【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷03（新高考专用）

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2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数是关于x的方程的一个解，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在中，点为中点，点在上且.记，则（ ）
A． B． C． D．
4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：．
A． B． C． D．
5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ）
A． B． C． D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，且，则
D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上是减函数
C．为奇函数
D．方程仅有6个实数解
11．已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线上两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则
D．若，则的最小值为8
12．如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．

A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为

第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的常数项为______.
14．已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.
15．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
16．若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是____．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知数列的前项和为，，，.
（1）求，及的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.

18．（12分）
如图所示.在多面体中，平面，，，，且，，分别为棱，的中点，为棱上一点，且.

（1）证明：为的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.

19．（12分）
已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．

20．（12分）
《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，则六十四卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤

000000
0
剥

000001
1
比

000010
2
…
…
…
…
例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是．
（1）若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；
（2）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．

21．（12分）
已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）当时，证明：.



22．（12分）
已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.