2024高三数学开学摸底考试卷03（新高考地区）

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2024届高三年级开学考测试卷
数学试题【新高考地区】

评卷人
得分



一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合，，则（       ）
A. B． C． D．
2、 定义：若复数与满足，则称复数与互为倒数.已知复数，则复数的倒数（       ）
A． B． C． D．
3、已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（       ）
A． B．
C． D．
4、 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
5、 已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
6、过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（       ）
A． B． C． D．
7、 数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8、 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则（       ）
A. B． C． D．


评卷人
得分



二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9、 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（       ）
A． B．
C． D．
10、已知，，且，则下列说法正确的是（       ）
A．的最大值是1 B．的最小值是2
C．的最小值是3 D．的最小值是
11、 已知函数，则（       ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于对称
C．在上有四个零点 D．的值域为
12、 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（       ）
   
A．点所在区域面积为
B．有且仅有一个点使得
C．四面体的体积取值范围为
D．线段长度最小值为


评卷人
得分



三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 的展开式中常数项为______．

14、  口袋里有若干大小完全相同的白、红、黑三种颜色的小球，其中只有1个白球. 某同学拟用独立重复实验的方法计算其中红球的数量，有放回地取球30次，每次取2个球，发现取到白球的次数为10，取到1个红球1个黑球次数最多为12，取到2个都是红球的次数最少，则红球的个数为________.

15、 已知定义在上函数满足：，写出一个满足上述条件的函数__________.

16、 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为______．

评卷人
得分



四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（ 10分）
已知锐角的角对边分别是，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．





18、  （12分）
如图，四边形是圆柱下底面的内接四边形，是圆柱底面的直径，是圆柱的一条母线，，，点在线段上，.（12分）
      
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.




19、  （ 12分）
已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．






20、  （ 12分）
已知是正项等比数列，是等差数列，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：若条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.






21、 （ 12分）
随着用户对生鲜电商行业的信任度加深，生鲜电商行业市场规模迅速扩大，已知2022年中国消费者偏好的生鲜电商平台前三名分别为A，B，C，下图每个圆形区域内数字之和表示中国消费者偏好该平台的用户数占中国生鲜电商平台所有用户数的比例（以下简称占比），两个圆的公共区域内的数字之和表示中国消费者同时偏好这两个平台的占比，三个圆的公共区域内的数字表示中国消费者同时偏好这因三个平台的占比.
   
(1)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，求该用户偏好A平台，也偏好B平台的概率；
(2)从偏好B平台的所有用户中随机抽取3人，求这3人中至少有2人也偏好C平台的概率；
(3)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取4人，记抽取的4人中偏好B的人数为X，求X的分布列与数学期望.



22、  （ 12分）
如图，已知动圆M过定点且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为，点的轨迹为H．
   
(1)求曲线H的方程；
(2)一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．