北京市丰台区2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份北京市丰台区2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了01， 已知全集，集合，则， 已知向量，则“”是“”的， 已知函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。

丰台区2022~2023学年度第一学期期末练习
高三数学
2023.01
考生须知
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.
2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效.
4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.
第一部分 （选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集概念求解即可.
【详解】因为，，
所以或.
故选：B
2. 已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以对应点为在第三象限，
故选：C.
3. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 24 C. D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．
【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为
故选：B
4. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.
详解】若，则，解得：.
所以，而推不出.
故“”是“”的充分而不必要条件
故选：A.
5. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.
【详解】选项A由令的定义域为，
且，
由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴，
所以在单调递减，故函数在区间上单调递减，
故A错误，
由的定义域为，关于原点对称
且，
所以为奇函数，故选项B错误，
由的定义域为，
且，
所以为奇函数，故C错误，
由的定义域为，
且，所以
为偶函数，
，且，
所以

，
因为，且，
因为在上单调递增，
所以，，
所以，
故，
所以在区间上单调递增，
故选：D.
6. 已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.
【详解】因为抛物线过点，
所以，
所以抛物线，则，
又因为，所以，解得：或.
故选：C.
7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.
故选：A

8. 设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可.
【详解】由题知：，平行的一条渐近线为，
则直线，
，即.
因为为线段的中点，所以.
把代入得：，
化简得，即，则.
故选：C
9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ）

A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.
【详解】由于平面平面，所以，
所以.

在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示，
，设，则，
，，，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
由令，解得，
则，由于，所以，
所以点的轨迹在底面正方形内的长度是.

故选：B
10. 市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（ ）
A. 45% B. 48% C. 50% D. 52%
【答案】C
【解析】
【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.
【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，设A企业该产品的“稳定市场占有率”为x，则
,解得.
故选：C
第二部分 （非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
12. 在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.
【详解】成等比数列，故，即，
解得或（舍）.
，,，，
故时，有最大值.
故答案为：；
13. 已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.
【详解】集合表示直线上的点，
集合表示圆上点，圆心为，半径，
为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，
解得.
故答案为：
14. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.
【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值，
，则，
所以，
，
由于，所以的值为.
故答案为：
15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：
①函数有零点；
②a的取值范围是；
③；
④．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①④
【解析】
【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确.
【详解】由已知可得，定义域为，.
对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；
对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，
则应满足，解得，故②错误；
对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误；
对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.
由③知，所以，故④正确.
故答案为：①④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，已知正方体中，点是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，连接，证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【小问1详解】
如图所示：连接交于，连接，

是中点，是的中点，故，
平面且平面，故平面；
【小问2详解】
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方形边长为，则，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，.
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 在中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）或；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；
（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.
【小问1详解】
由可得，.
因为，所以，又，所以或.
【小问2详解】
若选①：.
因为，所以为钝角，为锐角，
又，
又，所以，即，所以存在且唯一确定.
则，由可得.
.
根据正弦定理可得，，
所以；
若选②：.
因为，所以，由正弦定理可得，，
因为，所以，所以存在且唯一确定.
则，所以，；
若选③：.
因为，所以，此时或，
所以，此时存在但不唯一.
18. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列详见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.
（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.
【小问1详解】
，
解得.
【小问2详解】
不超过40岁的人的频率为，
所以，的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：








所以.
【小问3详解】
岁.
，
所以.
19. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程.
（2）计算直线方程，联立方程得到点坐标，再计算，，相乘得到答案.
【小问1详解】
椭圆过点，离心率为，
故，，，，椭圆方程为.
【小问2详解】
，直线：，联立方程，
得到，
方程的一个解为，故另外一个解为.
当时，，即，
，，，，得证
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）证明函数只有一个零点．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；
（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【小问1详解】
的定义域为，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简得：
【小问2详解】
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为
所以函数在区间上的最小值为.
【小问3详解】
，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.
21. 设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．
（1）判断以下两个数列是否为数列：
数列：3，5，8，13，21；
数列：，，5，10．
（2）若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
（3）若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．
【答案】（1）数列是，数列不是；
（2）不存在，理由见解析；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；
（2）假设存在，则由已知可推得.
当时，，这与假设矛盾，所以不存在；
（3）根据已知推出，进而推出，， ，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.
【小问1详解】
根据定义，数列应满足，都有，
即恒成立.
对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列；
对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.
【小问2详解】
不存在正实数，使得数列是数列.
说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，
则，都有，即恒成立.
因为，
所以，
当时，，这与假设矛盾.
所以，不存在正实数，使得数列数列.
【小问3详解】
因为数列是数列，所以.
所以，
所以，，，，，，
所以，
即，所以.
所以，
因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.
假设，必有，解得，
因为，所以可取9，10，11，12.
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，，，.
以上都是的充分条件.
所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，.