：C．
由小路的宽为xm，可得出种草的部分可合成长为(16−2x)m，宽为(9−x)m的长方形，结合草坪部分的总面积为112m2，可得出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a>0，b>0，c<0，
∴abc<0，故①错误；
∵−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故②正确；
∵抛物线过点(−3,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线过点(1,0)，
∴a+b+c=0，故③正确；
∴b=2a，a+b+c=0，
∴3a+c=0，故④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
∵函数最小值为a−b+c，
∴当x0≠−1时，则ax02+bx0+c>a−b+c，即ax02+bx0>a−b，
∴一定存在实数x0，使得ax02+bx0>a−b成立，故⑥正确；
故选：C．
由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x=−1即可得到，2a−b=0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论⑤；函数的最值即可判断结论⑥．
本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
13.【答案】1.7×1010
【解析】解：17000000000=1.7×1010．
故答案为：1.7×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】110
【解析】解：∵AB=AD，
∴AB=AD，
∴∠ACB=∠ACD，
∴∠BCD=2∠ACD，
∵∠AOD=2∠ACD，
∴∠BCD=∠AOD，
∵∠AOD=110°，
∴∠BCD=110°．
故答案为：110．
由AB=AD，得到AB=AD，因此∠ACB=∠ACD，故∠BCD=2∠ACD，由圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD，因此∠BCD=∠AOD=110°．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理推出∠BCD=2∠ACD，∠AOD=2∠ACD，从而得到∠BCD=∠AOD．
15.【答案】1
【解析】解：∵点A(a,2)点B(−3,2)关于y轴对称，
∴a=3．
∵点C(1,2)，点D(−1,b)关于原点对称，
∴b=−2，
∴a+b=3−2=1．
故答案为：1．
根据关于y轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横纵坐标与原来的互为相反数求出a、b，再代入计算即可．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标特点，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
16.【答案】 2
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=6，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF=12×6=3，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCPH=FH，
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF=3，
∴AP=AD−PD=3，
∴PE= AP2+AE2=3 2，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=12EP=3 22．
故答案为：3 22．
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=6，根据全等三角形的性质得到PD=CF=3 2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
17.【答案】解：(1)(π−3.14)0−|1− 2|−(12)−2+3−8
=1−( 2−1)−4+(−2)
=1− 2+1−4−2
=−4− 2；
(2)不等式组为：2x+3<1①−2x>6②，
解不等式①，得x<−1，
解不等式②，得x<−3，
所以不等式组的解集是x<−3．
【解析】(1)先根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂和立方根进行计算，再算加减即可；
(2)先组成不等式组，再根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键．
18.【答案】二
【解析】解：(1)小明的解答过程在第二步开始出错；
故答案为：二；
(2)原式=(xx2+x−x2+xx2+x)÷x2−1x2+2x+1
=x−x2−xx(x+1)×x2+2x+1x2−1
=−xx+1×(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1．
(1)直接利用分式的混合运算法则判断得出答案；
(2)直接利用分式的混合运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】(1)证明：∵EF//DG，FG//AD，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵EF//DG，FG//AD，
∴∠ABE=∠DGE，∠DEG=∠EBC，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG，
∴平行四边形DEFG是菱形；
(2)解：∵点E是BG的中点，
∴BE=EG=12BG，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△GBC，
∴GEBG=DEBC=12，
∴DE=12BC=3cm，
∵∠ABC=120°，
∴∠DGE=60°，
又∵DE=DG，
∴△DEG是等边三角形，
∴S△DEG= 34DE2=9 34cm2，
∴菱形DEFG的面积=9 32cm2．
【解析】(1)先证四边形DEFG是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得DE=DG，即可求解；
(2)由相似三角形的性质可求DE=3cm，由题意可证△DEG是等边三角形，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些解决问题是解题的关键．
20.【答案】54
【解析】解：(1)抽取的学生人数为：4020%=200(人)，
∴最喜欢语文学科的学生有：200×22%=44(人)，
∴最喜欢化学学科的学生有：200−(44+40+30+15+28)=200−157=43(人)，
补全条形图如下：

英语学科所占扇形的圆心角是：30200×360°=54°，
故答案为：54；
(2)1200×15200=90(人)，
答：估计最喜欢物理学科的学生约有90人；
(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中刚好抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．
∴刚好抽到1名男生和1名女生的概率为612=12．
(1)由喜欢数学的学生人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)由该学校学生人数乘以最喜欢物理学科的学生人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果数，其中刚好抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设该超市购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，
根据题意得：x+y=50024x+26y=12800，
解得：x=100y=400．
答：该超市购进甲种饮料100箱，乙种饮料400箱；
(2)(29−24)×100+(32−26)×400
=5×100+6×400
=500+2400
=2900(元)．
答：该超市共获得利润2900元．
【解析】(1)设该超市购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，利用总进价=进货单价×进货数量，结合该超市投入12800元的资金购进甲、乙两种饮料共500箱，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总利润=每箱的销售利润×销售数量(进货数量)，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴BD=AE；
(2)解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠AFB=∠AEC+∠CBD，
∴∠AFB=∠AEC+∠CAE=∠ACB=60°；
(3)证明：如图，过点C作CH⊥AE于H，CN⊥BD于N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，
∴12×AE⋅CH=12×BD⋅CN，
∴CH=CN，
又∵CH⊥AE，CN⊥BD，
∴FC平分∠EFB．
【解析】(1)“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得BD=AE；
(2)由全等三角形的性质可得∠CBD=∠CAE，由外角的性质可求解；
(3)由面积法可证CH=CN，由角平分线的判定定理可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】解：过点E作EM⊥FG，垂足为M，延长EM交BC于点N，

由题意得：EN⊥BC，HB=MN，EN=20米，
∵HG//BC，
∴∠EGF=∠ECB=30°，
设FM=x米，
∵FG=20米，
∴GM=FG−FM=(20−x)米，
在Rt△EFM中，∠EFG=25°，
∴EM=FM⋅tan25°≈0.47x(米)，
在Rt△EMG中，EM=MG⋅tan30°= 33(20−x)m，
∴0.47x= 33(20−x)，
解得：x≈11.1，
∴EM=0.47x≈5.2(m)，
∴HB=MN=EN−EM=20−5.2=14.8(米)，
在Rt△AHF中，∠AFH=45°，AF=40米，
∴AH=AF⋅sin45°=40× 22=20 2(米)，
∴AB=AH+BH=20 2+14.8≈43(米)，
∴此彩虹滑道最高点A距地面BD的距离约为43米．
【解析】过点E作EM⊥FG，垂足为M，延长EM交BC于点N，根据题意可得：EN⊥BC，HB=MN，EN=20米，根据平行线的性质可得∠EGF=∠ECB=30°，然后设FM=x米，则GM=FG−FM=(20−x)米，在Rt△EFM中，利用锐角三角函数的定义求出EM的长，再在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义求出EM的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出EM的长，最后利用线段的和差关系可求出MN的长，再在Rt△AHF中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)解：按题意画图如下：

(2)证明：连接OE，OB，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCD=90°，
∵BA=BE，
∴BE=BC，
又∵OE=OC，OB=OB，
∴△BEO≌△BCO(SSS)，
∴∠BEO=∠BCO=90°，
∴BE⊥OE，
又∵OE为半径，
∴BE为⊙O的切线；
(3)解：连接CE，交OB于点M，

∵BC=BE，OE=OC，
∴OB垂直平分CE，
∴OB⊥CE，EM=CE，
∵OC=2，
∴BC=2OC=4，
∴OB= OC2+BC2= 22+42=2 5，
∵S△BOC=12BO⋅CM=12BC⋅OC，
∴CM=BC⋅OCOB=4×22 5=45 5，
∴CE=2CM=85 5．
【解析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)连接OE，OB，由正方形的性质得出AB=BC，∠BCD=90°，证明△BEO≌△BCO(SSS)，由全等三角形的得出∠BEO=∠BCO=90°，由切线的判定可得出结论；
(3)连接CE，交OB于点M，证出OB⊥CE，EM=CE，由勾股定理求出OB的长，根据三角形面积可求出CM的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25.【答案】解：(1)令x=0，则y=4，
∴C(0,4)．
令y=0，则x=4，
∴B(4,0)．
∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A(−1,0)，
∴a−b+c=0c=416a+4b+c=0，
解得：a=−1b=3c=4，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x+4；
(2)在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短．点P的坐标为(32,52)，理由：
∵y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，
∴抛物线y=−x2+3x+4的对称轴为直线x=32．
设抛物线的对称轴与直线BC交于点P，
∵直线x=32为AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴此时点P使得PA+PC的长度最短．
令x=32，则y=−32+4=52．
∴在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为(32,52)；
(3)在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为(2,6)，此时△QBC的面积为8，理由：
过点Q作QD//y轴，交直线BC于点D，如图，
设点Q(m,−m2+3m+4)，则D(m,−m+4)，
∴QD=−m2+3m+4−(−m+4)=−m2+4m．
∵B(4,0)，
∴OB=4．
∴△QBC的面积=S△QCD+S△QBD
=12×QD⋅OB
=12×4(−m2+4m)
=−2m2+8m
=−2(m−2)2+8．
∵−2<0，
∴当m=2时，△QBC的面积有最大值8，此时点Q的坐标为(2,6)．
∴在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为(2,6)，此时△QBC的面积为8．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)利用将军饮马模型解答即可；
(3)过点Q作QD//y轴，交直线BC于点D，设点Q(m,−m2+3m+4)，则D(m,−m+4)，利用△QBC的面积=S△QCD+S△QBD，求出△QBC的面积关于m的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，函数的极值，理由点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
类别/单价
成本
售价
甲
24元/箱
29元/箱
乙
26元/箱
32元/箱