北京市西城区2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份北京市西城区2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 已知全集，集合，则， 设，且，则， 在中，若，则的面积是， “空气质量指数， 设，均为锐角，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷
高三数学2023.1
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合A用列举法进行表示，从而可以确定.
【详解】集合，
，
，
故选：B.
2. 设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算法则,将求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.
【详解】解:由题知,
,
在复平面内对应的点的坐标是.
故选:A
3. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数定义域，求出的表达式即可判断奇偶性. 当，，可知函数在上单调递增，即可得出答案.
【详解】由已知可得，的定义域为，关于原点对称.
又，所以为偶函数.
当，，因为在上是增函数，所以在上是增函数.
故选：C.
4. 已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.
【详解】解:由题知双曲线,
即,
故焦点坐标为,
渐近线方程为:,
即,
由双曲线的对称性,
不妨取焦点到渐近线的距离,
故焦点到其渐近线的距离为.
故选:B
5. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B，
举例，即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D.
【详解】根据幂函数在上为单调增函数，
故时，，故A错误，
根据三角函数在上为单调增函数，
故时，故，故B错误，
，即，，但与的大小关系不明，如，，
显然此时，故C错误，
根据对勾函数的图像与性质当时，
可知，而，根据二次函数图像与性质可知其值域，
当时，，当时，，
故当时，则，故，故D正确.
故选：D.
6. 在中，若，则的面积是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则,
故.
故选：D.
7. “空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A. 5小时 B. 6小时 C. 7小时 D. 8小时
【答案】C
【解析】
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时
故选:C
8. 设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
9. 在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，

则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
10. 如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论：

①，使；
②，使；
③，使与所成角为．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，假设出的坐标；
对于①，利用空间向量的模长公式与坐标的取值范围即可判断；
对于②③，利用赋值法与空间向量的数量积运算即可判断.
【详解】因为四边形是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，则两两垂直，
所以以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，
对于①，因为，所以不妨设，其中，
则，故，
因为，所以，则，
所以，，，即，
所以，故①错误；
对于②，结合①中结论，，
假设，则，即，即，
显然令，可以成立，所以假设成立，故②正确；
对于③，结合②中结论，假设与所成的角为，
则，即，
令，则，，，
所以上述等式成立，故假设成立，故③正确；
综上：②③正确，①错误，所以正确结论个数是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题利用图形的规整性，选择以以为原点，建立合适的空间直角坐标系，设，写出相关向量，利用空间向量的模长公式来判断①，利用向量垂直，则其点乘为0，找到②正确的情况，利用空间向量来解决异面直线夹角问题，即找到③正确的情况.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中的常数项为________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为求解出的值，将的值代入展开式则常数项可求.
【详解】展开式的通项为，
令，，
所以常数项为，
故答案为：.
12. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13. 已知是等差数列,,且成等比数列,则______________;的前项和______________．
【答案】 ①. -5 ②.
【解析】
【分析】(1)设出等差数列的公差,根据成等比数列,列出式子,将均用代替,解出,即可求的值;
(2)由上一空求得的,根据等差数列前项和公式代入即可求出答案.
【详解】解:由题知是等差数列,
不妨记公差为,
因为成等比数列,,
所以,
即,
解得:,
故;
由于,,
所以.
故答案为:-5;
14. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;
(2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.
【详解】解:由题知当时,
,
故在上单调递减,
在上单调递增,
在上单调递减,
故的单调递增区间是;
由于在上的值域为,
若的值域为,
只需在上的值域包含即可,
故需,即,
此时在上的值域为,
故需,即,
综上: .
故答案为:;
15. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：
①；
②在上是增函数；
③．
其中所有正确结论的序号是_______________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①代入函数值即可求解；②求导后确定函数的单调性即可；③进行等价证明看是否复合条件即可.
【详解】①当，
所以；
②，
因为均为正常数，且，
所以，
所以在上是增函数；
③，
等价于，
即等价于，
即等价于，
等价于，
而恒成立，且，
所以恒成立，
即．
故选项③正确.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，且，求x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式即可化解得，则得到其最小正周期；
（2）根据范围求出，则，则，解出即可.
【小问1详解】




所以的最小正周期为.
【小问2详解】
因为,所以.
因为,所以.
所以.解得,所以的取值范围是.
17. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．

（1）求证：∥平面；
（2）若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）在射线上取点,使，证明四边形为平行四边形，则，则根据线面平行的判定即可得到；
（2）以为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面的法向量为，则可计算出线面角的正弦值；
（3）因为,根据（2）的结论则得到距离.
【小问1详解】
如图,在射线上取点,使,连接.

由题设,得,所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形,
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面平面
所以平面.
【小问2详解】
（i）因为平面,平面，
所以.又,
所以,,两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系,

则.所以.
设平面的法向量为,则
即
令,则.于是.
设直线与平面所成角为,则

所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
18. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：

12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5

（1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
（2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出这6个月月度零售销量平均值，再利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据题意求得的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求得各取值的概率，从而得到的分布列，进而可得的数学期望；
（3）利用方差的求法，结合题意所给数据求解即可.
【小问1详解】
这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
【小问2详解】
从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为

0
1
2




故的数学期望.
【小问3详解】
依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
19. 如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B，的中点为M．设O为原点，射线交椭圆E于点C．当与的面积相等时，求k的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意得到，解出即可.
（2）的方程为，联立椭圆方程得，设,得到两根之和式，设,根据，从而，结合其在椭圆上得到，解出即可.
【小问1详解】
由题设,，
解得.
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
直线的方程为.
由得.
设,
则.
因为与的面积相等,所以点和点到直线的距离相等.
所以为线段的中点,即四边形为平行四边形.设,
则.
所以.
将上述两式代入，
得.
解得.
【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式，通过面积相等则得到为线段的中点，则为线段的中点，利用向量加法得到，从而用表示出点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可.
20. 已知函数,其中．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;
（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．
【答案】（1）
（2）1个 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;
(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;
(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.
【小问1详解】
解:由题知,
,
,
,
故在点处的切线方程为,
即;
【小问2详解】
由题,,
,
,
,
故在上单调递增,
,
故有1个零点;
【小问3详解】
由题,,
,
令

,
,
即在上单调递增,
,
且

,
故,使得,
即
在上单调递增,

即,单调递减,

即,单调递增,
故,
若恒成立,
只需,
即即可,
故存在实数m,使恒成立.
【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:
(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;
(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;
(3)对新的函数进行求导求单调性;
(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;
(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.
21. 已知为有穷数列．若对任意,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
【答案】（1）不具有性质,具有性质,
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;
(2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.
(3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.
【小问1详解】
解:由题知,
即
因为,
所以不具有性质,
由于,
即
因为

故具有性质,
因为

故;
【小问2详解】
“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,
假设两个元素均不在中,
则有
不妨设,
若,
则由,
可得,
与矛盾,
故,
同理,
从而,
所以,
与具有性质矛盾,
所以假设不成立,即;
【小问3详解】
设
规定时,,
时,,
则,
所以,
考虑数列,
,
由题设可知,他们均具有性质,
设中元素个数最小值为,
所以,
所以,
由(2)知,从而,
当时,令,
当时,令,
此时均有,
所以中元素个数的最小值为.
【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:
(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;
(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;
(3)将已知条件代入新定义的要素中;
(4)结合数学知识进行解答.